Анализ электрических цепей постоянного и переменного тока

Анализ электрических цепей постоянного и переменного тока

Анализ электрических цепей постоянного и переменного тока

Введение

цепь ток электрический схема

Из всех видов энергии в настоящее время наиболее широко применяется электромагнитная энергия, которую в практике обычно называют электрической.

Энергия - это количественная мера движения и взаимодействия всех форм материи. Для любого вида энергии можно назвать материальный объект, который является ее носителем.

Механическую энергию несут, например, вода, падающая на лопасти гидротурбины, заведенная пружина; тепловую - нагретый газ, пар, горячая вода.

Носителем электрической энергии является особая форма материи -электромагнитное поле, главная особенность которого состоит в том, что оно оказывает силовое воздействие на электрически заряженные частицы, зависящее от их скорости и величины заряда. Это свойство электромагнитного поля является основой связанных между собой электрических и магнитных явлений, известных из курса физики, -взаимодействия электрически заряженных или намагниченных тел, электрического тока, электромагнитной индукции и др.

Использованием этих явлений для получения, передачи и преобразования электрической энергии занимается электротехника.

1. Анализ электрического состояния цепей постоянного тока

Анализом электрических цепей называют определение токов в ее ветвях. Существует несколько методов расчета электрических цепей: метод наложения, на основании законов Кирхгофа (метод узловых и контурных уравнений), метод эквивалентного генератора, метод контурных токов.

Основная цель расчета электрической цепи заключается в определении токов в ее ветвях. Зная токи, нетрудно найти напряжение и мощности ветвей и отдельных элементов цепи.

Величина токов, напряжений, мощностей дают возможность оценить условия и эффективность работы электротехнического оборудования и приборов во всех участках электрической цепи.

.1 Расчет линейных электрических цепей постоянного тока.

Вариант 12.

Для электрической цепи:

Рисунок 1. Схема электрическая расчетная

Исходные данные:

Таблица 1 Электрические данные схемы

E1 BE2 BR1 OмR2 OмR3 OмR4 OмR5 OмR6 Oмr01 Oмr02 Oм203054433226511522

1.1.1 Анализ электрического состояния цепи постоянного тока на основании законов Кирхгофа (метод узловых и контурных уравнений)

Метод анализ с применением законов Кирхгофа позволяет рассчитать электрическую цепь любой конфигурации и сложности, т.е. является основным.

Прежде чем приступить к составлению уравнений по закону Кирхгофа, необходимо выбрать условно-положительное направление тока в каждой ветви и направление обхода контуров.

Положительное направление токов выбирают произвольно. Действительные направление токов могут не совпадать с условно-положительными. Ошибка в выборе положительного тока в результате решения будет обнаружена: ток с неправильно выбранным направлением получится отрицательным. Изменив его направление, в дальнейших расчетах можно считать его положительным.

Расчетная схема содержит 6 ветвей, т. е. 6 неизвестных токов которые надо рассчитать. Составим систему из 6 независимых уравнений.

В расчетной схеме m = 4 узловых точки: 1,2, 3, 4. По первому закону Кирхгофа составим k = m - 1 = 3 уравнения для узловых точек 1, 3, и 4.

В расчетной схеме n = 3 независимых контура, для каждого контура составляем уравнение напряжений по второму закону Кирхгофа. В эти уравнения входят токи в ветвях, определение которых составляет ближайшую цепь расчета, которая достигается совместным решением системы узловых и контурных уравнений.

Запишем систему уравнений для рассматриваемой схемы

Подставляем численные значения сопротивлений и ЭДС, получаем:

Данная система уравнений будет иметь единственное решение только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при I1 - n не будет равен нулю. Обозначим этот определитель знаком Д. Если этот определитель не равен нулю, то решаем дальше. Тогда каждый Ii = Дi / Д, где Дi - это определитель составленный из коэффициентов при I1 - n, только значения коэффициентов в i - ом столбце заменены на значения за знаком равенства в системе уравнений, а Д - это главный определитель.

