Расчеты с простыми процентами

Расчеты с простыми процентами

1. Задания по теме «Расчеты с простыми процентами»

Ссуда в размере 100 000 руб. выдана 21 января под 8% годовых. Срок возврата ссуды - 5 октября. Определите размер погасительного платежа, применяя:

А) точные проценты с фактическим числом дней ссуды;

Б) обыкновенные проценты с фактическим числом дней ссуды;

В) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение

А) Найдем по таблице №1 фактическое число дней ссуды - 257. Дней в году 365. Применяем формулу для нахождения размера погасительного платежа.

=P (l+ni),

где P - первоначальная величина кредита (сумма, взятая в кредит) = 100000;- наращенная величина кредита (сумма, подлежащая возврату);- срок кредита, измеряемый в годах = 257 дней;- годовая процентная ставка (в формуле выражается в сотых долях) = 8%.=100000*(1+(257/365)*0,08)=105632,88 руб.

Б) Фактическое число дней ссуды - 257. Дней в году 360. Подставляя данные имеем:=100000*(1+ (257/360)*0, 08) =105711, 11 руб.

В) Число дней ссуды - 254. Дней в году 360. Подставляя данные имеем:=100000*(1+ (254/360)*0, 08) =105644, 44 руб.

Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - 6%, в каждом следующем полугодии ставка повышается на 0,5%.

Определите множитель наращения за 2,5 года.

Решение

Если в течение срока кредита процентная ставка изменяется, то множитель наращивания равен:

где n - срок кредита, измеряемый в годах;- годовая процентная ставка (в формуле выражается в сотых долях).

В нашем случае n=6%, n=6%, n=6,5%, n=7%, n=7,5%.=1+0,5*0,06+0,5*0,06+0,5*0,065+0,5*0,07+0,5*0,075=1,165

Обязательство уплатить через 180 дней 300 000 руб. с процентами по ставке 6% годовых было учтено в банке за 120 дней до срока, учетная ставка 7,5%.

Определите:

А) полученную при учете сумму;

Б) эквивалентную ставку процентов, дающую при учете тот же результат (К=360).

Решение

А) Используем формулу для нахождения суммы выплаты:

,

где d количество дней кредита;- первоначальная величина кредита (сумма, взятая в кредит);- наращенная величина кредита (сумма, подлежащая возврату);- дней в году (в зависимости от метода);- годовая процентная ставка (в формуле выражается в сотых долях).=300000*(1+ (60/360)*0,075=303750 руб.

Б) Найдем прибыль банка за 180 дней:=300000*(1+ (180/360)*0,075=309000 руб.

Изменим формулу для вычисления эквивалентной процентной ставки:

= (((S/P) - 1*k)/d

= (((309000/300000) - 1)*360)/60=18%

Решено консолидировать (объединить) три платежа со сроками 15 мая, 15 июня, 15 августа. Суммы платежей 10000, 20000 и 15000 руб. соответственно. Срок консолидированного платежа 1 августа. Ставка процентов - 8%.

Определите сумму консолидированного платежа. При начислении процентов используйте метод 365/360.

Решение

Найдем по таблице №1 сроки платежей на 1 августа. d=78; d=47; d=-14.

Используя формулу:

,

где d количество дней кредита;- первоначальная величина кредита (сумма, взятая в кредит);- наращенная величина кредита (сумма, подлежащая возврату);- дней в году (в зависимости от метода);- годовая процентная ставка (в формуле выражается в сотых долях).=10000*(1+ (78/360)*0, 08) =10173, 33 руб.=20000*(1+ (47/360)*0, 08) =20288, 88 руб.=15000*(1 - (14/360)*0, 08) =14953, 33 руб.

Консолидированный платеж:=10173, 33+20288, 88+14953, 33=45415, 54 руб.

2. Задания по теме «Расчеты со сложными процентами»

Кредит в размере 300000 руб. выдан на срок 3 года 160 дней. Контрактом предусмотрена ставка сложных процентов, равная 6,5% годовых.

