Дифференциальные операции второго порядка

Контрольная работа

тема: "Дифференциальные операции второго порядка"

Москва 2014

Содержание

Введение

1. Оператор Лапласа

2. Градиент дивергенции

3. Дивергенция градиента и ротора

4. Ротор градиента и ротора

5. Формулы Грина

Список использованной литературы и источников

Введение

Вычисление градиента, дивергенции и ротора связано с однократным дифференцированием некоторых функций, поэтому эти операции называют дифференциальными операциями первого порядка.

Для скалярного поля  был введен один оператор первого порядка

.

Для векторного поля введены два оператора первого порядка

.

Повторное применение оператора "набла" приводит к необходимости вычисления вторых производных. Т.о. мы приходим к дифференциальным операторам второго порядка.

Имеет смысл рассматривать пять дифференциальных операций второго порядка:

) ;

) ;

) ;

) ;

) .

Будем считать, что необходимые условия дифференцируемости, непрерывности и пр. выполнены. Более детально эти вопросы обсуждаются в расширенных курсах высшей математики.

1. Оператор Лапласа

Рассмотрим скалярное поле . Существует единственный дифференциальный оператор, действующий на это поле

.

Полученный вектор указывает величину и направление максимального возрастания функции .

Вычислим в явном виде . Используя оператор "набла", имеем

.

Убедимся в справедливости этого выражения путем непосредственного дифференцирования:

.

Выражение, естественно, получилось таким же.

Такое выражение часто встречается в различных задачах математической физики и для его записи введен специальный дифференциальный оператор второго порядка:

дифференциальная операция градиент дивергенция

.

Этот оператор называют оператором Лапласа или лапласианом. Формально можно записать

.

Итак, дивергенция градиента скалярной функции равна лапласиану этой функции. Оператор Лапласа широко применяется в различных задачах. Так, например, расчет температурного поля сводится к решению уравнения Лапласа

с соответствующими граничными условиями.

. Градиент дивергенции

Рассмотрим операцию . В прямоугольной декартовой системе координат имеем

Полученное выражение является вектором, компонентами которого являются комбинации частных производных второго порядка.

Отметим, что некорректное использование оператора "набла" может привести к неверным результатам:

.

В этой формуле, которая отличается от полученной в начале параграфа, допущена ошибка в преобразовании

.

Три вектора, которые здесь используются, не образуют смешанное произведение векторов (в смешанном произведении ). Заменять действие двух операторов "набла" одним оператором Δ недопустимо, т.к. их последовательные действия в отношении вектора F различаются.

Следует иметь в виду, что операции с оператором  требуют внимания и аккуратности, поэтому соответствующие преобразования следует сопровождать непосредственными вычислениями, выполняя дифференцирование по координатам.

3. Дивергенция градиента и ротора

Дивергенцию градиента мы определили в §1

,

где был введен оператор Лапласа

.

Найдем дивергенцию ротора с помощью оператора "набла":

.

Нетрудно убедиться в справедливости этого равенства и непосредственным дифференцированием. Предлагается сделать это самостоятельно.

В выражении  рассматривается смешанное произведение трех векторов ,  и . Отметим отличие этого случая от выражения

,

которое не является смешанным произведением (выражение  является скалярным произведением, а не векторным).

4. Ротор градиента и ротора

Для операции  можно также использовать оператор "набла":

,

Здесь учтено, что векторное произведение коллинеарных операторов равно нулю. Предлагается получить этот же результат путем непосредственного дифференцирования.

Из полученного результата можно получить важное следствие. Рассмотрим некоторую замкнутую кривую L и натянем на нее произвольную поверхность S.

Используя теорему Стокса, можем записать

.

Полученный результат сформулируем в виде теоремы:

Теорема 1. Циркуляция векторного поля  по любому замкнутому контуру равна нулю.

.

Доказательство. Сделаем рисунок.

Выполним простейшие преобразования

,

Следовательно

. Имеем

.

Это означает, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом. Следовательно, величина интеграла зависит только от выбора точек А и В:

.

Вычислим операцию . Для этого используем известную из векторной алгебры формулу для двойного векторного произведения

.

Перепишем эту формулу в более удобном для нас виде

.

Преобразование сделано так, чтобы в дальнейших формулах оператор "набла" не стоял на последней позиции. В терминах оператора "набла" получим

.

(Что было бы, если использовать обычную формулу для двойного векторного произведения?)

Используя обозначение оператора Лапласа, можно записать

.

Имеем систему трех дифференциальных соотношений, записанных для компонент вектора F.

Мы рассмотрели основные дифференциальные операции второго порядка. В дальнейшем будем их использовать при решении различных задач.

5. Формулы Грина

Получим еще несколько формул общего характера, которые связывают свойства различных функций и широко используются в приложениях. Запишем формулу Гаусса-Остроградского

.

Пусть  и  - две произвольные скалярные функции. Положим

.

Тогда теорема Гаусса-Остроградского принимает вид

.

Можно записать

,

.

Здесь введено обозначение

для производной функции  по направлению   

После подстановки этих выражений в видоизмененную формулу Гаусса-Остроградского получим

.

Эта формула называется первой формулой Грина.

Аналогично, если положить

,

то первая формула Грина примет вид

.

Вычитая соответствующие формулы, получим

.

Эта формула называется второй формулой Грина.

Используя формулы Грина, можно получить связи между значениями функции во внутренних точках выделенного объема и на границах.

Теорема 1. Значение функции  во внутренней точке  области Т, ограниченной поверхностью S, определяется формулой

, где

 -

расстояние между точками  и . Доказательство. Рассмотрим точку  и окружим ее маленькой сферической поверхностью  радиуса

Введем функцию

, где

.

Нетрудно вычислить оператор Лапласа от функции  (сделать самостоятельно)

.

Из второй формулы Грина

,

записанной для области, ограниченной поверхностями S и , получим

Рассмотрим интеграл по поверхности сферы

Учитывая условие , получим

Пусть . Теорема о среднем для поверхностного интеграла имеет вид

.

Применим к нашему интегралу теорему о среднем

.

В пределе  получим

.

Возвращаемся к первоначальной формуле Грина

. тсюда

.

. Вопросы и задачи

. Вычислить оператор Лапласа для функций:

а) ,

б) , где ,

в) ,

г) ,

д) , где .

Список использованной литературы и источников

1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, М.: МГУ, 1999, 798 с.

. Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержев В.Ф. Специальный курс высшей математики для втузов, М.: "Высшая школа", 1976, 390 с.

. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, М.: Наука, 1985, 384 с.

. Все решения к "Сборнику задач по общему курсу физики" В.С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.

. Красильников О.М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.

. Супрун И.Т., Абрамова С.С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.