Определение статистических показателей

Определение статистических показателей

Введение

Статистика - отрасль знаний, в которой излагаются общие вопросы сбора, измерения и анализа массовых статистических (количественных или качественных) данных.

Слово «статистика» происходит от латинского status - состояние дел. В науку термин «статистика» ввел немецкий ученый Готфрид Ахенваль в 1746 году, предложив заменить название курса «Государствоведение», преподававшегося в университетах Германии, на «Статистику», положив тем самым начало развитию статистики как науки и учебной дисциплины. Несмотря на это, статистический учет велся намного раньше: проводились переписи населения в Древнем Китае, осуществлялось сравнение военного потенциала государств, велся учет имущества граждан в Древнем Риме и т.п.

Начало статистической практики относится примерно к времени возникновения государства. Первой опубликованной статистической информацией можно считать глиняные таблички Шумерского царства (III-II тысячелетия до н.э.).

Вначале под статистикой понимали описание экономического и политического состояния государства или его части. Например, к 1792 г. относится определение: «статистика описывает состояние государства в настоящее время или в некоторый известный момент в прошлом». И в настоящее время деятельность государственных статистических служб вполне укладывается в это определение.

Однако постепенно термин «статистика» стал использоваться более широко. По Наполеону Бонапарту, «статистика - это бюджет вещей». Тем самым статистические методы были признаны полезными не только для административного управления, но и для применения на уровне отдельного предприятия. Согласно формулировке 1833 г., «цель статистики заключается в представлении фактов в наиболее сжатой форме» [. Во 2-й половине XIX - начале XX веков сформировалась научная дисциплина - математическая статистика, являющаяся частью математики.

В XX веке статистику часто рассматривают прежде всего как самостоятельную научную дисциплину. Статистика есть совокупность методов и принципов, согласно которым проводится сбор, анализ, сравнение, представление и интерпретация числовых данных. В 1954 г. академик АН УССР Б.В. Гнеденко дал следующее определение: «Статистика состоит из трёх разделов:

1)      сбор статистических сведений, то есть сведений, характеризующих отдельные единицы каких-либо массовых совокупностей;

2)      статистическое исследование полученных данных, заключающееся в выяснении тех закономерностей, которые могут быть установлены на основе данных массового наблюдения;

)        разработка приёмов статистического наблюдения и анализа статистических данных. Последний раздел, собственно, и составляет содержание математической статистики.

Развитие вычислительной техники во второй половине XX века оказало значительное влияние на статистику. Ранее статистические модели были представлены преимущественно линейными моделями. Увеличение быстродействия ЭВМ и разработка соответствующих численных алгоритмов послужило причиной повышенного интереса к нелинейным моделям таким, как искусственные нейронные сети, и привело к разработке сложных статистических моделей, например обобщённая линейная модель и иерархическая модель.

Получили широкое распространение вычислительные методы, основанные на повторной выборке как критерий перестановок и бутстреппинг, наряду методы как семплирование по Гиббсу позволили более доступно использовать байесовские алгоритмы. В настоящее время существует разнообразное статистическое программное обеспечение общего и специализированного назначения.

Задача №1

В целях изучения норм расходования сырья при изготовлении продукции на заводе проведена 19%-ная механическая выработка, в результате которой получено следующее распределение изделий по массе:

На основе этих данных вычислите:

1)      среднюю массу изделия;

2)      моду и медиану массы изделия;

)        средний квадрат отклонений (дисперсию), среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации;

)        с вероятностью 0,997 определить предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средняя масса изделия во все партии изготовленных изделий;

)        с вероятностью 0,954 определить предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса стандартных изделий с массой изделия от 40 до 46 граммов в общем объеме готовой продукции.

