функция
МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГОХОЗЯЙСТВА РФ
ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО – ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ
ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ
ФГОУ ВПО «ПРИМОРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»
ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И БИЗНЕСА
Реферат
Тема: «Функция»
Выполнил:
Ярмонтович Д.А.
Проверила:
УССУРИЙСК
2006
СОДЕРЖАНИЕ
·
1)Введние
·
2)Линейная
функция
·
3)Квадратичная
функция
·
4)Степенная
функция
·
5)Показательная
функция (экспонента)
·
6)Логарифмическая функция
·
7)Тригонометрическая
функция
·
-Функция
синус
·
-Функция
косинус
·
-Функция тангенс
·
-Функция котангенс
·
8)Обратная функция
·
-Arcsin x
·
-Arctg x
·
9)Список Литературы
введение
К элементарным
функциям относятся рациональные, степенные, показательная и логарифмические
функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К
классу элементарных функций, кроме того, относят также сложные функции,
образованные из перечисленных выше элементарных функций.
Функция- зависимость переменной у
от переменной x, если каждому значению х
соответствует единственное значение у.
Переменная х - независимая переменная или
аргумент.
Переменная у - зависимая переменная
Значение функции - значение у,
соответствующее заданному значению х.
Область определения функции- все значения, которые
принимает независимая переменная.
Область значений функции
(множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Функция является четной - если для любого х из
области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
Функция является нечетной - если для любого х из
области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Возрастающая функция - если для любых х1
и х2, таких, что х1< х2,
выполняется неравенство f(х1)<f(х2)
Убывающая функция - если для любых х1
и х2, таких, что х1< х2,
выполняется неравенство f(х1)>f(х2)
Линейная функция.
Это функция вида . Число называется угловым коэффициентом,
а число - свободным
членом. Графиком линейной функции служит прямая на координатной плоскости , не параллельная
оси .
Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона графика
к
горизонтальному направлению - положительному направлению оси .
График
линейной функции - прямая
1.
Область
определения – все действительные числа.
2.
Область
значений – все действительные числа.
3.
Если k=0, то график будет параллелен оси
абсцисс и будет проходить через точку (0; b).
4.
Линейная
функция ни четная ни нечетная.
5.
Функция
возрастает если k>0,
Функция убывает если k<0.
6.
Функция
непрерывна.
Квадратичная функция.
Это функция вида ,
Графиком квадратичной функции служит парабола
с осью, параллельной оси . При вершина параболы оказывается в точке .
Парабола
()
В общем случае вершина лежит в точке . Если , то
"рога" параболы направлены вверх, если , то вниз.
.Парабола
с вершиной в точке ()
1.
Область определения квадратичной функции – вся
числовая прямая.
2.
При b¹0
функция не является четной и не является нечетной. При b=0
квадратичная функция – четная.
3.
Рис. 4 Рис. 5
4.
Квадратичная функция непрерывна и
дифференцируема во всей области определения.
5.
Функция имеет единственную критическую точку
6.
x=-b/(2a).
Если a>0,
то в точке x=-b/(2a)
функция имеет минимум. При x<-b/(2a)
функция монотонно убывает, при x>-b/(2a)
монотонно возрастает.
a.
Если а<0, то в точке x=-b/(2a)
функция имеет максимум. При x<-b/(2a)
функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a)
монотонно убывает.
b.
Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a)
и ординатой y= -((b2-4ac)/4a)
называется вершиной параболы.
8.
График квадратичной функции пересекается с осью 0y
в точке y=c.
В случае, если b2-4ac>0,
график квадратичной функции пересекает ось 0x
в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b2-4ac=0
(квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной
функции касается оси 0x в точке x=-b/(2a);
если b2-4ac<0,
пересечения с осью 0x нет.
a.
Из представления квадратичной функции в виде (1)
также следует, что график функции симметричен относительно прямой x=-b/(2a)
– образа оси ординат при параллельном переносе r=(-b/(2a);
0).
b.
График функции
9.
f(x)=ax2+bx+c
10.
