Диаграмма рассеивания для исходных данных

1. Прямая регрессии. Стандартная ошибка оценки

Линейная регрессия представляет собой линейную функцию между условным математическим ожиданием М(Y|X=x_i) зависимой переменной Y и одной объясняющей переменной Х.

М(Y|X=x_i) = b₁+b₂ х_і.

Принципиальной в данном случае является линейность по параметрам b₁ и b₂ уравнения.

По выборке ограниченного объема можно построить эмпирическое уравнение регрессии

ŷ_i=b₁+b₂ х_і + e_і.,

где e_і - оценка теоретического случайного отклонения.

Для определения эмпирических коэффициентов регрессии ошибки оценки воспользуемся методом наименьших модулей.

Полученные данные занесем в таблицу

b₁= (15,037 - 4*3,6057) / ( 20 - 16) = 0,15355

b₂= 3,6057 - 0,15355*4 = 2,9915

Следовательно, уравнение линейной регрессии имеет вид

ŷ=0,15355 х_i + 2,9915

Для проверки правильности воспользуемся функцией «Линейная линия тренда» электронных таблиц Microsoft Excell с выведением на график уравнения регрессии:

Прямая, выделенная черным цветом, является прямой регрессии.

Определим оценки теоретического случайного отклонения:

Разложение дисперсии.

Неизвестная дисперсия

у² = 0,0082/5 = 0,00164

Дисперсии оценок b1 и b2 имеют вид

D(b₁) = 0,001171429

D(b₂) = 5,85714E-05

2. Коэффициент детерминации

Суммарной мерой общего качества уравнения регрессии (соответствия уравнения регрессии статистическим данным) является коэффициент детерминации R²²= 0,9877

Проверка гипотез

В соответствии с общей схемой проверка гипотез осуществляется по следующим шагам:

Шаг 1. Формулировка нулевой и альтернативной гипотез.

Шаг 2. Выбор статистики, по значениям которой судят о справедливости гипотезы. Под статистикой понимается некоторая функция от случайных величин с известным законом распределения.

Шаг 3. Формулировка правила проверки гипотез и определение необходимого объема выборки. При этом должны быть заданы уровень доверия и величина, связанная с мощностью критерия. Можно поступать иначе, задав уровень доверия и объем выборки и минимизировать мощность критерия.

Шаг 4. В зависимости от проверяемой гипотезы и ее альтернатив выбираем одно- или двухстороннюю проверку. Находим область принятия нулевой гипотезы.

Шаг 5. Сравниваем рассчитанную величину статистики с ее теоретическим значением и принимаем решение о принятии или отклонении гипотезы.

Шаг 6. Интерпретируем результаты проверки гипотез

Исследуем значимость параметра b₂.

Шаг 1. Нулевую и альтернативную гипотезы примем в виде

Н₀: b₂ = 0;

Н₁: b₂ ≠ 0.

Смысл гипотез состоит в том, что фактически предлагается проверить, существенно ли влияние уровня х на у.

Шаг 2. В качестве статистики можно взять функцию вида , которая имеет t-распределение с (n-2) степенями свободы.

Шаг 3. Правило проверки нулевой гипотезы состоит в сопоставлении эмпирического значения t-критерия с теоретическим. Объем выборки равен 15. Уровень доверия предполагаем равным 95%.

t_0,025;7 = 2,84124

Шаг 4. Выбираем двустороннюю проверку (b₂<0, b₂>0)В этом случае область принятия нулевой гипотезы имеет вид:

Отсюда интервал принятия нулевой гипотезы выглядит следующим образом:

[0,243103413; 0,262552377]

Шаг 5. Проверяем принадлежность величины b₂ = 0 полученному интервалу и убеждаемся в том, что это значение не попадает в область принятия нулевой гипотезы. Следовательно, с вероятностью, не меньшей 95%, нулевую гипотезу отклоняем и переходим к проверке альтернативной гипотезы.

Шаг 6. Параметр b₂ значительно отличается от нуля. Это означает, что х существенно влияет на у.

Исследуем значимость параметра b₁.

Шаг 1. Нулевую и альтернативную гипотезы примем в виде

Н₀: b₁ = 0;

Н₁: b₁ ≠ 0.

Смысл гипотез состоит в том, что фактически предлагается проверить на существенность влияние постоянно действующих факторов на у.

Шаг 2. В качестве статистики можно взять функцию вида , которая имеет t-распределение с (n-2) степенями свободы.

Шаг 3. Объем выборки равен 15. Уровень доверия предполагаем равным 95%. t_0,025;7 = 2,84124

Шаг 4. Выбираем двустороннюю проверку (b₁<0, b₁>0)В этом случае область принятия нулевой гипотезы имеет вид:

Отсюда интервал принятия нулевой гипотезы выглядит следующим образом:

[-0,014543989; 0,024353939]

Шаг 5. Проверяем принадлежность величины b₁ = 0 полученному интервалу и убеждаемся в том, что это значение попадает в область принятия нулевой гипотезы.

Шаг 6. Это означает, что постоянные факторы не существенно влияют на у.

3. Анализ остатков

тренд регрессия уравнение ошибка

На основании полученных выше данных, модель линейной регрессии построена с точностью 0,9877. Независимая переменная х существенно влияет на численное значение переменной у.

Постоянные факторы не существенно влияют на значение переменной у.

4. Точечный прогноз

Простейший путь решения прогнозирования состоит в построении прогнозного значения на основе исходных данных. В качестве прогноза можно взять стандартное уравнение линейной регрессии, в котором фактором, определяющим влияние на курс валют будет время:

ŷ=0,15355 х_i + 2,9915

у₈=0,15355*8 + 2,9915 = 4,22

Использованная литература

1.      Грубер Й. Эконометрия в 2 т. Т.1: Введение в эконометрию. К., 1996.

2.      Доугерти К. Введение в эконометрику. М., 1997

.        Магнус Я., Катышев П., Пересецкий А. Эконометрика. Начальный курс. М., 1997

4.      Кулинич О. Економетрія. Хм., 1997

5.      Лук’яненко І., Краснікова Л. Економетрика: Підручник. - К., 1998