Решение

А=43

h = 2 - интервал

k = 2/2 = 1

u_i = (х - А) / k

u_i = (39 - 43) / 1 = - 4

. Определим среднюю массу изделия по формуле средней арифметической взвешенной:

х = ∑u_if_i / ∑f_{i *} k + А

х = 14/100*1+43 = 43,14

. Определим модальную величину массы изделия по формуле:

М_е = х_ме + h (N_ме-S_ме-1) / f_ме

N_ме = (n+1) / 2

N_ме = (100+1) / 2 = 50,5

М_е = 42+2*(50,5-71)/45) = 42-2*0,12 = 42,24

М_е є (42; 44)

Определим моду по формуле:

М_о = х_мо + h (f_мо - f_мо-1) / ((f_мо - f_мо-1) + (f_мо - f_мо+1))

М_о = 42+2*(45-18) / ((45-18) + (45+17)) = 42*2*(27/5) =

= 43

М_о є (42; 44)

3. Рассчитаем показатели вариации массы изделия.

Для этого найдем размах вариации.

R = х_max-x_min

R = 47 - 39 = 8

Найдем среднее линейное отклонение

đ = ∑(x_i-x_i) f_i / ∑f_i

đ = 155,8 / 100 = 1,558

Рассчитаем дисперсию

δ² = ∑(x_i-x_i)² f_i / ∑f_i

δ² = 460/100*1² - (43,14-43)² = 4,6-0,02 = 4,58

Найдем среднее квадратическое отклонение

δ = √4,58 = 2,14

Определим коэффициенты вариации:

Коэффициент осцилляции

_R = R/x*100% = 8/43,14*100% = 18,5%

Линейный коэффициент

_đ = đ /х*100% = 1,558/43,14*100% = 3,6%

Коэффициент вариации

_δ = /х*100% = 2,14/43,14*100% = 5%

4. Рассчитаем с вероятностью 0,997 возможные значения средней массы изделия и определим возможные границы.

Вычислим предельную ошибку

,997 t = 3

х = t √/n*(1 - n/N)        100 шт. - 19%

N шт. - 100%

N = 526 шт.

х = 3* √4,58/100 (1-100/526) = 3 * √0,037 = 0,6

границы х = х ± х = 43,14 ± 0,6

,54 ≤ 43.14 ≤ 43.74

То есть с вероятность 0,997 можно утверждать, что возможные значения средней массы изделия находятся от 42,54г. до 43,74г.

5. Рассчитаем с вероятностью 0,954 возможные доли числа изделий, имеющих массу изделия от 40 до 46 граммов. В этом случае особенности расчета связаны с определением дисперсии доли, которая вычисляется по формуле:

δ_w² = W (1-W)

W = m/n,   где m - доля единиц, обладающими данными

признаками в выборочной совокупности

m = 18 + 45 + 17 = 80 от 40 до 46 граммов

n = 100

W = 80/100 = 0,8

δ_w² = 0,8 (1-0,8) = 0,2

Предельная ошибка выборки для доли

W = t * √δ_w² / n (1-m/N)

W = 2*√0,2/100 (1-80/526) = 2 *√0,002 = 2* 0,04 = 0,08

W - W ≤ рW + W

р = W ± W

р = 0,8 ± 0,08

,72 ≤ 0,8 ≤ 0,88

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что во всей партии продукции удельный вес изделий с массой от 40 до 46 граммов ожидается в пределах не менее 72% и не более 88%.

Задача №2

Реализация фотоаппаратов в магазинах города характеризуется следующими данными:

Для анализа динамики реализации фотоаппаратов вычислите:

1)     
абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста по годам и к 2004 г., абсолютное содержание одного процента прироста (снижения) по годам. Полученные показатели представьте в таблице.

2)      среднегодовую реализацию фотоаппаратов за 2004-2008 гг.;

)        среднегодовые: абсолютный прирост, темп роста и темп прироста реализации фотоаппаратов за анализируемый период.

Постройте график динамики реализации фотоаппаратов за 2004-2008 годы. Сформулируйте выводы.

Решение:

. Вычислим абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста по годам и к 2004 г., абсолютное содержание одного процента прироста (снижения) по годам.