(или f(x)=a(x+b/(2a))2-(b2-4ac)/(4a))
может быть получен из графика функции f(x)=x2
следующими преобразованиями:
а)
параллельным переносом r=(-b/(2a);
0);
б)
сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;
в)
параллельным переносом r=(0;
-((b2-4ac)/(4a))).
Степенная функция.
Это функция вида , .
Рассматриваются такие случаи:
а). Если , то . Тогда
, ; если число - чётное,
то и функция -
чётная (то есть при всех ); если число - нечётное, то и функция - нечётная (то есть при всех ).
График
степенной функции при
б) Если , , то . Ситуация с чётностью и
нечётностью при этом такая же, как и для : если - чётное число, то
и - чётная функция; если - нечётное число,
то и -
нечётная функция.
График
степенной функции при
Снова заметим, что при всех . Если , то при всех , кроме (выражение не имеет смысла).
в). Если - не целое число, то, по
определению, при : ; тогда , .
График
степенной функции при
При , по определению, ; тогда .
График
степенной функции при
1.
Область определения степенной функции –
множество всех положительных чисел.
2.
Область значения степенной функции – множество
всех положительных чисел.
3.
Степенная функция непериодична, не является
четной и не является нечетной.
4.
Степенная функция непрерывна во всей области
определения.
5.
Степенная функция дифференцируема во всей
области определения, и ее производная вычисляется по формуле
(xa)¢=
a.xa-1.
Степенная
функция xa монотонно
возрастает во всей области определения при a<0.
6.
0 1 x 0
1 x
7.
При a<0 и
a>1
график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<a<1
– вогнутостью вниз.
Показательная функция (экспонента).
Это функция вида (, ). Для неё , , , и при график имеет такой вид:
.График
показательной функции при
При вид графика такой:
Рис.1.20.График
показательной функции при
1.
Число
называется основанием
показательной функции. Область определения функции – вся числовая
прямая.
2.
Область значения функции – множество всех
положительных чисел.
3.
Функция непрерывна и дифференцируема во всей
области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле
(ax)¢ =axlna
4.
При а>1 функция монотонно возрастает,
при а<1 монотонно убывает.
5.
Показательная функция имеет обратную функцию,
называемую логарифмической функцией.
6.
График любой показательной функции пересекает
ось 0y в точке y=1.
7.
График показательной функции – кривая,
направленная вогнутостью вверх.
Логарифмическая
функция.
Это функция вида (, ). Для неё , , , и при график имеет такой вид:
График
логарифмической функции при
При график получается такой:
График
логарифмической функции при
1.
Число
называется основанием
логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и
симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же
линия. Область определения логарифмической функции –
промежуток (0; +¥).
2.
Область значения логарифмической функции – вся
числовая прчмая.
3.
Логарифмическая функция непрерывна и
дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической
функции вычисляется по формуле
(loga x)¢ = 1/(x
ln a).
4.
Логарифмическая функция монотонно возрастает,
если а>1. При 0<a<1
логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.
5.
При любом основании a>0, a¹1,
имеют место равенства
loga 1 = 0, loga a =1.
6.
При а>1 график логарифмической функции
– кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a<1
– кривая, направленная вогнутостью вверх.
тригонометрические функции
Функции
sin a,
cos a,
tg a,
ctg a
называются тригонометрическими функциями угла a.
Кроме основных тригонометрических функций sin a,
cos a,
tg a,
ctg a.
.
. Для неё ;
функция периодична с периодом и нечётна. Её график таков:
График
функции
Синусом
числа х называется число, равное синусу угла в радианах.
1.
Область определения – множество всех
действительных чисел.
2. Область
значения – промежуток [-1; 1].
3. Функция
sin
х – нечетная: sin (-х)=- sin х.
4. Функция
sin
х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:
sin
(х+2p)= sin х.
5.
Нули функции: sin х=0 при
x=pn,
n Î Z.
6.
Промежутки знакопостоянства:
sin
х>0 при x Î (2pn;
p+2pn),
n Î Z,
sin
х<0 при x Î (p+2pn;
2p+2pn),
n Î Z.
7.
Функция sin х
непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:
(sin х)¢
=cos
x.
8.
