Исследование линейных систем автоматического управления

Исследование линейных систем автоматического управления

Исходные данные

1. Нахождение АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ для и . Построение ЛФЧХ

А). Исходные данные:

- апериодическое звено 1-го порядка

- общий коэффициент усиления

 - постоянная времени.

Произведём преобразования Лапласа и найдём АЧХ системы:

-оператор Лапласа

Находим АЧХ:

,

Находим ФЧХ:

мнимая часть, -действительная часть

Находим ЛАЧХ:

Строим найденные характеристики.

ЛАЧХ и ЛФЧХ для теоретическая

ЛАЧХ и ЛФЧХ для практическая

Б). Исходные данные

- апериодическое звено 1-го порядка

-общий коэффициэнт усиления

-постоянная времени

Произведём преобразования Лапласа и найдём АЧХ системы:

-оператор Лапласа

Находим АЧХ:

Находим ФЧХ:

мнимая часть, -действительная часть

Находим ЛАЧХ:

Строим найденные характеристики.

ЛАЧХ и ЛФЧХ для теоретическая

ЛАЧХ и ЛФЧХ для практическая

2. Нахождение, , ,

Передаточная функция разомкнутой системы:

Структурная схема разомкнутой системы

Хвх(р)                                        Хвых(р)

Передаточная функция замкнутой системы:

Хвх(р)                                                               Хвых(р)

Передаточная функция по ошибке:

Структурная схема по ошибке

Хвх(р)                                                                           Хвых(р)

Передаточная функция по внешнему воздействию:

Структурная схема по внешнему воздействию

Хвх(р) Хвых(р)

3. Нахождение АЧХ и ФЧХ для найденной . Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ

 передаточная функция разомкнутой системы, где

 - общий коэффициент усиления, , постоянные времени. Знаменатель этой передаточной функции можно разложить на два множителя, значит это апериодическое звено второго порядка.

Распишем знаменатель передаточной функции через корни квадратного уравнения . И сделаем преобразования Лапласа

Находим АЧХ:

Находим ФЧХ:

Сдвиг фазы на связан со вторым порядком астатизма.

Строим найденные характеристики:

ЛАЧХ и ЛФЧХ для теоретическая

ЛАЧХ и ЛФЧХ для практическая:

w=[0:0.1:1 1:1000];(tf(4.2, [0.032 0.84 1]))

(2,1,1);(w, 20*log10 (((-4.2*w.^2+w*111.3+157.5).^2).^0.5) - 20*log10 ((w.^2+25^2).*(w.^2+1.5^2)), 'b')

(2,1,2);(w, - atan (26.25+37.5)./w.^2)

4. Исследование  на устойчивость по критериям: Гурвица, Михайлова и Найквиста

- передаточная функция разомкнутой системы

Критерий Михайлова

Представим характеристическое уравнение 2-го порядка для данно передаточной функции в виде характеристического вектора , который получается заменой  - оператор дифференцирования (Лапласа).

 - действительная составляющая.

 - мнимая составляющая.

Построим график:

Так как, характерный вектор САУ при изменении частоты проходит вблизи начала координат то система находится на границе устойчивости.

Критерий Гурвица:

Из характеристического уравнения составляем, по определённым правилам, основной определитель:

по данному критерию система устойчива.

Критерий Найквиста:

Критерий Найквиста реализуется на комплексной плоскости. Если АЧХ разомкнутой системы не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами , система является устойчивой. Если АЧХ охватывает эту точку, то система - неустойчива. Если проходит через эту точку, то система находится на границе устойчивости.

Из графика видно, что АЧХ разомкнутой системы не охватывает на плоскости точку с координатой . Данная функция является устойчивой.

. Определение точности структурной схемы. Нахождение общей ошибки

передаточный функция устойчивость разомкнутый

По задающему воздействию

Передаточная функция по ошибке:

Получаем ;;

Исходя из исходных данных: - задающее воздействие

Найдем первую, вторую и третью производные от задающего воздействия

-статическая ошибка по задающему воздействию.

Найдем эту ошибку:

ошибка по задающему воздействию

По возмущающему воздействию

- передаточная функция по внешнему воздействию.

Поделим числитель на знаменатель, при этом выражения должны располагаться по возрастанию:

Получаем ; - постоянные коэффициенты ошибок.

Исходя из исходных данных: - возмущающее воздействие.

,

Общая ошибка

6. Расчет переходной характеристикидля и её построение

 - передаточная функция замкнутой системы.

,

 - корень уравнения.

Посчитаем данное квадратное уравнение:

 - корни данного уравнения.

Находим производную полинома :

Построим данную переходную характеристику в программе Matlab

7. Определение по графику основных показателей качества

Установившееся значение переходного процесса h_уст=0.0063

=0.000325 (5% от h_уст)

8. Нахождение корректирующего звена

Для нахождения ЛАЧХ корректирующего звена необходимо из ЛАЧХ желаемой передаточной функции вычесть ЛАЧХ первоначальной передаточной функции.

Желаемая передаточная функция:

ЛАЧХ желаемой передаточной функции:

;

Первоначальная передаточная функция имеет значение:

ЛАЧХ первоначальной передаточной функции:

Рассчитываем ЛАЧХ корректирующего звена:

Передаточная функция корректирующего звена будет равна:

Построим найденную характеристику:

Графики ЛАЧХ корректирующего звена, ЛАЧХ желаемого и ЛАЧХ первоначального.