Основы электротехники

Основы электротехники

1. Влияние падения напряжения на максимум передаваемой мощности

напряжение статический электрический

Рассмотрим схему системы, состоящей из 2-х станций.

Рис. 1. Простейшая схема электрической системы

Необходимо определить максимально передаваемую мощность от первой станции.

Будем считать, что активные составляющие комплексных сопротивлений малы по сравнению с реактивными, тогда:

Рис. 2. Действительный предел передаваемой мощности

Построим угловые характеристики генератора P=f(d) при различных напряжениях на шинах нагрузки по формуле

 (1)

где U_Н - текущее напряжение на нагрузке (в номинальном режиме U_Н=U_НО)

При увеличении передаваемой мощности на некоторую величину напряжение на нагрузке падает до U₁<U_Н и максимум угловой характеристики соответствующей этому напряжению, будет ниже P_m1<P_m2 и если этот процесс продолжать, то получим семейство характеристик.

Построенные характеристики получены при постоянстве напряжения на шинах нагрузки для каждого конкретного режима с U_i=пост. Это условие является идеализированным, а на самом деле, при увеличении передаваемой мощности падение напряжения на сопротивлениях генераторов, трансформаторов, линий повышается и, следовательно, U на шинах нагрузки снижается. Мы можем построить характеристику с учетом уменьшения U. Максимум этой характеристики пойдет ниже, чем при условии, когда мы считаем U_н=пост.

Характеристику, которая построена при условии постоянства напряжений на шинах нагрузки U_н=пост. называют идеальной. А максимум этой характеристики идеальным пределом мощности.

Характеристику, которая построена с учетом изменения напряжения на шинах нагрузки U_н называют действительным, а максимум этой характеристики, действительным пределом мощности. Максимум (действительный предел) этой характеристики можем найти по формуле:

 (2)

учитывая, что d-a₁₂=90^o, sin(d-a₁₂)=1; и U_c=E_q2,

тогда .

Действительный предел передаваемой мощности определен при Z_н=пост., т.е. считается, что при изменениях напряжения сопротивление нагрузки не меняется.

На самом деле они меняются с изменением напряжения и это существенно сказывается на условиях устойчивости, как нагрузки, так и всей системы.

2. Оценка статической устойчивости электрической системы с помощью корней характеристического уравнения

Статическая устойчивость нерегулируемой системы без учета переходных процессов в обмотке возбуждения

Опыт эксплуатации электрических систем показывает случаи, когда синхронный генератор, нормально работающий, без видимых причин в результате неконтролируемого роста угла (монотонно или колебательно) выходил из синхронизма или же при синхронной скорости напряжение генератора возрастало до опасных величин. Эти явления наблюдались в начальном этапе становления электрических систем, когда мощности генераторов и систем были не большими. Рассмотрим на основе полученных уравнений причины таких явлений. Для определения физики процессов в начале рассмотрим нерегулируемую машину.

Воспользуемся уравнением малых колебаний, учитывающим демпферный момент

Заменим символ дифференцирования оператором p, т.е.  и будем рассматривать p как алгебраическую величину, тогда

 (3)

Из (3) составим так называемое характеристическое уравнение, исследуемой системой, которое имеет вид:

 (4)

корни которого равны:

где a= - декремент затухания,

 - частота собственных колебаний ротора синхронного генератора.

Как известно, решение (3) имеет вид:

 (5)

Определив A₁ и A₂, можно было бы получить зависимость Dd=¦(t). Однако не стараются получать Dd=¦(t) численно, а стремятся выяснить ее характер, т.е. установить, будет ли изменятся d апериодически монотонно, или колебательно, при этом затухающим или нарастающим.

Здесь необходимо отметить следующее. Составление и решение системы уравнений переходных процессов для более или менее сложной электрической схемы весьма трудоемкая задача даже при наличий компьютера, так как количество уравнений может быть сотни и тысяча. Поэтому разработаны математические методы, позволяющие определить устойчива или нет электрическая система, не решая самих уравнений переходных процессов. В случае исследования статической устойчивости электрической системы, на основе линеаризованных уравнений составляют характеристическое уравнение (или определитель) и анализируя знаки его корней (или собственные значения) получают интересующую информацию.

Необходимое и достаточное условие статической устойчивости обеспечивается тогда, когда все корни характеристического уравнения исследуемой системы

D(p)=а_opⁿ+a₁p^n-1+a₂p^n-2+ … +a_n=0 (5)

имеют отрицательные вещественные части. Так как коэффициенты (4) или (8.4) определяются в случае электрической системы параметрами системы и всегда действительны, то корни характеристического уравнения могут быть действительными или комплексно-сопряженными.