АБСОЛЮТНЫЙ ПРИРОСТ

_I = y_i-y₀,     где _I - абсолютный прирост

y_i - уровень сравниваемого периода

y₀ - уровень базисного периода

_I =     265-250 = 15 - по годам

-265 = -10 - по годам

-252 = 15 - к 2004 году

-250 = -5 - к 2004 году

ТЕМП РОСТА

Т_р = к*100%, где Т_р - темп роста

к = y_i / y₀

Т_р = 265/250*100% = 106% - по годам

/265*100% = 96,3% - по годам

/250*100% = 106% - к 2004 году

/250*100% = 102% - к 2004 году

ТЕМП ПРИРОСТА

Т_пр = Т_р - 100%

Т_пр = 106% - 100% = 6% - по годам

% - 100% = 6% - к 2004 году

АБСОЛЮТНОЕ СОДЕРЖАНИЕ 1% ПРИРОСТА

А = _I / Т_пр

А =   15/6 = 2,5 - по годам

/, 37 = 2,7 - по годам

/6 = 2,5 - к 2004 году

/2 = 2,5 - к 2004 году

2. Рассчитаем среднегодовую реализацию фотоаппаратов за 2044-2008 гг.

/5 - 262 тыс. шт.

3. Рассчитаем среднегодовой абсолютный прирост, темп роста и темп прироста

_I ср/год = (15-10+13+14)/4 = 5,5 тыс. шт. - по годам

/4 = 12,5 тыс. шт. - к 2004 году

Т_р ср/год = 408,88/4 = 102,22% - по годам

/4 = 106% - к 2004 году

Т_пр ср/год = 8,88/4 = 2,22% - по годам

/4 = 6% - к 2004 году

Постоим график реализации фотоаппаратов за 2004-2008 годы.

В период с 2004-2008 гг. наблюдается рост реализации фотоаппаратов с 250 до 272 тыс. шт. Максимальный абсолютный прирост произошел в 2007 г., на 13 тыс. шт. больше чем в 2006 г. По сравнению с 2004 г. максимальный абсолютный прирост произошел в 2008 г. на 22 тыс. шт.

Максимальный темп роста - в 2005 г. составил 106%. По сравнению с 2004 г. - в 2008 г. - 108,8%.

Максимальный темп прироста произошел в 2005 г. и составил 6%, по сравнению с 2004 г., максимальный темп прироста произошел в 2008 г. и составил 8,8%.

Абсолютное содержание 1% прироста составило в 2006 г. 2,7 тыс. шт., а к 2004 г. 2,5 тыс. шт. ежегодно.

Задача №3

Динамика себестоимости и объема производства продукции характеризуется следующими данными:

На основании имеющихся данных вычислите:

. Для завода №1 (по двум видам продукции вместе):

а) общий индекс затрат на производство продукции;

б) общий индекс себестоимости продукции;

в) общий индекс физического объема производства продукции.

Определите в отчетном периоде по сравнению с базисным абсолютное изменение суммы затрат на производство продукции и разложите его по факторам (за счет изменение себестоимости продукции и объема выработанной продукции).

Покажите взаимосвязь между исчисленными индексами.

. Для двух заводов вместе (по продукции КД-5):

а) индекс себестоимости переменного состава;

б) индекс себестоимости постоянного состава;

в) индекс влияния изменения структуры производства продукции на динамику средней себестоимости.

Объясните различие между полученными величинами индексов постоянного и переменного состава.

Определите общее абсолютное изменение средней себестоимости единицы продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным и разложите его по факторам: за счет непосредственного изменения уровней себестоимости и изменения структуры производства продукции.

Сформулируйте выводы.

Решение:

1. Рассмотрим вначале завод №1. сформируем для него из исходных данных таблицу.

