Оценка точности методов численного интегрирования

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ        2

1.      ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФОРМЕ   3

2.      СХЕМА ТИПОВ         4

3.      ТЕКСТ ПРОГРАММЫ        5

4.      БЛОК-СХЕМА ПРОГРАММЫ     8

5.      ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ   10

ВЫВОДЫ 11

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ  12

ВВЕДЕНИЕ

Для функции

                                               (1)

на интервале  рассчитать определенный интеграл приближенным и точным методом, оценить погрешность и вывести результаты на консоль. Для приближенного вычисления определенного интеграла использовать метод выходящих прямоугольников с кратностью 0,25m, 0,50m, 0,75m, m, 1,25m, 1,50m, где m = 600, с учетом и без учета дополнительного члена.

1. 
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

В методе выходящих прямоугольников площадь под графиком функции, с учетом того что функция убывающая и положительная, может быть определена следующим образом:

программа интеграл функция погрешность

                   (2),

Где m - кратность интегрирования

Для уточнения значения интеграла существует формула остаточного члена

                                         (3),

                             (4)

На рисунке 1 показана геометрическая интерпретация метода выходящих прямоугольников

Рисунок 1 - Вычисление определенного интеграла функции  на интервале  методом выходящих прямоугольников

2.  СХЕМА ТИПОВ

Для решения поставленной задачи целесообразно использовать структурный тип следующей конструкции, изображенной на рисунке 2.

Рисунок 2 - Схема типа Integral

3. 
ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

System;System.Collections.Generic;System.Linq;System.Text;Integral1

{Интеграл1

{Integral

{a, b;m;Integral(double ina, double inb, int inm)

{= ina < inb ? ina : inb;= ina < inb ? inb : ina;= inm;

}override string ToString()

{s;= String.Format("\nm = {0:f3} h = {1:f3} Точ = {2:f3} Прибл = {3:f3} Прибл с ОЧ = {4:f3}", m, h, ИнтЛейбниц, ИнтПрямоугольник, ИнтПрямоугольникДоп);Delta = (ИнтПрямоугольник - ИнтЛейбниц) / ИнтЛейбниц * 100;DeltaОЧ = (ИнтПрямоугольникДоп - ИнтЛейбниц) / ИнтЛейбниц * 100;= Math.Abs(Delta);ОЧ = Math.Abs(DeltaОЧ);+= String.Format("\n Погр = {0:f3} %", Delta);+= String.Format(" Погр с ОЧ = {0:f3} %", DeltaОЧ);s;

}double fx(double x)

{Math.Cos(x);

}double Fx(double x)

{Math.Sin(x);

}double h

{(b - a) / m;

}

}double ИнтЛейбниц

{

{Fx(b) - Fx(a);

}

}double ИнтПрямоугольник

{

{sum = fx(a) + fx(b-h);(double i = h; i < b-h; i += h) sum += fx(i);*= h;sum;

}

}double ИнтПрямоугольникДоп

{

{Eps = 0;Eps1;Eps2;(double j = a; j < b + h; j += h)

{= Math.Abs(Eps);= Math.Abs(Math.Cos(j));= Math.Max(Eps1, Eps2);

}dop;= ((b-a)*h*Eps) / 2;sum1 = fx(a) + fx(b-h);(double i = h; i < b-h; i += h) sum1 += fx(i);= (sum1 * h)-dop;sum1;

}

}

}void Main()

{.WriteLine(" Оценка точности методов численного интегрирования");.WriteLine("\nФункция f(x)=Cos(x)\t Пределы интегрирования: a = 0, b = pi/2");.WriteLine("Метод точного расчета\t Метод Лейбница");.WriteLine("Метод приближенного расчета\t Метод Выходящих пряммоугольников");m1 = 600;(int i = Convert.ToInt16(0.25 * m1); i < Convert.ToInt16(1.75 * m1); i += Convert.ToInt16(0.25 * m1))

{obj = new Integral(0, 1.571, i);.WriteLine(obj.ToString());

}

}

}

4.      БЛОК-СХЕМА ПРОГРАММЫ

На рисунке 3 изображена блок-схема работы программы.

Рисунок 3 - Блок-схема работы программы

5. 
ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

На рисунке 4 отображены результаты работы программы.

Рисунок 4 - Результаты работы программы

ВЫВОДЫ

В ходе работы для функции  на интервале  был рассчитан определенный интеграл приближенным и точным методом, оценена погрешность методов. Для приближенного вычисления определенного интеграла использовался метод выходящих прямоугольников с кратностью 0,25m, 0,50m, 0,75m, m, 1,25m, 1,50m, где m = 600, с учетом и без учета дополнительного члена. В результате работы был сделан ряд выводов:

·        точная величина интеграла функции  на интервале , полученная методов Лейбница, равна 1;

·        значение интеграла, полученное методом Выходящих прямоугольников, больше точного значения;

·        при увеличении кратности, погрешность между величинами интеграла, полученными методами Лейбница и Выходящих прямоугольников, уменьшается;

·        метод выходящих прямоугольников с остаточным членом дает лучший результат по сравнению с методом выходящих прямоугольников без остаточного члена.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.   Котов О.М. Введение в программирование на языке C#: Методические указания. Екатеринбург:УрфУ, 2011. 26с.

2.      Павловская Т.А. С#. Программирование на языке высокого уровня. - СПб.: Питер, 2009.