Эквивалентность пяти классов функций элементарных по Кальмару

Эквивалентность пяти классов функций элементарных по Кальмару

Реферат

Эквивалентность пяти классов функций элементарных по Кальмару

студента группы ТК

четвертого курса

Польщи М.В.

Научный руководитель: профессор Лисовик Леонид Петрович

Определение. Функция называется элементарной по Кальмару, если ее можно получить й из функций s¹, Iⁿ_m, x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.

Определим пять классов функций, элементарных по Кальмару.

L₁ ­ Класс функций, получаемый из функций s¹, Iⁿ_m, x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.

L₂ ­ Класс функций, получаемый из функций s¹, Iⁿ_m, x-y, 2^x ,S, а также конечного применения операции суммирования.

L₃ ­ Класс функций, получаемый из функций s¹, Iⁿ_m, x-y, x*y, 2^x ,S, а также конечного применения операции ограниченной минимизации.

L₄ ­ Класс функций, получаемый из функций s¹, Iⁿ_m, x-y, x+y 2^x ,S, а также конечного применения операции ограниченной рекурсии.

L₅ ­ Класс функций, получаемый из функций s¹, Iⁿ_m, x-y, x*y, S, а также конечного применения операции мультиплицирования.

Доказательство будем проводить по следующей схеме:

1. L₁ÊL₂ÊL₃ÊL₄ÊL₁

2. L₁ÊL₅

3. L₅ÊL₃

Докажем, что L₁ÊL₂ (для этого выразим 2^x через функции L₁ )

Пусть

 тогда

Докажем, что L₃ÊL₄ (для этого выразим x+y и операцию ограниченной рекурсии через функции L₃ )

Выразим операцию ограниченной рекурсии на основании следующего свойства функции Геделя.

Пусть

 тогда

Отношение, примененное в операция конечной минимизации, является элементарным по Кальмару.

Докажем, что L₄ÊL₁ (для этого выразим операции суммирования и мультиплицирования через функции L₄)

Выразим м3ультиплицирование через ограниченную рекурсию.

Где y(x,y)-к-ступенчатая функция.

Выразим суммирование через ограниченную рекурсию.

Докажем, что L₁ÊL₅ (для этого выразим x*y через функции L₅ )

Пусть

 тогда

Эквивалентность классов доказана.