Определите сумму долга на конец срока, используя:

А) точный метод начисления сложных процентов;

Б) смешанный метод начисления сложных процентов. Сравните полученные результаты.

Решение

а)       Для вычисления суммы долга на конец срока, используем формулу точного метода начисления сложных процентов:

S=P (1+)

где j - номинальная ставка процентов, задаваемая для срока, равного одному году;

т - количество начислений процентов в год =1

п - срок кредита, измеряемый в годах

_T = 300000 * (1 + (0,065/ I)) ¹*^{3, 44} = 372566, 58 руб.

б)      Для вычисления суммы долга на конец срока, используем формулу смешанного метода начисления сложных процентов:

S=P (1+)(1+D(mn))

где E(mn) - целая часть показателя степени в предыдущей формуле(тп) - дробная часть показателя степени в предыдущей формуле_c = 300000 * (1 + (0,065 / 1))^1*3 * (1 +(0,065 / 1 * 0,44)) = 372749,09 руб.

Сумма долга вычисленного точным методом больше.

Сравните условия вложения средств в банк в следующих случаях:

) номинальная ставка 26% при ежемесячном начислении процентов;

2) номинальная ставка 27% при ежеквартальном начислении процентов;

) номинальная ставка 28% при начислении процентов каждые полгода;

Сравнение проведите двумя способами, используя: а) эффективную ставку процентов; 6) время удвоения вклада.

Решение

а) Найдем эффективную ставку процентов по формуле:

i= (1+)-1

т - количество начислений процентов в год: m₁ = 12, m₂ = 4, m₃ = 2.

1)        i = (1 +(0,26 / 12)¹²- 1 = 0,2933

2)        i= (1 + (0,27 / 12)⁴ - 1 = 0,2985

3)        i_|= (1 + (0,28 / 12)² - 1 = 0,2996

б)      Найдем время удвоения по формуле:

т ₂=

1)        т₂ = In 2 / (12 ln (1 +(0,26/ 12))) = 2,6947

2)        т₂ = In 2 / (4 ln (1 + (0,27 / 4))) = 2,6529

Вклад под 28% самый выгодный.

Кредит в сумме 100 000 руб. взят на 5 лет с ежегодным начислением процентов по ставке 5%. Соглашение пересмотрено так, что через два года производится выплата 30 000 руб., а еще через четыре года выплачивается оставшаяся часть долга.

Решение

1)      Найдем сумму выплаты через 2 года

S = 100000 * (1 +(0,05 / 1) = 110250 руб.

Т.к. вкладчик погасил часть платежа, то сумма составит: = 110250 - 30000 = 80250 руб.

2) Найдем сумму выплаты через 4 года

S₀ = 80250 * (1 + (0,05 / I)¹ *⁴ = 97544,37 руб.

3. Задания по теме «Количественный анализ потоков платежей»

Вычислите коэффициент аккумуляции за 5 лет для потока платежей пренумерандо, если взносы осуществляются ежеквартально, начисление процентов ежеквартальное по номинальной ставке 10%.

Решение

Коэффициент аккумуляции для потока платежей пренумерандо вычисляется по формуле:

;

где п - срок потока платежей в годах - 5 лет

р - количество выплат в течение года - 4

т - количество начислений процентов в течение года - 4q находится по формуле:

=1+,

- номинальная ставка сложных процентов - 10%= 1 +0, 1 / 4= 1,025 = 1,025^4/4 * ((1,025^4*5) - 1)/(1,025^4/4 - 1) = 26,18

Решите предыдущую задачу при условии, что взносы осуществляются ежемесячно, а начисление процентов - ежеквартально.

Решение

Таким образом р - количество выплат в течение года - 12 т - количество начислений процентов в течение года - 4- 1,025

Применяем ту же формулу:

;

_a = 1,025^4/12 * ((1,025⁴ *⁵) - 1) / (1,025^4/12 - 1) = 86,52

Решите задачу 3.2 для потока платежей постнумерандо.