Как известно, решение системы однородных линейных линеаризованных дифференциальных уравнений представляется в виде:

 (6)

где A₁, A₂,… - постоянные, определяемые из начальных условий, p₁, p_2,…p_n - корни характеристического уравнения. Очевидно, если хотя бы один из корней (5) будет вещественным положительным, то согласно (6) с течением времени Х(t) будет неограниченно монотонно возрастать, что означает неустойчивость исследуемого процесса. Если же комплексно-сопряженные корни имеют положительную действительную часть, то возрастание Х(t) будет в виде колебании. Следовательно, для устойчивости все корни должны иметь отрицательную вещественную часть. Поэтому, все методы, применяемые для исследования статической устойчивости исследуемой системы сводятся к проверке знаков вещественных частей корней характеристического уравнения. Коэффициенты характеристического уравнения составлены из параметров режима и элементов системы, поэтому, воздействуя на них можно электрическую систему вернуть в устойчивое состояние, если наблюдается нарушение устойчивости.

Правила, при помощи которых можно проверить знаки корней, в особенности имеют ли они отрицательную действительную часть, называют критериями устойчивости.

Критерии устойчивости разделяются на две группы - алгебраические и частотные. Наиболее распространенные алгебраические - это критерии Гурвица и Раусса, а частотные - методы Д-разбиения и Михайлова (некоторые из этих критериев будут рассмотрены по ходу изложения курса, а остальные при прохождении лабораторных работ или выполнении контрольных задач). Еще раз отметим, что установить характер процесса и проверить его устойчивость можно:

а) найдя численное значение корней характеристического уравнения;

б) пользуясь математическими критериями устойчивости, определить знаки вещественных частей корней характеристического уравнение без нахождения их численных значений, что является более наглядным и позволит выяснить характер процесса, т.е. определить устойчив или неустойчив изучаемый режим.

Для рассматриваемого случая, когда уравнение имеет вторую степень (4), можно получить наглядное представление между знаками корней характеристического уравнения и динамикой процесса, справедливой для уравнения любой степени. Используя формулу Эйлера

e^jg=cosg+jsing

решение характеристического уравнение (5) после соответствующих преобразований можно написать в виде

Dd=A₀×e^at×sin(g×t) (7)

где A_o находится, исходя из начальных условий.

Теперь рассмотрим какая связь между знаком действительной части корней и характером переходного процесса Dd=f(t). Для этого построим плоскость корней в плоскости декремента затухания и частоты колебаний g®a и рассмотрим их расположение в этой плоскость при различных возможных сочетаниях их знаков.

Характер корней. Характер процесса

Рис. 4. Связь знака корней характеристического уравнения и характера процесса

Рассматривая кривые, можем определить качественно характер переходного процесса, если в электрической системе произошло малое возмущение и связать его с характером знака корней характеристического уравнении:

. Система устойчива и режим вернется в исходное положение и Dd®0, всегда, если действительная часть корня отрицательна (a<0). При этом затухание переходного процесса может быть монотонным апериодическим (g=0) или колебательным (g¹0).

. Система неустойчива и наблюдается непрерывное увеличение Dd(t) и режим не возвращается в исходное состояние, если действительная часть корня положительна (a>0). При этом нарушение устойчивости происходит монотонно, апериодически (g=0), либо колебательно (g¹0).

. В случаях, когда a=0 процесс будет постоянно незатухающим (g=0), либо колеблющимся с постоянной амплитудой (g¹0).

. Наличие демпферной системы P_d¹0 в синхронном генераторе способствует затуханию колебаний, т.е. повышает устойчивость машины.

Необходимо отметить, что полученные утверждения являются общими и не зависят от сложности электрической системы и соответственно от степени уравнений, описывающих ее.

Статическая устойчивость нерегулируемой системы с учетом переходных процессов в обмотке возбуждения

В целях учета переходного процесса в обмотке возбуждения и определения его влияния на устойчивость электрической системы дополним уравнения, полученные в предыдущем разделе.

, (8)

где  - установившийся вынужденный ток в обмотке возбуждения под действием приложенного напряжения U_f; y_fd - результирующее потокосцепление обмотки возбуждения по продольной оси; i_f - ток ротора в данный момент; r_f - активное сопротивление обмотки возбуждения.

Умножим обе стороны последнего выражения на X _afd - индуктивное сопротивление взаимоиндукции между контурами статора и ротора по продольной оси:

 (9)

или

и в отклонениях ,

где E_qe=i_fe×X_afd, E_q=i_f ×X_afd, T_do= постоянная времени обмотки возбуждения без учета демпферной системы. При разомкнутой обмотки статора, обычно ее величина колеблется в пределах (2-14) сек в зависимости от типа и мощности генератора;  - переходная э.д.с. Без вывода приведем еще два параметра, характеризующие переходный процесс:  - переходная постоянная времени обмотки возбуждения при замкнутой обмотке статора, изменяется в пределах (0,4-3) сек. и T''_d - сверхпереходная постоянная времени демпферной обмотки при замкнутой обмотки статора, изменяется в пределах (0,03-0,08) сек.

