Экономико-математические модели

Содержание

1. Типовые модели менеджмента: примеры экономико-математических моделей и их практического использования

Задача 1

Список литературы

1. Типовые модели менеджмента: примеры экономико-математических моделей и их практического использования

В процессе исследования объекта часто бывает нецелесообразно или даже невозможно иметь дело непосредственно с этим объектом. Удобнее бывает заменить его другим объектом, подобным данному в тех аспектах, которые важны в данном исследовании. В общем виде модель можно определить как условный образ реального объекта (процессов), который создается для более глубокого изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием. Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процессов). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т.е. модели. Можно сказать, что теоретическое знание о чем-либо, как правило, представляет собой совокупность различных моделей. Эти модели отражают существенные свойства реального объекта (процессов), хотя на самом деле действительность значительно содержательнее и богаче.

Модель - это мысленно представляемая или материально реализованная система, которая, отображая или воспроизводя объект исследования, способна замещать его так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте.

На сегодняшний день общепризнанной единой классификации моделей не существует. Однако из множества моделей можно выделить словесные, графические, физические, экономико-математические и некоторые другие типы моделей.

Экономико-математические модели - это модели экономических объектов или процессов, при описании которых используются математические средства. Цели их создания разнообразны: они строятся для анализа тех или иных предпосылок и положений экономической теории, логического обоснования экономических закономерностей, обработки и приведения в систему эмпирических данных. В практическом плане экономико-математические модели используются как инструмент прогноза, планирования, управления и совершенствования различных сторон экономической деятельности общества.

Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений. Единой классификации экономико-математических моделей не существует, хотя можно выделить наиболее значимые их группы в зависимости от признака классификации.

По целевому назначению модели делятся на:

-       Теоретико-аналитические (используются в исследовании общих свойств и закономерностей экономических процессов);

-       Прикладные (применяются в решении конкретных экономических задач, таких как задачи экономического анализа, прогнозирования, управления).

По учету фактора времени модели подразделяются на:

-       Динамические (описывают экономическую систему в развитии);

-       Статистические (экономическая система описана в статистике, применительно к одному определенному моменту времени; это как бы снимок, срез, фрагмент динамической системы в какой-то момент времени).

По длительности рассматриваемого периода времени различают модели:

-       Краткосрочного прогнозирования или планирования (до года);

-       Среднесрочного прогнозирования или планирования (до 5 лет);

-       Долгосрочного прогнозирования или планирования (более 5 лет).

По цели создания и применения различают модели:

-       Балансовые;

-       Эконометрические;

-       Оптимизационные;

-       Сетевые;

-       Систем массового обслуживания;

-       Имитационные (экспертные).

В балансовых моделях отражается требование соответствия наличия ресурсов и их использования.

Параметры эконометрических моделей оцениваются с помощью методов математической статистики. Наиболее распространены модели, представляющие собой системы регрессионных уравнений. В данных уравнениях отражается зависимость эндогенных (зависимых) переменных от экзогенных (независимых) переменных. Данная зависимость в основном выражается через тренд (длительную тенденцию) основных показателей моделируемой экономической системы. Эконометрические модели используются для анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов с использованием реальной статистической информации.

Оптимизационные модели позволяют найти из множества возможных (альтернативных) вариантов наилучший вариант производства, распределения или потребления. Ограниченные ресурсы при этом будут использованы наилучшим образом для достижения поставленной цели.

Сетевые модели наиболее широко используются в управлении проектами. Сетевая модель отображает комплекс работ (операций) и событий, и их взаимосвязь во времени. Обычно сетевая модель предназначена для выполнения работ в такой последовательности, чтобы сроки выполнения проекта были минимальными. В этом случае ставится задача нахождения критического пути. Однако существуют и такие сетевые модели, которые ориентированы не на критерий времени, а, например, на минимизацию стоимости работ.

Модели систем массового обслуживания создаются для минимизации затрат времени на ожидание в очереди и времени простоев каналов обслуживания.

Имитационная модель, наряду с машинными решениями, содержит блоки, где решения принимаются человеком (экспертом). Вместо непосредственного участия человека в принятии решений может выступать база знаний. В этом случае персональный компьютер, специализированное программное обеспечение, база данных и база знаний образуют экспертную систему. Экспертная система предназначена для решения одной или ряда задач методом имитации действий человека, эксперта в данной области.

По учету фактора неопределенности модели подразделяются на:

-       Детерминированные (с однозначно определенными результатами);

-       Стохастические (вероятностные; с различными, вероятностными результатами).

По типу математического аппарата различают модели:

-       Линейного программирования (оптимальный план достигается в крайней точке области изменения переменных величин системы ограничений);

-       Нелинейного программирования ( оптимальных значений целевой функции может быть несколько);

-       Корреляционно-регрессионные;

-       Матричные;

-       Сетевые;

-       Теории игр;

-       Теории массового обслуживания и т.д.

С развитием экономико-математических исследований проблема классификации применяемых моделей усложняется. Наряду с появлением новых типов моделей и новых признаков их классификации, осуществляется процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции.