Решение

Коэффициент аккумуляции для потока платежей постнумерандо вычисляется по формуле:

;

=(1,025-1)/(1,025-1)=65,54

В банк вносятся ежегодно, в начале года, вклады. Величина первого вклада - 100 000 руб., каждый следующий вклад на 20 000 руб. больше предыдущего. Проценты начисляются ежегодно по ставке 10%.

Определите аккумулированную сумму вклада за 5 лет.

Решение

Для переменных годовых рент с постоянным абсолютным изменением выплат потока пренумерандо, аккумулированная сумма могут быть вычислена по формуле:

S=uq;

процент платеж постнумерандо вклад

где q вычисляется по формуле

=1+,

где и - величина первой выплаты потока - 100000- величина, показывающая, на сколько каждая следующая выплата отличается от предыдущей - 20000- срок потока платежей в годах - 5 лет- номинальная ставка процентов, задаваемая для срока, один год - 10%

т - количество начислений процентов в течение года - 1- множитель наращения периода начисления процентов=1+0,1/1=1,1

_a = (100000 * 1,1 * (1,1⁵ - 1) / (1,1 - 1)) +(20000 * 1,1 *((1,1⁵-1) / (1,1 - -1)²)-

(5/(1,1 - 1))) = 914683 руб.

В задаче 3.2 определить текущую (первоначальную) стоимость вклада при постоянных выплатах, равных 100 000 руб.

Решение

Определим текущую стоимость вклада через стоимость постоянных потоков платежей:

;

где r - величина постоянных выплат, образующих поток;

п - срок потока платежей в годах;

р - количество выплат в течение года;

т - количество начислений процентов в течение года;

=1+;

- номинальная ставка сложных процентов.= 1,025

Р_а = 100000 * 1,025^4/4 * (1,025^4*5 - 1)/(1,025 ^4*5 * (1,025 ^4/4 - 1)) - 1598100

В банк вносятся ежегодно, в начале года, вклады. Величина первого вклада - 100 000 руб., каждый следующий вклад на 5% больше предыдущего. Проценты начисляются ежегодно по ставке 10%.

Определите аккумулированную сумму вклада за 5 лет.

Решение:

Для переменных годовых рент с постоянным абсолютным изменением выплат потока пренумерандо, аккумулированная сумма могут быть вычислена по формуле:

S=uq;

где q вычисляется по формуле

q=1+,

где и - величина первой выплаты потока - 100000- величина, показывающая, на сколько каждая следующая выплата отличается от предыдущей - 5%

п - срок потока платежей в годах - 5 лет- номинальная ставка процентов, задаваемая для срока, один год - 10%

т - количество начислений процентов в течение года - 1- множитель наращения периода начисления процентов.= 1 +0,1 / 1 = 1,1_a - (100000 * 1,1 * (1,1⁵ - 1)/(1,1 - 1)) + (5000 * 1,1 * ((1,1⁵ - 1)/(1,1 - 1)²) - (5 / (1,1 - 1))) = 732341,5 руб.

Через 5 лет необходимо начать инвестирование проекта, требующее ежегодных вложений по 1 млн руб. в начале каждого года в течение 5 лет. Определите величину ежегодных платежей для аккумуляции необходимых для осуществления инвестиций средств при условии, что вложения производятся ежегодно (в конце года). Считайте, что проценты начисляются ежегодно по ставке 7%. Определите текущую (первоначальную) стоимость вклада.

Решение

) Найдем совместную стоимость потока платежей постнумерандо, на конец вложений, по формуле:

;

где г - величина постоянных выплат, образующих поток - 1 мил. руб.

п - срок потока платежей в годах - 5 лет

р - количество выплат в течение года - 1

q=1+;

- номинальная ставка процентов, задаваемая для срока, один год - 7%= 1 +0,07/1= 1,07

Р_р= 1000000* 1,07 * (1,07⁵ - 1)/(1,07⁵ * (1,07^1/1 - 1)) = 4387211 руб.

