Функции и их производные
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
ВАРИАНТ 4.3
№ 1.
а) Найти производные от данных функций:
б) 
Применяем
правило нахождения производной произведения функций
в)
№ 2
Дана функция 
Найти:
а) координаты вектора grad u в точке А (-1,3,2)
По определению:
б) 
в точке А в
направлении вектора а{2,-6,-3}
По определению:
Величины 
найдены в п.а)
Найдем cosб, cosв, cosг.
По формуле получаем:
№ 3.
Дана функция 
.
Найти y”. Вычислить y”(-1).
№ 4.
Доказать, что функция 
удовлетворяет уравнению
подставляем найденные выражения в уравнение, получаем: 
, что и требовалось доказать.
№5
Найти 
если 
Вычислить если 
.
Воспользуемся формулами нахождения производных для функций, заданных
параметрически
№ 6.
Функции задана неявно уравнением
Вычислить:
а) 
Вычисления проводим по формуле
б)
№ 7.
На графике функции y=ln2x взята точка А. Касательная к графику в точке А наклонена к
оси ОХ под углом, тангенс которого равен ј. Найти абсциссу точки А.
Из геометрического смысла производной 
имеем
№ 8.
Найти dy, если у=х6. Вычислить
значение dy, если
Для 
имеем
№ 9.
Дана функция 
и
точки 
и 
Вычислить Дz и dz при
переходе из точки М0 в точку М1 . Приращение функции Дz равно
Дифференциал функции dz равен
№ 10.
Дана функция 
.
Найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0;6]. Найдем 
Приравниваем числитель к нулю при условии 
Решение 
отбрасываем.
совпадает с
граничным значением.
Найдем значение функции в точках x=0 и x=6.
Наибольшее значение функции на отрезке [0;6] равно 
, наименьшее равно 3.
№ 11
Дана функция 
.
Найти ее наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве,
ограниченном прямыми 
.
Найдем стационарные точки из системы уравнений
Решаем систему уравнений
Сделаем чертеж
На участке границы х=-1 функция z(х,у)
превращается в функцию одной переменной
Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на обрезке [-1;2].
Имеем 
,
отсюда 
. Это значение
не принадлежит отрезку [-1;2]. Z(-1)=5. Z(2)=4+6+7=17.
На участке у=-1 получаем
Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке [-1;2].
Имеем 
, отсюда 
.
Находим
На участке границы у=1-х получаем функцию
Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на участке [-1;2].
На границах отрезка
Сравниваем все найденные значения функции
видим, что наибольшее
значение достигается в точке (2;-1) и равно 23, а наименьшее равно 4 и
достигается в точке (0;0).
Ответ: 23;4.
№ 12.
Провести полное исследование функции 
и начертить ее график.
1. Найдем область определения функции 
.
Функция непериодична.
2. Установим наличие симметрии относительно оси OY
или начала координат по четности или нечетности функции 
, симметрии нет.
3. Определим «поведение функции в бесконечности»
4. Точка разрыва х=-2
5. найдем пересечение кривой с осями координат
т.А (0;2)
Корней нет, нет пересечения с осью OY.
6. Найдем точки максимума и минимума
в точке 
производная
меняет знак с <-> на <+>, следовательно имеем минимум, в точке 
производная меняет знак с
<+> на <->, имеем максимум.
При 
первая производная отрицательна,
следовательно, функция убывает, при 
производная положительна, функция в этих
промежутках возрастает.
7. Найдем точки перегиба
, точек
перегиба нет. При 
вогнутость
вверх, при 
, вогнутость
вниз.
8. Найдем горизонтальные и наклонные асимптоты в виде 
, где
Получили асимптоту у=х.
Найдем пересечение кривой с асимптотой
Точек
пересечения нет.
Строим график