Дифференциальные операции в криволинейной системе координат
Дифференциальные операции в криволинейной системе координат
1. Градиент
В декартовой системе
координат градиент функции определяется формулой
.
При переходе к
криволинейной системе координат формула для градиента должна измениться. Найдем
выражение для градиента в криволинейной системе координат. Можно записать
.
Мы получили
.
Следовательно,
.
Сформулируем полученный
результат в виде теоремы.
Теорема 1. В
ортогональной криволинейной системе координат градиент скалярного поля определяется
формулой
.
Пример 1. Найти
выражение для градиента в цилиндрической системе координат.
Решение. Коэффициенты
Ламе в цилиндрической системе координат выражаются формулами
.
Следовательно,
.
Ответ: .
Замечание 1. В полярной
системе координат градиент определяется формулой
.
Пример 2. Найти
выражение для градиента в сферической системе координат.
Решение. Запишем
коэффициенты Ламе в сферической системе координат
Следовательно,
Ответ: .
2. Дивергенция
Дивергенция векторного
поля определяется
выражением
.
В декартовой системе
координат для дивергенции получено выражение
.
В криволинейной системе
координат выражение для дивергенции имеет более сложный вид.
Теорема 1. В
ортогональной криволинейной системе координат дивергенция векторного поля определяется
выражением
.
Доказательство теоремы
производится так же, как и для градиента. Учитывая выражения для интегрального
представления дивергенции, можно получить записанную выше формулу.
Пример 1. Найти выражение
для дивергенции в цилиндрической системе координат.
Решение. Запишем
выражения для коэффициентов Ламе в цилиндрической системе координат:
.
Подставляя эти значения
в общую формулу для дивергенции, получим
.
Выполняя
дифференцирование, эту формулу можно записать в виде
.
Из этой формулы видно,
что даже для постоянного в цилиндрической системе координат поля дивергенция
может быть отличной от нуля.
Замечание 1. В полярной
системе координат дивергенция векторного поля определяется формулой
.
Пример 2. Найти
выражение для дивергенции в сферической системе координат.
Решение. Учитывая
значения коэффициентов Ламе
,
получим
.
. Ротор
Ротор описывает вихревые
свойства среды и определяется выражением
.
В декартовой системе
координат для ротора получена формула
.
Найдем выражение для
ротора в криволинейной ортогональной системе координат. Для этого рассмотрим
замкнутый контур ABCD.
Его площадь
.
Интеграл по замкнутому
контуру
.
Вычислим эти интегралы
,
.
Найдем сумму интегралов
.
Аналогично получим
.
Циркуляция определяется
выражением
Используя определение
ротора
,
получим выражения для
компонент, направленных вдоль соответствующих осей
Пример 1. Найти
выражение для компонент ротора в цилиндрической системе координат.
Решение. Подставляя в
полученные формулы значения коэффициентов Ламе, получим
Пример 2. Найти
выражение для компонент ротора в сферической системе координат.
Ответ:
.
4. Оператор Лапласа
Оператор Лапласа
определяется выражением
и в декартовой системе
координат описывается формулой
.
Найдем выражение для оператора
Лапласа в криволинейной ортогональной системе координат. Для этого запишем
градиент и дивергенцию в криволинейной системе координат
,
.
Подставляя эти выражения
в оператор Лапласа, получим
.
Пример 1. Найти
выражение для оператора Лапласа в цилиндрической системе координат.
Решение. Подставляя
значения коэффициентов Ламе, получим
.
Замечание 1. Оператор Лапласа
в полярной системе координат определяется формулой
.
Пример 2. Найти
выражение для оператора Лапласа в сферической системе координат.
Решение. Подставляя
значения коэффициентов Ламе, получим
Ответ:
.
5. Уравнение Лапласа
Уравнением Лапласа
называют уравнение вида .
Это уравнение называют
уравнением эллиптического типа. Оно часто встречается в задачах, связанных с
определением потенциала различных стационарных полей. В частности, задача
определения поля температур, электрического потенциала, упругих напряжений и
деформаций связана с решением уравнения Лапласа. Отметим, что в математической
физике изучают также уравнения гиперболического и параболического типа.
Существует много различных методов
решения уравнений эллиптического типа. Среди них можно выделить метод
разделения переменных, метод функции источника, теорию потенциала, метод
аналитических функций и много других. Рассмотрим несколько простейших задач, не
связанных с использованием специальных методов.
Цилиндрическая
симметрия. Найдем решение уравнения Лапласа для функции, обладающей
цилиндрической симметрией, т.е. не зависящей от полярного угла и
переменной z. В этом случае уравнение Лапласа, записанное в цилиндрической
системе координат, имеет вид
.
Частные производные
здесь заменены полными. Из этого уравнения следует
,
где и
-
произвольные постоянные, которые можно найти из граничных условий.
Сферическая симметрия.
Найдем решение уравнения Лапласа для функции, обладающей сферической
симметрией, т.е. не зависящей от углов и .
В этом случае уравнение Лапласа, записанное в сферической системе координат,
имеет вид
.
Нетрудно найти решение
этого уравнения
.
Решение уравнения
Пуассона рассмотрим на конкретных примерах.
Пример 1. Найти решение
уравнения Пуассона внутри
круга радиуса ,
если
Решение. Искомая функция
обладает цилиндрической симметрией, поэтому запишем уравнение Пуассона в
цилиндрической системе координат в виде
.
Решим это уравнение
.
градиент криволинейный
ламе дифференциальный
Постоянные и
найдем
из граничного условия и условия ограниченности функции. Учитывая, что ,
получим .
Из условия получим
.
Следовательно, имеем
окончательный ответ
.
Список источников
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики,
М.: МГУ, 1999, 798 с.
. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержев В.Ф. Специальный курс
высшей математики для втузов, М.: «Высшая школа», 1976, 390 с.
. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, М.:
Наука, 1985, 384 с.
. Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В.С.
Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.
. Красильников О.М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов
наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.
. Супрун И.Т., Абрамова С.С. Физика. Методические указания по
выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.