а) общий индекс затрат на производство продукции

Izq = ∑z₁q₁ /∑z₀q₀

Izq = (25*58+12*88) / (25*50+10*90) = 2506/2150 = 1,165

или 116,5%

б) общий индекс себестоимости продукции

Iz = ∑z₁q₁ / ∑z₀q₁

Iz = (25*58+12*88) / (25*50+90*12) = 2506/2330 = 1,075

или 107,5%

в) общий индекс физического объема производства продукции

Iq = ∑z₀q₁ / ∑z₀q₀

Iq = (25*50+12*90) / (25*50+10*90) = 2330/2150 = 1,084

или 108,4%

Эти индексы взаимосвязаны между собой

Iz* Iq = Izq

,075 * 1,084 = 1,165 - верно

Сумма изменения затрат в отчетном периоде по сравнению с базисным составила:

zq = ∑z₁q₁ - ∑z₀q₀

zq = (25*58+12*88)      - (25*50+10*90) = 356 тыс. руб.

Разложим теперь эту сумму изменения затрат по факторам. Сумма изменения затрат в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет изменения себестоимости составила:

zq(z) = ∑z₁q₁ - ∑z₀q₁

zq(z) = (25*58+12*88) - (25*50+12*90) = 2505-1080 =

тыс. руб.

Сумма изменения затрат в отчетном периоде по сравнению с базисным за счет изменения объема выработанной продукции составила:

zq(q) = ∑z₀q₁ - ∑z₀q₀

zq(q) = (25*50+12*90) - (25*50+10*90) - 2330-2150 =

тыс. руб.

. Рассмотрим теперь оба завода вместе по продукции КД-5. Сформируем таблицу.

а) индекс себестоимости переменного состава представляет собой отношение двух взвешенных средних величин с переменными весами, характеризующие изменение индексируемого (усредняемого) показателя.

iz = z₁ / z₀ = (∑z₁q₁/∑q₁) / (∑z₀q₀/∑q₀)

iz = ((25*58+45*75) / (25+45)) / ((25*50+40*70) /

(25+40))= 68,28 / 62,308 = 1,106 или 110,6%

б) индекс себестоимости постоянного состава представляет собой отношение двух взвешенных средних величин с одними и теми же весами.

iz = (∑z₁q₁/∑q₁) / (∑z₀q₁/∑q₁) = ∑z₁q₁/∑z₀q₁

iz = (25*58+45*75) / (25*50+45*70) = 4825 / 4400 = 1,096

или 109,6%

в) индекс влияния изменения структуры производства продукции на динамику средней себестоимости.

i стр. = iz / iz

i стр. = 1,106 / 1,096 = 1,009 или 100,9%

Разница между величинами индексов постоянного и переменного состава объясняется использование величин с постоянными весами в одном случае и переменными весами в другом.

Используя индексы средних величин можно найти не только относительное влияние факторов, но и определить абсолютное изменение уровня среднего показателя в целом и за счет каждого из факторов.

За счет непосредственного изменения уровней усредняемого признака (z(z))

z = z₁ - z₀

z = 68,928 - 62,308 = 6,62

z(z) = z₁ - z₀

z₀ = ∑z₀q₁ / ∑q₁

z₀ = (25*50+45*70) / (25+45) = 4400 / 70 = 62,857

z(z) = 68,928 - 62,857 = 6,071

За счет изменения структуры производства продукции

(z стр.)

z = z(z) + z стр.

z стр. = z - z(z)

z стр. = 6,62 - 6,071 = 0,549

Изменение средней себестоимости единицы продукции может быть обусловлено изменением себестоимости единицы продукции на каждом заводе и изменением удельного веса производства продукции на каждом из анализируемых заводах.

Индекс влияния изменения структуры характеризует изменение средней себестоимости единицы продукции за счет изменения только удельного веса количества произведенной продукции на отдельных заводах.

Задача №4

В отчетном периоде по сравнению с базисным цены на картофель повысились на 12%, а на фрукты - на 18%.

Вычислите:

1)      общий индекс товарооборота в фактических ценах;

2)      общий индекс цен и сумму дополнительных расходов населения в отчетном периоде при покупке картофеля и фруктов;

)        общий индекс физического объема товарооборота, используя взаимосвязь индексов.

