Исследование функции. Вычисление производных функции
Федеральное
агентство связи
Сибирский
Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики
Межрегиональный
центр переподготовки специалистов
Контрольная
работа
По
дисциплине: Математический анализ
Выполнил: Калинин Максим
Проверил: Агульник Ольга Николаевна
Новосибирск,
2015 г
1. Найти пределы
а)
б) в) .
Решение.
Воспользуемся
формулами:
(19)
(20)
(21)
(22)
(23).
-
воспользуемся тождественными преобразованиями: разделим числитель и знаменатель
выражения на .
.
Поскольку
~, то ~, тогда
.
в)
Ответ:
а) , б) 0, в).
.
Найти производные данных функций
б)
г) .
Решение.
Свойства
производной:
(24)
(25)
(26)
(27)
.
.
.
-
функция задана неявно.
Продифференцируем
обе части равенства:
;
;
;
Выразим
производную :
;
;
.
Ответ:
а) ; б) ; в) ; г) .
3.
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию . Используя результаты исследования, построить её
график
Решение.
Схема исследования функции
.
Найдем область определения функции: . Точек
разрыва нет. 2. Проверим, не является ли функция четной или нечетной; проверим
также, не является ли она периодической.
функция
нечетная, ее график симметричен относительно начала координат, непериодическая
.
Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
Пересечение
с : точка
Пересечение
: .
.
Найдем производную функции и ее критические точки.
, - критические точки.
5.
Найдем промежутки монотонности и экстремумы функции.
Определим
знак производной на каждом из интервалов методом частных значений:
, ,
.
, .
Табл.1.
Значит
при (-2;2), при и
точка
минимума ; - точка максимума .
.
Найдем вторую производную, ее нули и интервалы знакопостоянства.
.
, , .
, , ,
Табл.2.
В
интервалах, где < 0 , то есть при и график функции выпуклый, а где >0 - и - вогнутый.
.
Найдем асимптоты.
Уравнения
наклонных асимптот , где , тогда
наклонных асимптот не существует.
Горизонтальная
асимптота (ось )
График
данной функции имеет вид:
Рис.3.
4.
Дана функция . Найти все её частные производные второго порядка
Решение.
Для
вычисления частных производных будем пользоваться правилом: все переменные,
кроме той, по которой дифференцируем, считаем постоянными. Тогда учитывая (24)
- (27). Найдем вначале производные первого порядка.
-
считаем постоянной, а -
переменной.
- считаем
постоянной, а -
переменной.
Найдем
производные второго порядка:
-
дифференцируем по , считая постоянной.
-
дифференцируем по , считая постоянной.
-
дифференцируем по , считая постоянной.
Ответ:
,
, .
. Найти неопределенные интегралы
а)б)
в)г).
Решение.
Воспользуемся
свойствами интеграла:
(28)
. (29)
(30) -
внесением под знак дифференциала необходимой переменной.
(31)
Воспользуемся
формулой понижения степени , тогда
.
Разложим
подынтегральную функцию на простейшие дроби и воспользуемся формулами
, если (32)
(33).
экстремум
дробь монотонность подынтегральный
Воспользуемся для разложения методом неопределенных коэффициентов:
получим
систему: . Тогда
.
-
выполним замену переменной , тогда .
.
Выполним
обратную замену, тогда .
Ответ:
а) , б) , в) , г) .
Список
использованной литературы
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей
математике. 8-е изд. - М.: Наука, 1966 - 872 с.
2. Демидович Б.П.. Сборник задач и
упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 1972 - 544 с.
3. Задачи и упражнений по
математическому анализу для втузов.: Учебное пособие для студентов высших техн.
учебн. заведений/под. ред. Б.П. Демидовича. - М.; ООО «Издательство Астрель» ,
2004 - 495с.
4. Запорожец Г.И. Руководство к решению
задач по математическому анализу. 4-е изд. - М.: Высшая школа, 1966 - 460 с.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и
интегральное исчисления для втузов, Том 2 -М. :Наука, 1985. - 560с.
6. Справочник по математике для
экономистов/В.Е. Барбаумов, В.И. Ермаков, Н.Н. Кривенцова и др.; Под ред. В.И.
Ермакова. - М.: Высшая школа, 1987. - 336 с.