Решение

Главный определитель

Д = 1 0 0 -1 0 1 1 1 -1 0 0 0 0 1 0 0 -1 -1 56 0 32 26 0 0 0 -45 -32 0 -51 0 56 -45 0 0 0 -15 = 780350

1 определитель, для вычисления I1

Д1 = 0 0 0 -1 0 1 0 1 -1 0 0 0 0 1 0 0 -1 -1 20 0 32 26 0 0 -30 -45 -32 0 -51 0 -10 -45 0 0 0 -15 = 55400

определитель, для вычисления I2

Д2 = 1 0 0 -1 0 1 1 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 56 20 32 26 0 0 0 -30 -32 0 -51 0 56 -10 0 0 0 -15 = 208960

определитель, для вычисления I3

Д3 = 1 0 0 -1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 -1 56 0 20 26 0 0 0 -45 -30 0 -51 0 56 -45 -10 0 0 -15 = 264360

4 определитель, для вычисления I4

Д4 = 1 0 0 0 0 1 1 1 -1 0 0 0 0 1 0 0 -1 -1 56 0 32 20 0 0 0 -45 -32 -30 -51 0 56 -45 0 -10 0 -15 = 155580

определитель, для вычисления I5

Д5 = 1 0 0 -1 0 1 1 1 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 56 0 32 26 20 0 0 -45 -32 0 -30 0 56 -45 0 0 -10 -15 = 108780

определитель, для вычисления I6

Д6 = 1 0 0 -1 0 0 1 1 -1 0 0 0 0 1 0 0 -1 0 56 0 32 26 0 20 0 -45 -32 0 -51 -30 56 -45 0 0 0 -10 = 100180

Найдем решения данной системы уравнений. Согласно описанному выше методу, данная система уравнений имеет решения:I1 = Д1/Д ≈ 0,07 AI2= Д2/Д ≈ 0,27 AI3 = Д3/Д ≈ 0,34 AI4 = Д4/Д ≈ 0,2 AI5 = Д5/Д ≈ 0,14 AI6 = Д6/Д ≈ 0,13 A

.1.2 Анализ электрического состояния цепи постоянного тока методом контурных токов

Контурный ток - это некоторая расчетная величина, которая одинакова для всех ветвей данного контура. Контурные токи на схеме обозначены Ik1, Ik2, Ik3.

Действительный ток в такой ветви определяется наложением контурных токов, т. е. равен алгебраической сумме контурных токов тех контуров, в которые эта ветвь входит.

1.В заданной схеме выбираем направления токов в ветвях (произвольно).

2.Намечаем независимые контуры и выбираем направление контурных токов.

3.Записывают систему уравнений: в левой части алгебраическая сумма Е входящих в контур, в правой - алгебраическая сумма падения напряжения на сопротивлениях входящих в этот контур, с учетом падения напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемого по контурному току соседнего контура.

Запишем систему уравнений для рассматриваемой схемы

E1 = Ik1 (R1 + R3 + R4 + r01) - Ik2 R3 + Ik3 (R1 + r01) (контур 1, 2, 3)

- E2 = Ik2 (R2 + R3 + R5 + r02) - Ik1R3 + Ik3(R2 + r02) (контур 2, 3, 4)

E1 - E2 = Ik3 (R1 + R2 + R6 + r01 + r02) + Ik1 (R1 + r01) + Ik2(R2 + r02)

(контур 1, 3, 4, 5)

Подставляем численные значения сопротивлений и ЭДС, получаем:

Данная система уравнений будет иметь единственное решение только тогда, когда определитель составленный из коэффициентов при Ik 1 - n не

будет равен нулю. Обозначим этот определитель знаком - Д. Если этот определитель не равен нулю, то решаем дальше. Тогда каждый Ik i = Дi / Д, где Дi - это определитель, составленный из коэффициентов при Ik 1 - n, только значения коэффициентов в i - ом столбце заменены на значения за знаком равенства в системе уравнений, а Д - это главный определитель

Главный определитель

Д = 114 -32 56 -32 128 45 56 45 116 = 780350

определитель, для вычисления Ik1

Д1 = 20 -32 56 -30 128 45 -10 45 116 = 155580

2 определитель, для вычисления Ik2

Д2 = 114 20 56 -32 -30 45 56 -10 116 = -108780

определитель, для вычисления Ik3

Д3 = 114 -32 20 -32 128 -30 56 45 -10 = -100180

Найдем решения данной системы уравнений. Согласно описанному выше методу, данная система уравнений имеет решения:

k1 = Д1/Д ≈ 0,2 АIk2 = Д2/Д ≈ - 0,14 АIk3 = Д3/Д ≈ - 0,13 А

Действительные токи:

I2 = - Ik2 + (- Ik3) = 0,14 + 0,13 = 0,27А3 = Ik1 - Ik2 = 0,2 + 0,14 = 0,34 А4 = Ik1 = 0,2 А5 = - Ik2 = 0,14 А6 = - Ik3 = 0,13 А

Симулирование работы схемы в программе Multisim 11

Электрическая расчетная схема «собирается» в программе Multisim 11. В каждую ветвь схемы устанавливается амперметр для измерения тока.