Уравнение относительного движения ротора

 (10)

запишем в отклонениях с учетом демпферной системы и постоянства мощности турбины P_T=пост., тогда:

 (11)

Величину DR_с=P_T-P_Г=DP_г можно выразить через E_q или E^'_q:

 (12)

 (13)

Коэффициенты с₁, с₂, b_1, b₂ остаются неизменными при последовательном рассмотрении изменения параметров режима.

Очевидно соотношение.

 (14)

Составим систему уравнений:

 (15)

В этих уравнениях неизвестными являются Dd, DR_c, DE_q, DE^’_q и решим (15) относительно Dd с тем, чтобы определить характер изменения Dd=¦(t) и других параметров режима:

Очевидно, Dd®0/Д(p)

Д(p)=

Система (15) будет иметь решение, если D(p)=0.

Д(p) можно рассматривать как характеристическое уравнение (или определитель) и найти ее корни и по их характеру судить о свойствах системы в отношении устойчивости или неустойчивости. После раскрытия по степеням p получим:

Д(p)=T_jT_dob₁p³+(T_jb₂+P_dT_dob₁) p²+(c₂T_dob₁+P_db₂) p+c₁b₂=0; (16)

Учитывая соотношение

и

Окончательно получим

T_jT'_d p3+(T_j+T^' _d P_d) p²+(c₂T'_d+P_d) p+c₁= 0 (17)

Исследуем характер корней этого уравнения. Для этого используем правило Гурвица (алгебраический критерий устойчивости), согласно которому для отсутствия положительных корней требуется, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определители Гурвица D_гур были положительными. Необходимо выяснить в каких случаях условие Гурвица нарушится и появятся положительные действительные корни или комплексные корни с положительными действительными частями. Прежде всего надо формализовать приведенные соотношения. Для этого характеристическое уравнение напишем в виде

 (18)

где

Определитель Гурвица составляется по определенному правилу: на пересечении первой строки и первого столбца записывают коэффициент при члене, имеющий степень на единицу меньше, чем наибольшая степень в данном уравнении. По диагонали записывают остальные коэффициенты по возрастающему индексу. Элементами определителя, расположенного выше диагонали, являются коэффициенты с индексом на единицу больше и соответственно ниже диагонали на единицу меньше.

Для уравнения (5) определители Гурвица и условия устойчивости выглядят так

 (19)

и определители Гурвица

 (20)

Последний определитель включает в себя всю матрицу Гурвица и если его раскрыть по элементам последнего столбца, можно написать

,

где -предпоследний определитель Гурвица.

Установлено, что если изменять коэффициенты характеристического уравнения в сторону ухудшения устойчивости, то первым через нуль проходит D_n. При этом, если D_n-1.>0, то через нуль проходит , т.е. это условие является границей устойчивости. Если же при D_n-1.=0, то это показывает другую границу устойчивости.

Составим определитель Гурвица для (19) по описанному правилу:

Для рассматриваемого нами уравнения третьей степени (18) определим условия устойчивости.

В соответствии с алгебраическими критериями устойчивости, условиями, обеспечивающими отрицательность действительных частей корней характеристического уравнения, являются:

) положительность коэффициентов т.е.,

₀=T'_d T_j>0, ₁=(T_j+ T'_dP_d)>0, ₂=(P_d+c₂T'_d)>0, и ₃=с₁>0;

2)  положительность предпоследнего определителя Гурвица:

D_гур= >0

Так как коэффициенты характеристического уравнения определяются параметрами режима и системы, найдем условия при которых их изменения могут привести к нарушению положительности коэффициентов.

. Основные допущения, принимаемые при расчете динамической устойчивости

Схемы замещения и характеристики мощности электрической системы в нормальном, аварийном и послеаварийном режимах

В основном при изучении динамической устойчивости электрической системы, решая дифференциальные уравнения, получают зависимость угла между э.д.с. генератора E_q и напряжения системы U во времени и других параметров режима.

