Оптимизация работы предприятия

Оптимизация работы предприятия

ГОУ ВПО

УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по предмету: «Теория принятия решений»

вариант 1

Группа

ЦАСК-10

Студент

Носков М.С.

Преподаватель

Осипова И.А.

Екатеринбург 2013 г.

Содержание

1. Постановка задачи

. Решение задачи

1. Постановка задачи

Компания «Иванов и сотоварищи» производит двери, которые продаются в строительных магазинах. Компания производит двери двух видов - «Гранд» и «Челси». Дверь «Гранд» стоит 30 $, а «Челси» 40 $.

Рыночная ситуация складывается таким образом, что спрос на продукцию практически не ограничен. На производстве дверей в компании занято 8рабочих, которые, по соглашению с профсоюзом, могут работать не более 40 часов в неделю с почасовое оплатой 6 $. Для производства дверей требуется дерево и стекло. В течении недели компания может купить 600 км.м дерева по цене 4 $ за кв. и 300 кв. стекла по цене 16$ за кв. для производства одной двери Гранд требуется 2 кв. дерева и 0,5 кв. стекла. А для производства одной двери типа Челси требуется 1,5 кв. дерева и 1 кв. стекла.

На производство (обработка и сборка) одной двери, независимо от типа, рабочий затрачивает 1 час. Руководство хотело бы знать: как можно оптимизировать работу предприятия.

C1, С2 и С3. Эти 3 вида продукции производится с использованием 2 производственных процессов - процесс А и процесс В. При использовании процесса А, применение которого стоит 4$ в час, производится 3 тонны продукции C1, 1 тонна продукции C2 и 1 тонна продукции C3. При использовании процесса В, применение которого стоит 1$ в час, производится 1 тонна продукции C1 и 1 тонна продукции C2. Для выполнения ранее заключенных контрактов ежедневно должно производиться не менее 10 тонн продукции C1, 5 тонн продукции C2 и 3 тонн продукции C3. Менеджеру компании необходимо определить - как наилучшим образом можно выполнить заключенные контракты.

Представим основные данные задачи в виде таблицы:

В задаче необходимо определить, с помощью каких производственных процессов производить продукцию, что бы выполнить заключенные контракты.

Обозначим эти процессы как переменные модели:

х1 - ежедневный объем продукции по производственному процессу А

х2 - ежедневный объем продукции по производственному процессу В

Используя эти переменные, далее строим целевую функцию. Обозначим эту функцию через z (она измеряется в долларах) и положим, что z = 4х1+1х2.

В соответствии с целями компании получаем задачу:

минимизировать z = 4х1+1х2

Итак, остался не определенным последний элемент модели - условия (ограничения), которые должны учитывать необходимые ежедневные объемы производства продукции.

Ограничения можно записать следующим образом:

Из таблицы с данными имеем следующее:

С1=3х1+1х2

С2=1х1+1х2

С3=х1

х1+1х2≥10

х1+1х2≥5

х1≥3

х1, х2≥0

Окончательно задача будет записана следующим образом:

минимизировать z = 4х1+1х2,

при выполнении ограничений:

х1+1х2≥10

х1+1х2≥5

х1≥3

х1, х2≥0

Любое решение, удовлетворяющее ограничениям модели, является допустимым. Например, решение х1 = 3 и х2 = 2 будет допустимым, так как не нарушает ни одного ограничения, включая условие неотрицательности. Чтобы удостовериться в этом, подставим значения х1 = 3 и х2 = 2 в левые части неравенств системы ограничений и убедимся, что ни одно неравенство не нарушается. Значение целевой функции при этом решении будет равно z = 4·3+1·2 = 14 (долл.).

Итак, задача сформулирована, теперь встает вопрос о поиске оптимального допустимого решения, доставляющего максимум целевой функции. После некоторых раздумий приходим к выводу, что задача имеет много (фактически бесконечно много) допустимых решений. По этой причине невозможна подстановка значений переменных для поиска оптимума, т.е. нельзя применить простой перебор всех допустимых решений. Следовательно, необходима эффективная процедура отбора допустимых решений для поиска оптимального.

Поэтому решим задачу графическим методом.

Графический способ решения задачи ЛП состоит из двух этапов.

. Построение пространства допустимых решений, удовлетворяющих всем ограничениям модели.

. Поиск оптимального решения среди всех точек пространства допустимых решений.

Этап 1. Построение пространства допустимых решений.

Сначала проведем оси: на горизонтальной будут указываться значения переменной х1, а на вертикальной - х2 . Далее рассмотрим условие неотрицательности переменных: х1 > 0 и х2 > 0. Эти два ограничения показывают, что пространство допустимых решений будет лежать в первом квадранте (т.е. выше оси х1 и правее оси х2).

допустимый решений продукция контракт

Чтобы учесть оставшиеся ограничения, проще всего заменить неравенства на равенства (получив уравнения прямых), а затем на плоскости провести эти прямые. Например, неравенство 3х1+1х2≥10 заменяется уравнением прямой 3х1+1х2=10. Чтобы провести эту линию, надо найти две различные точки, лежащие на этой прямой. Если х1 = 0, то х2 = 10. Аналогично для х2 = 0 находим х1 =3,3. Итак, наша прямая проходит через две точки (0, 10) и (3,3 , 0). Также рисуем вторую прямую 1х1+1х2=5 с точками (0, 5) и (5, 0), и третью х=3 с точками (3,0).

Этап 2. Поиск оптимального решения.

Любая точка, расположенная внутри или на границе области, ограниченной ломаной ABC, является допустимым решением, т.е. удовлетворяет всем ограничениям. Поскольку пространство допустимых решений содержит бесконечное число точек, необходима некая процедура поиска оптимального решения.

Для того чтобы найти оптимальное решение, необходимо определить направление уменьшения целевой функции z = 4х1+1х2 (напомним, что функцию z следует минимизировать). Мы можем приравнять z к нескольким значениям, например 13 и 15. Эти значения, подставленные вместо z в выражение целевой функции, порождают уравнения прямых; для значений 13 и 15 получаем уравнения прямых 13 = 4х1+1х2 (х1=0, х2=13; х1=3,25, х2=0) и 15 = 4х1+1х2 (х1=0, х2=15; х1=3,75, х2=0). На рисунке эти прямые показаны штриховыми линиями. Целевая функция может уменьшаться до тех пор, пока прямые, соответствующие уменьшающимся значениям этой функции, пересекают область допустимых решений. Точка пересечения области допустимых решений и прямой, соответствующей минимально возможному значению целевой функции, и будет точкой оптимума.

По рисунку видно, что решением этой системы будет х1 = 3 и х2 = 2, при этом значение целевой функции равно z = 4·3+1·2 = 14.

Ответ к задаче А=3, В=2

Как альтернативное решение данной задачи на предприятии, можно в производственном процессе.реализовать возможность изготовления продукции C3 для более гибкого подхода к выполнению контрактов.

При этом стоимость производственного процесса B за час возрастет на незначительную разницу.