Запускается режим симулирования. Считываются показания приборов.

Скриншот симулирования работы схемы в программе Multisim 11 приведен ниже.

Результаты расчетов токов по пунктам 1, 2 и результаты симуляции схемы в Multisim 11

Методы расчетаI1(A)I2(A)I3(A)I4(A)I5(A)I6(AПо законам Кирхгофа0,070,270,340,20,140,13Метод контурных токов0,070,270,340,20,140,13Multisim 110,0710,2680,3390,1990,1390,128

Рисунок 3. Работа схемы в программе Multisim 11

.1.6 Баланс мощностей

Мощность источника:

Ристочника = E1 . I1 + E2 . I2

Ристочника = 20 . 0,071+ 30 . 0,268 = 9,46 Вт

Мощность приемника:

Рприемника = I12(R1 + r01) + I22(R2 + r02) + I32R3 + I42R4 + I52R5 + I62R6

Рприемника = 0,005(54+2) + 0,072(43+2) + 0,115. 32 + 0,04.26 + 0,02.51 + + 0,0164 . 15 = 0,28 + 3,24 + 3,68 + 1,04 + 1,02 + 0,246 = 9,5 Вт

Ристочника ≈Рприемника

Баланс мощностей сошелся.

1.1.7 Потенциальная диаграмма для замкнутого контура, включающего обе ЭДС

Построим потенциальную диаграмму для замкнутого контура (1, 2,3,4, 5, 6,7). Точку 1 схемы заземляем, потенциал точки 1: ц1 = 0

Рисунок 4. Схема электрическая расчетная

Потенциал точки 2:

ц2 = ц1 + Е1 = 0 + 20 = 20 В

Потенциал точки 3:

ц3 = ц2 - I1. r01 = 20 - 0,071. 2 = 19,86 В

Потенциал точки 4:

ц4 = ц3 + I2 . r02 =19,86 + 0,268 . 2 = 20,4 В

Потенциал точки 5:

ц5 = ц4 - Е2 = 20,4 - 30 = - 9,6 В

Потенциал точки 6:

ц6 = ц5 + I2 . R2 = - 9,6 + 0,268 . 43 = 1,924 В

Потенциал точки 7:

ц7 = ц6 + I6 . R6 = 1,924 + 0,128.15 = 3,84 В

Потенциал точки 1:

ц1 = ц7 - I1. R1 = 3,84 - 0,071 . 54 = 0,006 В ≈ 0

Потенциальная диаграмма контура (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) приведена на рисунке 5.

Рисунок 5. Потенциальная диаграмма

.2 Расчет нелинейных электрических цепей постоянного тока

Построим входную вольтамперную характеристику схемы 1.32 (рисунок 6) нелинейной электрической цепи постоянного тока. Определим токи во всех ветвях схемы и напряжение на отдельных элементах, используя полученные вольтамперные характеристики.

Вариант 12

Используем вольтамперные характеристики элементов: нэ1 - «б» нэ2 - «а».

Рисунок 6. Схема электрическая расчетная

Электрические данные схемы: U = 100 В

R3 = 35 Ом

Определить: I1, I2, I3, U1, U1-2, Uнэ1.

Для расчета такой цепи заданные вольтамперные характеристики элементов строятся в общей системе координат (рисунок 7).

В нашей цепи соединение элементов смешенное. Поэтому графически «сворачиваем» цепь. При последовательном соединении двух элементов ток обоих участков цепи один и тот же, а общее напряжение U = U1 = U2 + U3, для построения общей вольтамперные характеристики достаточно сложить абсциссы исходных кривых. При параллельном соединении двух элементов к ним приложено одно и тоже напряжение, а ток в не разветвленной части цепи равен сумме токов в ветвях. Для построения общей вольтамперной характеристики нужно сложить ординаты вольтамперных характеристик.

