Метод статистических испытаний Монте-Карло
МИНИСТЕРСТВО
ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное
образовательное учреждение высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт-кибернетики
Специальность
- прикладная информатика (в экономике)
Кафедра-ОСУ
Отчет по
лабораторной работе №1
«Метод статистических испытаний Монте-Карло»
по
дисциплине «Имитационное моделирование ЭП»
вариант
Выполнил: ст. гр. 8592
Л.С. Ковина
Томск 2012
Цель работы:
Изучение возможностей метода статистических
испытаний Монте-Карло, для решения детерминированных и вероятностных задач.
Задача 1. Решение детерминированной задачи.
Определение площади фигуры
Фигура ограничена следующими
линиями: , , ,
. Согласно заданному
варианту, исходные данные следующие - , , , ;
. Найти площадь фигуры
аналитическим методом (с помощью вычисления определенного интеграла);
. Построить графики для
наглядной демонстрации результатов эксперимента;
. Вычислить 95%-й
доверительный интервал и сравнить его с точным значением интеграла;
. Сделать выводы о
зависимости точности вычислений от количества испытаний.
Решение
. Найдем площадь фигуры аналитическим
методом, т.е. вычислением определенного интеграла:
f(x) = -2x2 + x4
+2
2.
Чтобы проанализировать поведение функции на заданном интервале, построим ее
график:
. Вычислим максимальное значение функции
на заданном интервале:
F(5) = -2*52 + 54
+ 2 = 577
4. Вычислим площадь прямоугольника по
формуле:
S прям
= (b-a) * max f(x)
S прям
= 2*577 = 1154
5. Рассчитаем площадь фигуры методом
статистических испытаний Монте-Карло при N
равном 100, 500, 1000, 5000, 10000. Для каждого N
имеем 10 прогонов.
. Построим график для наглядной
демонстрации результатов эксперимента:
. Для каждого N
вычислим 95%-й доверительный интервал и сравним его с точным значением
интеграла.
n
|
откл.
|
Sa
|
Sb
|
100
|
476,602
|
55,49075
|
436,9055812
|
516,2984
|
500
|
510,2988
|
16,58801
|
498,432234
|
522,1654
|
1000
|
515,9534
|
22,54455
|
499,8257036
|
532,0811
|
5000
|
516,46116
|
513,5075778
|
519,4147
|
10 000
|
517,03816
|
4,966879
|
513,4850034
|
520,5913
|
площадь фигура интеграл
статистический
8.
Исходя из результатов эксперимента можно сделать следующие выводы:
· Оценка площади фигуры улучшается с
увеличением числа генерируемых точек (с увеличением объема выборки).
· Усреднение результатов 10 прогонов
для каждой выборки объемом n
дает более точную оценку площади, чем любой из прогонов. В таблице видно, что
среднее 10 экспериментов ближе к точному значению площади, чем оценки,
полученные в каждом отдельном прогоне.
· Уменьшение величины стандартного
отклонения свидетельствует о том, что «точность» среднего 10 экспериментов
повышается с увеличением объема выборки n.