Решение:

ipq = p₁q₁ / p₀q₀

ipq = 72,8 / 65 = 1,12 - картофель

ipq = 43,3 / 35 = 1,23 - фрукты

ip = ipq / iq

ip = 1,12 / 12 = 0,03 - картофель

ip = 1,23 / 8 = 0,154 - фрукты

iq = p₀q₁ / p₀q₀

p₀q₁ = iq * p₀q₀

p₀q₁ = 0,093*65 = 6,045 - картофель

p₀q₁ = 0,154*35 = 5,39 - фрукты

. Вычислим общий индекс товарооборота в фактических ценах

Ipq = ∑ p₁q₁ / (∑ p₁q₁ / ipq)

Ipq = (72,8+43,2) / (72,8 / 1,12 + 43,2 / 1,23) = 116/100,12 = 1,15 или 115%

Выручка от продаж всех товаров в среднем выросла на 15%

2. Рассчитаем общий индекс цен

Ip = ∑ p₁q₁ / (∑ p₁q₁ / ip)

Ip = (72,8+43,2) / (72,8 / 12 + 43,2 / 8) = 116/11,46 = 10%

Среднее повышение цен в общем составило 10%

3. Вычислим индекс физического объема товарооборота

Iq = (∑ p₁q₁ / ip) / (∑ p₁q₁ / ipq)

Iq = (72,8/12 + 43,2/8) / (72,8/1,12 + 43,2/1,23) = 0,115 или 11,5%

Среднее увеличение физического объема товарооборота составило 11,5%

Проверка взаимосвязи индексов

Iр* Iq = Iрq

*0,115 = 1,15 - верно

Задача №5

На 1 января 2007 г. общая численность населения региона составила 2,0 млн. чел., в том числе 1,1 млн. чел. люди трудоспособного возраста, из которых 13,2 тыс. чел. нетрудоспособны; средний (за ряд предыдущих лет) общий коэффициент прироста составил 20%.

Определить:

1)      перспективную численность населения на 01.01.2009 года (предполагая, что общий коэффициент прироста населения в ближайшие два года не измениться);

2)      перспективную численность трудовых ресурсов на 01.01.2009 г. (предполагая, что доля лиц трудоспособного возраста в первом году нашей перспективы увеличится на 1 пункт по сравнению с исходной (2007 г.), а во второй - 1,5 пункта; коэффициенты трудоспособности населения трудоспособного возраста увеличится в первом году на 0,001 пункта по сравнению с исходным, а во втором - на 0,002).

Решение:

-13200 = 1086800 чел. трудоспособного населения трудоспособного возраста

1. Определим перспективную численность населения на 01.01.2009 года

Кn = y₁/y₀*100%, где Кn - коэффициент прироста населения

y₁ - отчетный период

y₀ - базисный период

г.

/ y₀*100%-100% = 20%

y₀ = 2000000 / 1,2 = 1666667 человек

г.

y₁/2000000*100%-100% = 20%

y₁= 1,2*2000000=2400000 человек

г.

y₁/2400000*100%-100% = 20%

y₁= 1,2*2400000=2880000 человек

2. Найдем перспективную численность трудовых ресурсов на 01.01.2009 г.

г.

y₁/1100000*100%-100% = 1%

y₁/1100000 = 101/100

y₁ = 1111000 человек

г.

y₁/1100000*100%-100% = 1%

y₁/1100000 = 101,5/100

y₁ = 1127665 человек

Найдем перспективную численность трудоспособного населения трудоспособного возраста.

г.

y₁/1086800*100%-100% = 0,001%

y₁ = 1086810,87 человек

г.

y₁/1086810,87*100%-100% = 0,0021%

y₁ = 1086832,61 человек

Задача №6

Основные цены на товары и услуги за изучаемый период выросли на 15%. Валовый выпуск в текущих ценах в отчетном периоде составил 190,4 млн. руб. или вырос по стоимости на 12%.

Определить абсолютное изменение физического объема валового выпуска товаров и услуг.

Решение: