Анализ электрической цепи постоянного тока

Анализ электрической цепи постоянного тока

Министерство образования Российской Федерации

Уфимский Государственный Авиационный Технический Университет

Кафедра Теоретических Основ Электротехники

Анализ электрической цепи постоянного тока

Выполнила:

студентка группы

ИКТ-203 Симбирцева Д.С.

Проверила:

доцент Медведева Л. С.

Уфа 2012

Задание

1. Согласно индивидуальному заданию, составить схему электрической цепи. В распечатке исходных данных сопротивления заданы в Омах, ЭДС - в Вольтах, ток источника тока - в Амперах.

2. Нарисовать ориентированный граф схемы.

3. Составить топологические матрицы схемы: соединений А, главных контуров В .

4. Проверить соотношение:

5. Составить уравнения по законам Кирхгофа в алгебраической и матричной формах.

6. Определить токи в ветвях схемы методом контурных токов.

7. Определить токи в ветвях схемы методом узловых потенциалов.

8. Проверит правильность расчетов по законам Кирхгофа.

9. Составить баланс мощностей.

10.Для контура, содержащего две ЭДС составить потенциальную диаграмму.

11.Для ветви с сопротивлением R1 определить ток методом эквивалентного генератора.

электрическая цепь ток потенциал

1. Согласно индивидуальному заданию, составим схему электрической цепи:

Исходные данные:

E₁ (04) =-10 B₂ (05) =50 B

R₁ (41) =90 Oм₂ (53) =60 Ом

R₃ (31) =60 Ом₄ (12) =50 Ом

R₅ (32) =40 Ом₆ (20) =90 Ом

J₁ (01) =6 A

2. Нарисуем ориентированный граф схемы:

3. Составим топологические матрицы схемы

матрица соединений А:

где к - номера ветвей, g - номера узлов.

матрица главных контуров В:

где к - номера ветвей, g - номера хорд.

4. Проверим соотношение

Равенство верно

. Составим уравнения по законам Кирхгофа в алгебраической и матричной формах

Согласно составленному дереву графа, у которого 3 ветви, составим 3 уравнения по первому закону Кирхгофа, и 3 уравнения по второму закону Кирхгофа.

запишем первый закон Кирхгофа в матричной форме:

А*I = - А*J;

где I- матрица-столбец неизвестных токов, J-матрица-столбец токов источников тока.

- запишем первый закон Кирхгофа в алгебраической форме:

₁ + I₃ - I₄ = J₁,₄ + I₅ - I₆ = 0,₂ - I₃ - I₅ = 0.

- запишем второй закон Кирхгофа в матричной форме:

*U=B*E;

где U- матрица-столбец неизвестных напряжений, Е-матрица-столбец известных источников ЭДС.

- запишем второй закон Кирхгофа в алгебраической форме:

-R₁*I₁ + R₂*I₂ + R₃I₃ = - Е₁ + Е₂,₁*I₁ + R₄*I₄ + R₆*I₆ = E₁,₂*I₂ + R₅*I₅ + R₆*I₆ = E₂.

6. Определим токи в ветвях схемы методом контурных токов

Данный метод основан на втором законе Кирхгофа.

Перерисуем схему: преобразуем источник тока в эквивалентный источник ЕДС, выберем произвольно направление токов в ветвях цепи, и произвольно выберем направление обхода контуров.

-        Запишем систему уравнений для нахождения контурных токов в общем виде:

R₁₁* I₁₁ +R₁₂*I₂₂ + R₁₃*I₃₃ = E₁₁,₂₁*I₁₁ + R₂₂*I₂₂ + R₂₃*I₃₃ = E₂₂,₃₁*I₁₁ + R₃₂*I₂₂ + R₃₃*I₃₃ = E₃₃.

-        Выразим собственные и смежные сопротивления контуров:

R₁₁ = R₂ + R₅ + R₆,₂₂ = R₁ + R₄+ R₆,₃₃ = R₁ + R₂ + R₃,₁₂ = R₂₁ = R₆,₁₃ = R₃₁ = R₂,

R₂₃= R₃₂ = -R₁.

-        Подставим численные значения:

₁₁ = 190 Ом,

R₂₂ = 230 Ом,

R₃₃ = 210 Ом,

R₁₂ = R₂₁ = 90 Ом,

R₂₃ = R₃₂ = -90 Ом.

-        Выразим контурные ЭДС:

₁₁ = E₂,₂₂ = E_{1 +} J₁*R₁,₃₃ = E₂ - E₁ -J₁*R₁.

-        Подставим численные значения:

₁₁ = 50 B,₂₂ = 530 B,₃₃ = -480 B.

- Составим систему уравнений для нахождения контурных токов

(R₂ + R₅ + R₆)*I₁₁ + R₆*I₂₂ + R₂*I₃₃ = E₂,₆*I₁₁ + (R₁ + R₄+ R₆)*I₂₂ - R₁*I₃₃ = E_{1 +} J₁*R₁,₂*I₁₁ - R₁*I₂₂ + (R₁ + R₂ + R₃)*I₃₃ = E₂ - E₁ -J₁*R₁.

- Подставим численные значения: 

Решим данную систему уравнений, используя программу Gauss, получим значения контурных токов:

₁₁ = -0.08633А,

I₂₂ = 1.74619А,

I₃₃ = -1.51279А.

Выразим все истинные токи через контурные токи:

₁ = I₂₂ - I₃₃ - J_{1,2 =} I₁₁ + I₃₃,₃ = I₃₃,

I₄ = I₂₂,₅ = I₁₁,

I₆ = I₁₁ + I₂₂,

- Подставим численные значения:

₁ = -2.74102 A,₂ = -1.59912 A,₃ = -1.51279А,₄ = 1.74619А,₅ = -0.08633А,₆ =1.65986 A.

7. Определим токи в ветвях схемы методом узловых потенциалов

Данный метод основан на первом законе Кирхгофа и на обобщенном законе Ома. По методу узловых потенциалов можно составить столько уравнений, сколько ветвей у дерева графа, следовательно в нашем случае 3 уравнения. В схеме заземлим нулевой узел (φ₀ = 0 B).

-        Запишем систему уравнений для нахождения потенциалов в общем виде:

φ₁*g₁₁ + φ₂*g₁₂ + φ₃*g₁₃ = J₁₁,

φ₁*g₂₁ + φ₂*g₂₂ + φ₃*g₂₃ = J₂₂,

φ₁*g₃₁ + φ₂*g₃₂ + φ₃*g₃₃ = J₃₃.

-        Уравнение в матричной форме имеет вид:

φ_кк*g_кк= J_кк

-        Посчитаем проводимости ветвей:

₁₁ = g₁ + g₃ + g₄ ,₂₂ = g₄ + g₅ + g₆ ,₃₃ = g₂ + g₃ + g₅,₁₂ = g₂₁ = - g₄,

g₁₃ = g₃₁ = - g₃,

g₂₃ = g₃₂ = - g₅ ,

- Подставим численные значения:

₁₁ = 1/ R₁ +1/ R₃ +1/ R₄ =0.04777См,₂₂ = 1/ R₄ +1/ R₅ +1/ R₆ = 0.05611См,₃₃ = 1/ R₂ +1/ R₃ +1/ R₅ = 0.05832 См,

g₁₂ = g₂₁ = - 1/ R₄ = -0.02См,

g₁₃ = g₃₁ = - 1/ R₃ = -0.01666 См,₂₃ = g₃₂ = - 1/ R₅ = -0.025 См,

-        Посчитаем узловые токи:

₁₁ = E₁*g₁+ J₁,

J₂₂ = = 0,

J₃₃ = E₂*g₂.

- Подставим численные значения:

₁₁ = 5.88889 А,

J₂₂ = 0А,

J₃₃ = 0.83333 А.

         Cоставим систему уравнений для нахождения потенциалов:

φ₁*(1/ R₁ +1/ R₃ +1/ R₄ ) + φ₂*(- 1/ R₄ ) + φ₃*(- 1/ R₃ ) = E₁*g₁+ J₁,

φ₁*(- 1/ R₄ ) + φ₂*(1/ R₄ +1/ R₅ +1/ R_{6 ) +}φ₃*(- 1/ R₅ ) = 0,

φ₁*(- 1/ R₃ ) + φ₂*(- 1/ R₅ )+ φ₃*(1/ R₂ +1/ R₃ +1/ R₅ ) = E₂*g₂.

Решим данную систему уравнений, используя программу Gauss, получим значения потенциалов:

φ₁ = 236.49459B,

φ₂ = 149.42932B,

φ₃ = 146.01826B.

-        Подсчитаем значения токов по закону Ома:

₁ = (- φ₁₊ E₁ )_/R₁,₂ = (-φ₃₊ E_{2) /}R₂,₃ = (φ₃ - φ_{1 )/}R₃,₄ = (φ₁ - φ_{2 )/}R₄,₅ = (φ₃ - φ_2)/R₅,₆ = φ_{2 /}R₆,

- Подставим численные значения:

₁ = -2.73883А,

I₂ = -1.6003А,

I₃ = -1.50793А,

I₄ = 1.7413А,

I₅ = -0.08528А,

I₆ = 1.66033А.

8. Проверим правильность расчетов по законам Кирхгофа

- составим уравнения по первому и второму законам Кирхгофа:

₁ + I₃ - I₄ = -J₁,₄ + I₅ - I₆ = 0,₂ - I₃ - I₅ = 0,

R₁*I₁ + R₂*I₂ + R₃I₃ = -E₁ + E₂₁*I₁ + R₄*I₄ + R₆*I₆ = E₁,₂*I₂ +R₅*I₅ + R₆*I₆ = E₂.

составим матрицу:

Решим данную систему уравнений, используя программу Gauss, получим значения силы токов:

₁ = -2.74111 A,₂ = -1.599 A,₃ = -1.51267 A,₄ = 1.74619A,₅ = -0.08328A,₆ = 1.65989 A.

9. Составим баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и является критерием проверки правильности полученных результатов.

Мощность, генерируемая источником ЭДС и тока (сумма алгебраическая), равняется мощности потребляемой приемником.

Для данной схемы:

Е₂*I₂ + E₆*I₆ + J₆*φ₂ = R₁* + R₂* + R₃* + R₄* + R₅* + R₆*,

Сравним: 1366.6373 Вт1366.5286 Вт, следовательно, наши расчеты верны.

10. Для контура, содержащего два ЭДС составим потенциальную диаграмму

- Составим потенциальную диаграмму для контура 0-4-1-2-3-5-0

φ₀= 0 B,

φ₄ = Е₁ =-10 В,

φ₁ = φ₄+ I₁*R₁ = Е₁+ I₁*R₁₌ -10+2.744*90 = 236,96B,

φ₂ = φ₁- I₄*R₄ = 236.96 - 1.746*50= 149.66 B,

φ₃ = φ₂ - I₅*R₅ =149.66 - 0.086*40= 146.22 B,

φ₅ = φ₃ - I₂*R₂ = 146.22 - 1.599*60=50 B,

φ₀ = φ₅ - Е₂= 50 - 50=0 В (См. приложение)

11. Для ветви с сопротивлением R₁ определим ток методом эквивалентного генератора

Разомкнём ветвь 1 и найдем U_XX, которое равно ЭДС генератора Е_Г. Для этого воспользуемся методом узловых потенциалов (φ₀ =0)

_XX(1)= φ₁

₁₁ =  + = 0. 0367 См,

g₂₂ =  +  + =0,0561 См ,

g₃₃ =  +  + =0,0583 См ,

g₁₂ = g₂₁ = - = =-0,02 См,

g₁₃ = g₃₁ = -  = -0,0167 См,

g₂₃ = g₃₂ = - = -0,025 См,

оставим систему уравнений для нахождения потенциала φ₁:

Решим данную систему уравнений, используя программу Gauss, получим значения потенциала φ₁:

φ₁ = 412 B,

Е_ЭГ =U_{XX( 10)} =412 B.

2) для нахождения R_вн = R_Г закоротим все источники ЭДС, а источники тока разомкнем, получим:

преобразуем треугольник в звезду, получим:

=      

=

=

R_вн= R_Г +  = 12,5+ =63,791 Ом.

3) Найдем I₁, составим уравнение по второму закону Кирхгофа:

₁*R₁ + R_Г*I₁ = E_ЭГ,₁==- =- 2,69 А.

4) Определим I_КЗ:

I_КЗ = ,

I_КЗ =-  = -6,559 А.

Вывод

В данной расчетно-графической работе был проведен анализ электрической цепи постоянного тока, а именно:

составила схему электрической цепи;

нарисовала ориентированный граф схемы;

составила топологические матрицы схемы: соединений А, главных контуров В, проверила соотношение А*В^т = 0;

определила токи в ветвях схемы тремя методами: методом контурных токов, методом узловых потенциалов, методом эквивалентного генератора. По законам Кирхгофа проверила правильность расчетов;

составила баланс мощности, для контура, содержащего две ЭДС составила потенциальную диаграмму.

Значения силы токов, которые были определены в каждом из трех вышеуказанных методов, совпали. Имела место быть некоторая погрешность, в результате неточного вычисления, но она не имела большого значения. Следует сделать вывод, что значения характеристик цепи не зависят от метода ее исследования.