I3 = = = 2,9 А

Полученные данные:

I = I3 = 1,9 А

I1 = 0,6 А

I2 = 1,3 А

U = 100 В

U1 -2 = 20 В

Uнэ1 = 80 В

Рисунок 7. Расчет цепи графическим методом

2. Анализ электрического состояния линейных электрических цепей переменного тока

.1 Расчет однофазной электрической цепи

Вариант 12.

К зажимам электрической цепи подключен источник синусоидального напряжения u=Umsin (щt+ц) В, частотой f = 50 Гц. Амплитуда, начальная фаза напряжения и параметры элементов приведены в таблице 2.

Таблица 2. Электрические данные схемы

UmВЦ град.R1ОмR2ОмL1млГнL2млГнC1мкФC2мкФ31130203063,6127,279,553

Схема соединения элементов приведена на рисунке 8.

Рисунок 8. Схема соединения элементов

Выполнить следующее:

.Рассчитать реактивные сопротивления элементов цепи.

.Начертить схему замещения электрической цепи.

.Определить действующие значения токов во всех ветвях цепи.

.Записать уравнение мгновенного значения тока источника.

.Составить баланс активных и реактивных мощностей.

.Построить векторную диаграмму токов, совмещенную с топографической векторной диаграммой напряжений.

XL1 =щL1 = 2рfL1 = 314 . 63,6. 10-3 = 19,97 Ом

XL2= щL2 = 2рfL2 = 314 . 127,2. 10-3 = 39,94 Ом

XC1 = = = = 40,1 Ом

XC2 = = = = 60,1 Ом

.Схема замещения электрической цепи

Рисунок 8. Схема замещения электрической цепи

.Определение действующего значения токов во всех ветвях цепи.

Расчет токов в ветвях цепи выполняем методом эквивалентных преобразований. Найдем комплексные сопротивления ветвей, затем участков цепи и всей цепи:

Z1 = = = = 17,9 e -j26,5 =

= 16 - j8 Ом

Z2 = R2 + jXL1 + jXL2 - jXC2 =30 + j19,97 + j39,94 - j60,1 =30 - j0,19 =

= 30 e -j0,4 Ом

Zэкв = Z1-2 = = = = =

= 11,5 е -j16,8 = 11 + j3,32 Ом

Выразим действующее значение напряжения в комплексной форме:

Щ = е j30 = е j30 = 220е j30 = 190,5 + j110 B

Вычислим общий ток цепи и токи в ветвях:

М = = = 19,13е j46,8 = 13,1 + j13,95 А

М1 = = = 12,3e j56,5 = 6,8 + j10,3 A

М2 = = = 7,33e j30,4 = 6,3 + j3,7 А

. Уравнение мгновенного значения тока источника.

i = Im sin (щt+цi)

i = 19,13 sin (щt + 46,80) = 19,13.1,414 sin (314t + 46,80) =

= 27,05 sin (314t + 46,80) А

. Баланс активных и реактивных мощностей.

Комплексная мощность цепи:

S̅ = Щ М = 220е j30 19,13е -j46,84 = 4208,6 e - j16,84 = 4028,1- j1219,2 ВА

Где:

Sист = 4208,6 ВА

Рист = 4028,1 Вт

Qист = - 1219,2 вар (знак минус определяет емкостной характер нагрузки в целом)

Активная и реактивная мощности приемников:

Рпр = ( )2 R1 + М22R2 = ( )2 20 + 7,332 30 = 2420 + 1611,87 = 4032

ВтQпр = ( )2 (-xС1) + М22 (-xC2) + М22 (xL1) + М22 (xL2) =

= ( )2 (- 40,1) + 7,332(-60,1) + 7,332 19,97 + 7,332 39,94 =

= - 1206,98 - 3229,1+ 1072,97 + 2145,93 = - 1217,2 вар

Баланс мощностей практически выполняется:

Рист » Рпр » 0,36 Вт » 0,35 Вт

Qист » Qпр » - 1219,2 вар » - 1217,2 вар

. Векторная диаграмма токов, совмещенная с топографической векторной диаграммой напряжений.