Ввиду сложности изучаемых процессов и в целях упрощения задачи при расчете динамической устойчивости принимают следующие допущения:

изменение схемы коммутации в энергосистемах в период переходного процесса учитывается изменением собственных и взаимных сопротивлений;

тормозной момент, создаваемый в период короткого замыкания апериодической составляющей тока статора и поля ротора учитывается приближенно, уменьшением вращающего момента машины на 15% при 3-х фазном коротком замыкании вблизи шин генератора. При удаленном 3-х фазном коротком замыкании этот тормозной момент вообще не учитывается ввиду его малости. В течение переходного процесса увеличиваются потери в стали статора на перемагничивание. Это увеличение потерь мощности учитывается повышением активного сопротивления статора в (1,2¸2) раза;

несимметричные режимы заменяются симметричными режимами, используя метод симметричных составляющих;

возникающие при несимметричных коротких замыканиях токи нулевой последовательности не протекают по генератору и, следовательно, не создают моментов;

насыщение генераторов и трансформаторов учитываются приближенно путем уменьшения их индуктивного сопротивления на (20¸30)%. Во всех каталогах даются ненасыщенные значения сопротивлений генераторов и трансформаторов;

влияние АРВ учитывается приближенно путем принятия постоянным переходную э.д.с E'=пост за переходным сопротивлением Х'_d;

электрическая мощность генератора меняется мгновенно, мощность турбины в начальный момент переходного процесса остается неизменной, и только через 0,2¸0,3 сек, под действием регулятора скорости начинается её изменение;

токи обратной последовательности создают магнитное поле, вращение которого обратно вращению ротора, следовательно, это поле вращается с двойной частотой и создает момент двойной частоты. Механическая инерция ротора большая, поэтому ротор не может следовать за изменением момента от токов обратной последовательности, в связи с этим результирующая мощность равна нулю. Потери от токов обратной последовательности учитывают введением в схемы замещения системы соответствующих сопротивлений.

Схемы замещения при коротких замыканиях и неполнофазных режимах

Рассмотрим приведенную схему (рис. 5) и будем считать, что на генераторе установлен АРВ пропорционального типа, т.е. E^'_q= пост. за Х^'_d.

Суммарное сопротивление системы

 (21)

Максимум угловой характеристики нормального режима

 (22)

Предположим, что в начале линии передачи произошло несимметричное короткое замыкание. Для нахождения сопротивлений аварийного режима воспользуемся методом симметричных составляющих. Согласно этого метода несимметричное короткое замыкание можно заменить симметричным коротким замыканием., за дополнительным сопротивлением, которое называется аварийным шунтом. Необходимо составить схемы замещения для токов прямой, обратной и нулевой составляющих. Для токов прямой последовательности используется исходная схема.

Суммарное сопротивление обратной последовательности.

 (23)

Суммарное сопротивление для токов нулевой последовательности.

, (24)

Сопротивление нулевой последовательности линий принимаем_лo= (2¸3) X_л

Комплексная схема для аварийного режима составляется с аварийным шунтом. Преобразуя эту схему в эквивалентный треугольник, находим сопротивление между точками 1 и 2, которое является суммарным сопротивлением аварийного режима.

 (25)

Значение аварийного шунта принимают:

при однофазных коротких замыканиях: X_ш=X_2S+X_2o;

при двухфазных коротких замыканиях: X_ш=X_2S;

при двухфазных коротких замыканиях на землю

_ш=; (26)

Максимум угловой характеристики аварийного режима:

 (27)

Послеаварийный режим

Максимум угловой характеристики послеаварийного режима

 (28)

где ; (29)

Таким образом, при принятых условиях расчет динамической устойчивости простой электрической системы проводят, исходя из рассмотренных выше схем замещения и соответствующих характеристик, которые приведены на рис. 11. Получаемые результаты в целом правильно отражают электромеханические переходные процессы, если величина аварийного шунта и место аварий или короткого замыкания будут определены как можно точно, так как от этого зависит перераспределение энергии, запасённой вращающийся элементами электрической системы - генераторов, двигателей, компенсаторов и т.д.

Литература

1.   Синдеев Ю.Г. Электротехника с основами электроники: учеб. пособие для проф. училищ, лицеев и колледжей / Ю.Г. Синдеев. - Изд. 12-е, доп. и перераб.; Гриф МО. - Ростов н/Д: Феникс, 2010. - 407 с.

2.      Евдокимов, Ф.Е. Теоретические основы электротехники: учеб. для средн. проф. обр. / Ф.Е. Евдокимов - М.: Academia, 2004. - 560 c.

.        Данилов, И.А. Общая электротехника с основами электроники / И.А. Данилов - М.: Высш.шк., 2000. - 752 с.

.        Аристов Л.И. Электротехника и электроника. 2004 год.

.        Конопенко В.В. Электротехника и электроника. 2004 год.

.        Касаткин А.С. Электротехника: учеб. для вузов / А.С. Касаткин, М.В. Немцов. - 11-е изд., стер.; Гриф МО. - М.: Академия, 2007. - 539 с.

.        Касаткин А.С. Электротехника: учеб. для вузов / А.С. Касаткин, М.В. Немцов. - 9-е изд., стер.; Гриф МО. - М.: Academia, 2005. - 639 с.