) Для того что бы определите текущую стоимость вклада воспользуемся формулой:

S=r

где г - величина постоянных выплат, образующих поток - необходимо найти?

п - срок потока платежей в годах;

р - количество выплат в течение года;

т - количество начислений процентов в течение года;- номинальная ставка сложных процентов.

S/r = ((1 +0,07/ 1)⁵ - 1)/((1 +(0,07/1)¹ - 1) = 5,75= 4387211 / 5,75 =762895,16 руб.

Решите предыдущую задачу при условии, что аккумуляция средств осуществляется в течение трех лет платежами пренумерандо. Определите текущую (первоначальную) стоимость вклада.

Решение

Т.к. совместную стоимость потока платежей равна 4387211 руб., a q = 1,07. Применим формулу для аккумуляции средств пренумератдо:

=r (1+)

S_a/r = (1 +0,07/ I)^1/1 * ((1 + 0,07/ l)³ - l)/((1 +(0,07/1)-1) = 3,43=4387211/3,43=1279070 руб.

4. Планирование погашения долгосрочных задолженностей

Рассчитайте величину платежей погашения кредита в 5 млн руб. равными аннуитетами постнумерандо в течение 10 лет, если ставка сложных процентов равна 8% при ежегодном начислении процентов.

Составьте план амортизации с указанием частей аннуитета, идущих на погашение основного долга и выплату процентов на текущий остаток долга.

Решение:

1)        Найдем величину платежей по формуле:

R = S

где q = 1 + i= 5000000 * (1,08¹⁰ * (1,08 - 1))/(l, 08¹⁰-l) - 745150 руб.

) Составим план амортизации:

b=R-Si= S

Кредит в 50 млн руб. взят на 10 лет под 10% годовых с выплатой равными аннуитетами постнумерандо. После 8 лет выплат решено погасить остаток долга единовременным платежом. Определите величину погасительного платежа.

Решение

Найдем величину платежа по формуле:

= S

где q = 1 + i q=1,1_k= 50000000 * 1,1⁸* (1,08^10-8 - 1)/(1,08¹⁰ - 1)= 15389033 руб.

Затем в 10 млн. рублей на 5 лет может быть получен в трех различных банках на следующих условиях:

) курс займа С = 80, процентная ставка - 6%;

) курс займа С = 90, процентная ставка - 7%;

) курс займа С = 95, процентная ставка - 8%;

Сравните условия займов и определите наиболее выгодные из них.

А) Найдем для каждого случая курс займа, по формуле:

=

Отсюда следует - S_d = S₀ * 100 / С

где So - величина суммы, полученной должником;_d - величина долга, записанная кредитором за должником.

) S_d1= 10000000 * 100 / 80 = 12,5 млн. руб.

2)        S_d2 = 10000000 * 100 / 90 = 11,11 млн. руб.

3)        S_d3 = 10000000 * 100/95 = 10,52 млн. руб.

Б) Для того чтобы сравнить условия займов найдем величину погасительного платежа по формуле:

R = S

где q = 1 + i q = 1,06 q₂^:=l, 07 q₃=l, 07

) R = 12500000 * 1,06⁵ * (1,06 - 1) / (1,06⁵ - 1) = 2,967 млн. руб.

) R = 11110000 * 1,07⁵ * (1,07 - 1)/(1,07⁵ - 1) = 2,709 млн. руб.

) R=10520000 * 1,08⁵ * (1,08 - 1)/(1,08⁵ - 1) = 2,634 млн. руб.

Платеж №3 самый выгодный.

Список литературы

1. Четыркин Е.М. Методы финансовых и экономических расчетов. - М.: Дело ЛТД, 1995 г.

. Кочович Е. Финансовая математика. - М.: Финансы и статистика, 1994 г.