Процесс экономико-математического моделирования - это описание экономических и социальных систем и процессов в виде экономико-математических моделей. Эта разновидность моделирования обладает рядом существенных особенностей, связанных как с объектом моделирования, так и с применяемыми аппаратом и средствами моделирования. Поэтому целесообразно более детально проанализировать последовательность и содержание этапов экономико-математического моделирования, выделив следующие шесть этапов:

.        Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ;

.        Построение математической модели;

.        Математический анализ модели;

.        Подготовка исходной информации;

.        Численное решение;

.        Анализ численных результатов и их применение.

Рассмотрим каждый из этапов более подробно.

.        Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. Главное здесь - четко сформулировать сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы, на которые требуется получить ответы. Этот этап включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта и абстрагирование от второстепенных; изучение структуры объекта и основных зависимостей, связывающих его элементы; формулирование гипотез (хотя бы предварительных), объясняющих поведение и развитие объекта.

.        Построение математической модели. Это - этап формализации экономической проблемы, выражения ее в виде конкретных математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств и т.д.). Обычно сначала определяется основная конструкция (тип) математической модели, а затем уточняются детали этой конструкции (конкретный перечень переменных и параметров, форма связей). Таком образом, построение модели подразделяется в свою очередь на несколько стадий.

Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше «работает» и дает лучшие результаты. То же можно сказать о таких характеристиках сложности модели, как используемые формы математических зависимостей (линейные и нелинейные), учет факторов случайности т неопределенности и т.д.

Излишняя сложность и громоздкость модели затрудняют процесс исследования. Нужно учитывать не только реальные возможности информационного и математического обеспечения, но и сопоставлять затраты на моделирование с получаемым эффектом.

Одна из важный особенностей математических моделей - потенциальная возможность их использования для решения разнокачественных проблем. Поэтому, даже сталкиваясь с новой экономической задачей, не нужно стремиться «изобретать» модель; сначала необходимо попытаться применить для решения этой задачи уже известные модели.

.        Математический анализ модели. Целью этого этапа является выяснение общих свойств модели. Здесь применяются чисто математические приемы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели. Если удается доказать, что математическая задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по первоначальному варианту модели отпадает и следует скорректировать либо постановку экономической задачи, либо способы ее математической формализации. При аналитическом исследовании модели выясняются такие вопросы, как, например, единственно ли решение, какие переменные (неищвестные) могут входить в решение, каковы будут соотношения между ними, в каких пределах и в зависимости исходных условий они изменяются, каковы тенденции их изменения и т.д. Аналитической исследование модели по сравнению с эмпирическим (численным) имеет то преимущество, что получаемые выводы сохраняют свою силу при различных конкретных значениях внешних и внутренних параметров модели.

.        Подготовка исходной информации. Моделирование предъявляет жесткие требования к системе информации. В то же время реальные возможности получения информации ограничивают выбор моделей, предназначаемых для практического использования. При этом принимается во внимание не только принципиальная возможность подготовки информации (за определенные сроки), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов.

Эти затраты не должны превышать эффект от использования дополнительной информации.

В процессе подготовки информации широко используются методы теории вероятностей, теоретической и математической статистики. При системном экономико-математическом моделировании исходная информация, используемая в одних моделях, является результатом функционирования других моделей.

.        Численное решение. Этот этап включает разработку алгоритмов для численного решения задачи, составление программ на ЭВМ и непосредственное проведение расчетов. Трудности этого этапа обусловлены, прежде всего, большой размерностью экономических задач, необходимостью обработки значительных массивов информации.

Исследование, проводимое численными методами, может существенно дополнить результаты аналитического исследования, а для многих моделей оно является единственно осуществимым. Класс экономических задач, которые можно решать численными методами, значительно шире, чем класс задач, доступных аналитическому исследованию.

.        Анализ численных результатов и их применение. На этом заключительном этапе цикла встает вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени практической применимости последних.

Математические методы проверки могут выявить некорректные построения модели и тем самым сужать класс потенциально правильных моделей. Неформальный анализ теоретических выводов и численных результатов, получаемых посредством модели, сопоставление их с имеющимися знаниями и фактами действительности также позволяют обнаруживать недостатки постановки экономической задачи, сконструированной математической модели, ее информационного и математического обеспечения.

В выпуске двух продуктов задействованы три станка. Чтобы выпустить килограмм продукта каждый станок должен отработать определенное количество часов. Данные приводятся в таблице. Ресурс рабочего времени для станка 1 составляет 10 ч, для станка 2 - 16 ч. и для станка 3 - 12 ч. Удельная прибыль в расчете на 1 кг. составляет 4$ для продукта 1,3$ для продукта 2.

Определить оптимальный план производства продуктов каждого вида с целью получения максимальной прибыли от продаж.

Экономико-математическая модель.

Исходя из условия, делается вывод о том, что эта задача является задачей линейного программирования.

Обозначим за неизвестные переменные (i =1….2) объем производства соответствующего продукта.

Значения таблицы представляют собой матрицу с коэффициентами ().

В общем виде система ограничений имеет вид:

С учетом значений задачи получаем.

Дополнительные ограничения: , .

