Методы оптимальных решений

Методы оптимальных решений

Методы оптимальных решений

1. Задание 1

Предприятию ООО «ТИТАН», одним из видов деятельности которого является выполнение токарных, фрезерных и сверлильных работ, поступил заказ на производство гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня в количестве соответственно  шт. Производство заказанной токарной продукции в полном объеме ограничено запасами имеющихся ресурсов (трудозатратами -  чел.-час., запасом стали -  кг, а также выделенными денежными средствами на оплату труда рабочих и последующую обработку токарной продукции -  руб.). Кроме того, известно, что для производства единицы продукции каждого вида требуется соответственно  кг стали, трудозатраты при этом составляют соответственно  чел.-час. За каждую изготовленную деталь рабочий предприятия получает  руб., последующая обработка единицы изделия каждого вида требует затрат денежных средств в размере  руб. соответственно.

Задача оптимизации производства для ООО «ТИТАН» ставится в форме максимизации дополнительной прибыли предприятия при заданных ассортименте выпускаемой продукции и ограничениях на имеющиеся запасы ресурсов, при условии, что прибыль от реализации единицы продукции каждого вида составляет соответственно  руб.

Необходимо:

1. Построить экономико-математическую модель представленной задачи линейного программирования (с учетом условия целочисленности).

. Определить с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальный план производства продукции ООО «ТИТАН» (количество гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня).

. Дать экономическую интерпретацию полученного решения. Сформулировать оптимальное управленческое решение в описанных условиях.

Построим экономико-математическую модель представленной задачи линейного программирования (с учетом условия целочисленности).

Обозначим через  (где ) - объём производства продукции ООО «ТИТАН» (количество гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня).

Тогда дополнительная прибыль предприятия при заданном ассортименте выпускаемой продукции  составит:

Ограничения по запасам имеющихся ресурсов:

Ограничения по объему производства:

Условия неотрицательности объемов производства:

Условия целочисленности объемов производства: .

Экономико-математическая модель представленной задачи планирования производства составлена.

. Определим с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальный план производства продукции ООО «ТИТАН» (количество гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня).

На листе 1 новой книги Microsoft Excel, названной «Задача планирования производства», в ячейки А3:F12 введем исходные данные как на рис. 1.

В ячейках А14:Е16 сформируем таблицу оптимального плана производства токарной продукции ООО «ТИТАН», причем ячейки В16:Е16 заполняем нулями (см. рис. 2).

Рис. 1. Ввод исходных данных задания 1

Ячейки G7:G8 объединим и введем «Требуемое количество ресурсов», а в ячейку G9 формулу, определяющую общее количество стали, необходимое для производства всего объема токарной продукции: «=СУММПРОИЗВ (B9:E9;$B$16:$E$16)» (Для вставки функции «СУММПРОИЗВ» необходимо выполнить команду «Вставка»/ «Функция», в открывшемся окне Мастера функции выбрать категорию «Математические», функцию СУММПРОИЗВ(). Данная функция возвращает сумму произведений соответствующих элементов массивов и диапазонов. Далее необходимо заполнить поля функции СУММПРОИЗВ согласно рис. 3: в поле «Массив 1» указываются ячейки B9:Е9, содержащие нормы затрат стали на производство единицы продукции каждого вида, в поле «Массив 2» - ячейки $B$16:$E$16, содержащие оптимальный план производства токарной продукции, причем ссылки на эти ячейки должны быть абсолютными, для чего после выбора этих ячеек нажимаем клавишу F4 на клавиатуре). Далее копируем формулу из ячейки G9 в ячейку G10, как на рис. 2.

Ячейки G11 и G12 объединим и введем формулу, определяющую общее количество денежных средств, необходимых для оплаты труда рабочих и последующую обработку произведенной продукции (рис. 2): =СУММПРОИЗВ (B11:E11;$B$16:$E$16)+СУММПРОИЗВ (B12:E12;$B$16:$E$16)».

Рис. 2. Ввод формул

Рис. 3. Ввод аргументов функции СУММПРОИЗВ()

Затем в ячейку А18 введем «Целевая функция (доп. доход ООО «ТИТАН» от производства токарной продукции):», а в ячейку G18 - формулу: =СУММПРОИЗВ (B4:E4; B16:E16)» (в поле «Массив 1» окна аргументов функции СУММПРОИЗВ указываются ячейки B4:E4, содержащие прибыль от реализации единицы продукции каждого вида, в поле «Массив 2» - ячейки B16:E16, содержащие оптимальный план производства токарной продукции ООО «ТИТАН»).

Результатом расчета дополнительной прибыли предприятия от производства токарной продукции в Microsoft Excel на данном этапе выполнения задания является значение, равное нулю (рис. 4). В дальнейшем (после выполнения некоторых манипуляций) в ячейке G18 будет рассчитана максимальная дополнительная прибыль ООО «ТИТАН».

Рис. 4. Результат вычисления введенных формул

Теперь определим с помощью надстройки «Поиск решения» в Microsoft Excel оптимальный план производства продукции ООО «ТИТАН» (количество гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня), при котором предприятие получит дополнительный доход.

Для этого необходимо выделить ячейку, содержащую значение целевой функции (ячейку G18), и выполнить команду «Сервис»/ «Поиск решения…». В открывшемся окне надстройки «Поиск решения…» в поле «Целевая ячейка» уже будет указано: «$G$18» (т.е. ячейка, содержащая значение дополнительной прибыли рассматриваемого предприятия от производства токарной продукции), необходимо установить флажок «Равной максимальному значению», в поле «Изменяя ячейки» - выбрать «$В$16:$Е$16», т.е. ячейки, содержащие оптимальный план производства гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня (рис. 5). Далее указываем ограничения следующим образом: нажимаем кнопку «Добавить», и в открывшемся окне вводим ограничение по запасам имеющихся ресурсов нажимаем «ОК», еще раз нажимаем кнопку «Добавить» и вводим ограничение по имеющимся денежным средствам на оплату труда рабочих и последующую обработку токарной продукции (рис. 7). Аналогично добавляем ограничение по объему производства (рис. 8), условие неотрицательности объема производства (рис. 9), а также условие целочисленности объема производства (рис. 10).