М = 19,13е j46,8 = 13,1 + j13,95 А

М1 = 12,3e j56,5 = 6,8 + j10,3 A

М2 = 7,33e j30,4 = 6,3 + j3,7 А

Щ = U̇ea = 220е j30 = 190,5 + j110 B

U̇ed = М2 (jxL1) = 7,33e j30,4 19,97 e j90 = 146,4 e j120,4 = -74+ j126,3 B

U̇dc = М2 (-jxC2) = 7,33e j30,4 60,1 e -j90 = 440,5 e -j59,6 = 223 - j380 B

U̇cb = М2 (jxL2) = 7,33e j30,4 39,94 e j90 = 292,8 e j120,4 = -148+ j 253 B

U̇ba = М2 R2 = 7,33e j30,4 30 = 219,9 e j30,4 = 189,7 + j111,3 В

Рисунок 9. Векторная диаграмма токов, совмещенная с топографической векторной диаграммой напряжений.

.2 Расчета трехфазной цепи переменного тока

Таблица 3 Электрические данные схемы

UфВRВСОмRСАОмRCСОмXLАВОмXСАВОмXСВCОмВид соединения220610-18815Д

В соответствии с данными таблицы 3 начертим схему соединения сопротивлений в трехфазной цепи. Определим: фазные токи; активную, реактивную и полную мощности. Расчеты проведем символическим методом.

Рисунок 10. Схема соединения сопротивлений

1. Модули фазных напряжений при соединении нагрузки треугольником равны линейным напряжениям:Л = UФ = 220 В, то есть UАВ = UВС = UСА = 220 В.

Комплексы данных напряжений запишем из условия, что вектор U̇АB совмещен с действительной осью комплексной плоскости,

U̇АB = UЛ e j0 = 220e j0 = 220 В

U̇ВС = UЛ e -j120 = 220e -j120 = - 110 - j190 В

U̇СА = UЛ e j120 = 220e j120 = - 110 + j190 В

Выразим сопротивления фаз в комплексной форме:

AB = jXLАВ - jXCАВ = j18 - j8 = j10 = 10e j90 Ом

ZBC = RBС - jXCBС = 6 - j15 = 16,2e -j68,2 Ом

ZCA = RСА = 10 Ом

Определим фазные токи:

МАB = == 22e -j90 = - j22 A

МВC === 13.6e -j51,8 = 8,4 - j10,7 A

МСA = == 22 j120 = - 11 + j19,1 A

Находим линейные токи из уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа для узлов А, В и С (рис. 10)

МА = МАB - МСA = - j22 - (- 11 + j19,1) = 11 - j41,1 = 42,5e -j75 A

МC = МСА - МВС = - 11 + j19,1- (8,4 - j10,7) = - 19,4 + j29,8 = 35,6e j123 A

Вычисляем мощность фаз и всей цепи:

S̅АB = U̇АB ḮАB = 220 22e j90 = 4840e j90 = j4840 BA

Где: SAB = 4840 BA; PAB = 0 Вт; QAB = 4840 вар.

S̅ВC = U̇ВC ḮВC = 220e -j120 13,6e j51,8 = 2992e -j68,2 = 1111,1- j2778 BA

Где: SВC = 2992 BA; PВC = 1111,1 Вт; QВC = - 2778 вар.

S̅СA = U̇СA ḮСA = 220e j120 22 -j120= 4840 e j0 = 4840 BA

Где: SСА = 4840 BA; PСА = 4840 Вт; QСА = 0 вар.

S̅ = S̅АB + S̅ВC + S̅СA = j4840 + 1111,1- j2778 + 4840 = 5951,1 + j2062 =

= 6298,2e j19,1 ВА

Где: S = 6298,2 BA; P = 5951,1 Вт; Q = 2062 вар.

Векторная диаграмма напряжений и токов приведена на рисунке 11.

Рисунок 11. Векторная диаграмма.

Литература

1. Евдокимов Ф.Е. «Теоретические основы электротехники» Высшая школа 1975 г.

. Зайчик М.Ю. «Сборник задач и упражнений по теоретической электротехнике» Энергоатомиздат, 1988 г.

. Мельников А.К. «Сборник контрольных заданий и программ для решения задач с использованием ЭВМ по теоретическим основам электротехники» РИПО, 1992 г.

. Волков П.П. «Задачи по электротехнике» Военная книга, 1961 г.

.Гилицкая Л.Н. «Методическое пособие по курсовому проектированию ТОЭ» РИПО, 1997 г.

.Шебес М.О. «Сборник задач по теорий электрических цепей» РПИО, 1982 г.