Функция sin х
возрастает при xÎ ((-p/2)+2pn;
(p/2)+2pn),
n Î Z,
и убывает при xÎ ((p/2)+2pn;
((3p)/2)+ 2pn),
n Î Z.
9.
Функция sin х
имеет минимальные значения, равные –1, при х=(-p/2)+2pn,
n Î Z, и максимальные
значения, равные 1, при х=(p/2)+2pn,
n Î Z.
Функция
косинус.
. Эта функция связана с синусом
формулой приведения: ; ; период функции равен ; функция чётна. Её график
таков:
1. График
функции Область
определения – множество всех действительных чисел.
2. Область
значения – промежуток [-1; 1].
3. Функция
cos
х – четная: cos (-х)=cos х.
4. Функция
cos
х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:
cos
(х+2p)= cos х.
5. Нули
функции: cos х=0 при x=(p/2)+2pn,
n Î Z.
6.
Промежутки знакопостоянства:
cos
х>0 при x Î ((-p/2)+2pn;
(p/2)+2pn)),
n Î Z,
cos
х<0 при x Î ((p/2)+2pn);
((3p)/2)+ 2pn)),
n Î Z.
7. Функция
cos
х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:
(cos х)¢
=-sin
x.
8. Функция
cos
х возрастает при xÎ (-p+2pn;
2pn), n
Î Z,
и убывает при xÎ (2pn;
p+
2pn), n Î
Z.
Функция
cos х имеет минимальные значения, равные –1, при х=p+2pn, n Î Z, и максимальные
Функция тангенс.
(в
англоязычной литературе обозначается также ). По определению, . Функция нечётна
и периодична с периодом ;
то есть не может принимать значений , , при
которых (стоящий
в знаменателе) обращается в ноль.
1. График
функции Область определения функции –
множество всех действительных чисел, кроме числа х=p/2+pn,
n Î Z.
2. Область
значения – множество всех действительных чисел.
3. Функция
tg
х – нечетная: tg (-х)=- tg х.
4. Функция
tg
х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:
tg (х+p)= tg х.
5. Нули
функции: tg х=0 при x=pn,
n Î Z.
6.
Промежутки знакопостоянства:
tg
х>0 при x Î (pn;
(p/2)+pn),
n Î Z,
tg
х<0 при x Î ((-p/2)+pn;
pn),
n Î Z.
7. Функция
tg
х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области
определения:
(tg х)¢
=1/cos2
x.
8. Функция
tg
х возрастает в каждом из промежутков ((-p/2)+pn;
(p/2)+pn),
n Î Z,
Функция котангенс.
(в
англоязычной литературе также ). По определению, . Если ( ), то .
Функция нечётна и периодична с периодом ;
то есть не может принимать значения вида , , при которых обращается в 0.
1. График
функции Область определения
функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=pn,
n Î Z.
2. Область
значения – множество всех действительных чисел.
3. Функция
сtg
х – нечетная: сtg (-х)=- сtg
х.
4. Функция
сtg
х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:
сtg (х+p)= ctg х.
5. Нули
функции: ctg х=0 при x=(p/2)+pn,
n Î Z.
6.
Промежутки знакопостоянства:
ctg
х>0 при x Î (pn;
(p/2)+pn),
n Î Z,
7. Функция
ctg
х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области
определения:
(ctg х)¢
=-(1/sin2
x).
8. Функция
ctg
х убывает в каждом из промежутков (pn; p(n+1)),
n Î Z.
Обратные тригонометрические функции.
Это функции арксинус, арккосинус,
арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным
ветвям синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно.
Arcsin
x :
1.
Область определения – [-1;
1].
2.
Область значений – [-П\2;
п\2].
3.
Монотонно возрастающая функция. (рис. 12)
Графики
главной ветви и
Arctg x
:
1.
Область определений – R.
2.
Область значений - интервал (-П\2; П\2).
3.
Монотонно возрастающая функция.
4.
прямые у=-П\2 и у=П\2 – горизонтальные
асимптоты.(рис. 13)
Графики
главной ветви и
Список
использованной литературы
1.
Ш. А. Алимов «Алгебра», М., 1981 г.
2.
А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа»,
М., 1991 г.