Рис. 5. Окно «Поиск решений» задания 1

Рис. 6. Ввод ограничения по запасам имеющихся ресурсов (стали и трудозатрат)

Рис. 7. Ввод ограничения по имеющимся денежным средствам

Рис. 8. Ввод ограничения по объему производства

Рис. 9. Ввод условия неотрицательности

Рис. 10. Ввод условия целочисленности

Далее в окне поиска решений (рис. 5) нажимаем кнопку «Параметры», в открывшемся окне «Параметры поиска решения» устанавливаем флажок «Линейная модель» (рис. 11), нажимаем «ОК». В окне поиска решений (рис. 5) нажимаем «Выполнить».

Рис. 11. Окно «Параметры поиска решения»

В результате получим такой план производства гаек стремянки, гаек штанги, гаек МОД и колец шкворня ООО «ТИТАН» (ячейки В16:Е16), при котором дополнительный доход предприятия примет максимальное значение, равное 23 130 руб. (ячейка G18) (рис. 12).

Рис. 12. Результат поиска решения (оптимального плана производства)

прибыль ограничение доход оптимизация

3. Дадим экономическую интерпретацию полученного решения. Сформулируем оптимальное управленческое решение в описанных условиях.

Для обеспечения максимальной дополнительной прибыли в размере 23 130 рублей предприятию ООО «ТИТАН» следует производить гайки стремянки в количестве 1000 шт., гайки штанги - 650 шт., гайки МОД - 200 шт. и кольца шкворня - 210 шт. в месяц.

Дефицитным ресурсом при этом являются запасы денежных средств на оплату труда рабочих и последующую обработку изделий, поскольку их остатки равны нулю. Увеличение недефицитного ресурса - трудозатраты и запасы стали, не может влиять на оптимальный план производства токарной продукции ООО «ТИТАН».

2. Задание 2

Руководство финансовой компании рассматривает 4 инвестиционных проекта, между которыми собирается распределить  млн. руб. В зависимости от объема выделенных средств , каждый инвестиционный проект приносит финансовой компании дополнительный доход , ().

Необходимо:

1. Определить размер максимального дополнительного дохода от вложения денежных средств в рассматриваемые инвестиционные проекты.

. Определить оптимальное распределение средств финансовой компании, обеспечивающее ей максимальный дополнительный доход от инвестиций во все проекты.

. Дать экономическую интерпретацию полученного решения.

1. Определим размер максимального дополнительного дохода от вложения денежных средств в рассматриваемые инвестиционные проекты.

Согласно обратной схеме Беллмана показатель эффективности 4-ого шага:

;

 - показатель эффективности 1-го инвестиционного проекта.

 - объединённый показатель эффективности 2-х инвестиционных проектов.

Произведем вычисления значений функции  и представим их в таблице 1:

Таблица 1

Объединённый показатель эффективности 3-х инвестиционных проектов - . Произведем вычисления значений функции  и представим их в таблице 1.

Объединённый показатель эффективности 4-х инвестиционных проектов - . Произведем вычисления значений функции  и представим их в таблице 1.

В результате вычислений получили, что максимальное значение функции цели составляет .

Таким образом, размер максимального дополнительного дохода от вложения денежных средств в рассматриваемые инвестиционные проекты составляет 32 у. е.

2. Определим оптимальное распределение средств финансовой компании, обеспечивающее ей максимальный дополнительный доход от инвестиций во все проекты.

Из таблицы 1 находим оптимальные планы распределения выделенных средств.

Оптимальный план 1:

3. Дадим экономическую интерпретацию полученного решения.

Согласно оптимальному распределению средств финансовой компании, обеспечивающему ей максимальный дополнительный доход от инвестиций во все проекты, равной 32 у. е., на реализацию первого инвестиционного проекта необходимо выделить 45 млн. руб., на реализацию второго - 30 млн. руб. На реализацию третьего и четвертого инвестиционных проектов денежные средства выделять не следует.

Список литературы

1. Замков, О.О. Математические методы в экономике: учебник/ О.О. Замков, А.В. Толстопятенко, Ю.Н. Черемных; под ред. А.В. Сидоровича. 5-е изд., испр. - М.: Дело и сервис, 2009. - 380 с. - (Учебники МГУ им. М.В. Ломоносова). - ISBN 978-5-8018-0424-8.

. Орехов, А.М. Методы экономических исследований: учебное пособие / А.М. Орехов. - М.: ИНФРА-М, 2009. - 392 с. - (Учебник РУДН). - ISBN 5-16-002567-7.

. Орлова, И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012. - 140 с. // ЭБС znanium.com/ ООО Издательский Дом ИНФРА-М (RU).

. Гончаров, В.А. Методы оптимизации: учебное пособие / В.А. Гончаров - М.: Высшее образование, 2010. - 192 с. - (Основы наук). - ISBN 978-5-9692-0337-2.

. Дорогов, В.Г. Введение в методы и алгоритмы принятия решений: Учебное пособие / В.Г. Дорогов, Я.О. Теплова. - М.: ИД ФОРУМ: ИНФРА-М, 2012. - 240 с., (Гриф) // ЭБС znanium.com/ ООО Издательский Дом ИНФРА-М (RU)