Необходимо найти оптимальный план выпуска продукций (т.е. ), который обеспечит максимальную выручку. Пусть f - выручка от реализации продукций. Тогда  В общем виде целевая функция примет вид:

,

где - рыночные цены соответствующих изделий (i =1….5);

- объем производства соответствующих изделий.

Исходя из условий задачи:

Для некоторых производственных задач целесообразно найти оптимальный план производства, содержащий целые значения. Поэтому в дополнительные ограничения следует добавить:  (i =1,2).

Табличная модель. Модель производственной задачи состоит из таблицы

До оптимизации ячейки переменных [В2:С2] заполняются произвольным набором значений (не противоречащим ограничениям). Таким образом, задается первое приближение. Кроме того это необходимо, чтобы увидеть расчет всех ячеек, заполненных формулами.

Рис. 1.1. Табличное представление модели

Замечание: Важно строго следить за форматированием ячеек. Ячейки, содержащие значения и расчетные формулы должны быть отформатированы числовым (при необходимости финансовым) форматом.

Более наглядно заполнение ячеек табличной формы задачи представлено на рисунке 1.2.

Рис. 1.2. Табличная модель с представленными формулами

Следующим шагом необходимо скопировать значение целевой функции в любую пустую ячейку, применяя команду, Специальная вставкаотметить флажок значение. Оптимизация. Сервис  Поиск решений.

Рис. 1.3. Диалоговое окно надстройки Поиск решения

Рис. 1.4. Решение производственной задачи

Замечаем, что оптимум значительно больше предыдущего значения целевой функции.

Оптимальный план производства, при данных условиях, состоит в том, что мы будем производить только продукт 1 в объеме 2,4 ед., и получим прибыль - 9,6 ед.

Задача 1

экономический математический модельный интеграция

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Требуется:

.        Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

.        Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теоремы двойственности.

.        Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

.        На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

-       проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

-       определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;

-       оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение:

. Обозначим через x₁, x₂, x₃, x₄ - количество четырех видов продукции соответственно и запишем математическую модель задачи критерию «максимум стоимости»:

max (12x₁ + 7x₂ + 18x₃ + 10x₄)₁ + 2x₂ + x₃ ≤ 18₁ + x₂ + 2x₃ + x₄ ≤ 30₁ + 3x₂ + 3x₃ + 2x₄ ≤ 40_j ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4.

Приведем задачу к каноническому виду

max (12x₁ + 7x₂ + 18x₃ + 10x₄)

x₁ + 2x₂ + x₃ + x₅ = 18

x₁ + x₂ + 2x₃ + x₄ + x₆ = 30

x₁ + 3x₂ + 3x₃ + 2x₄ + x₇ = 40

x_j ≥ 0, j = 1-7.

Решим каноническую задачу симплекс-методом.

Задача решена, получена оптимальная симплекс-таблица.

z = 326 - максимальное значение целевой функции. Решение x₁ = 18, x₂ = 0, x₃ = 0, x₄ = 11.

В этой модели функциональные ограничения отражают условия ограниченности запасов сырья используемых в производстве продукции.

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений планом X* = (x₁ = 18, x₂ = 0, x₃ = 0, x₄ = 11):

+ 2 ∙ 0 + 0 = 18

+ 0 + 2 ∙ 0 + 11 = 29 ≤ 30(*)

+ 3 ∙ 0 + 3 ∙ 0 + 2 ∙ 11 = 40

f(X) = 12 ∙ 18 + 7 ∙ 0 + 18 ∙ 0 + 10 ∙ 11 = 326.

. Двойственная задача имеет вид:

min (18y₁ + 30y₂ + 40y₃)

y₁ + y₂ + y₃ ≥ 12

y₁ + y₂ + 3y₃ ≥ 7

y₁ + 2y₂ + 3y₃ ≥ 18

y₂ + 2x₃ ≥ 10

y_j ≥ 0.

Для нахождения оценок y₁, y₂, y₃ используем вторую теорему двойственности. Поскольку второе ограничение в (*) выполняется как строгое неравенство, то y₂ = 0. Так как x₁ > 0 и x₄ > 0 , то

y₁ + y₂ + y₃ - 12 = 0

y₂ + 2x₃ - 10 = 0.

Итак, для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

y₂* = 0

y₁* + y₂* + y₃* = 12

y₂* + 2x₃* = 10,

т.е. y₁* = 7, y₂* = 0, y₃* = 5.

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

φ(Y) = 18 ∙ 7 + 30 ∙ 0 + 40 ∙ 5 = 326, т.е. f(X) = φ(Y) = 326.

. Значение переменных x₂ и x₃ в оптимизационном плане равно нулю. Это говорит о том, что изделия Б и В невыгодно изготавливать.

. По первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства.

.        Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает, насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу.

В рассматриваемом примере увеличение запасов сырья I типа привело бы к увеличению общей стоимости на 7 у.е. (y₁ = 7), увеличение запасов сырья III типа привело бы к увеличению общей стоимости на 5 у.е. (y₃ = 5), а увеличение запасов сырья II типа не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и на общую стоимость.

.        Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают какие ресурсы являются более дефицитными, какие менее дефицитные и какие совсем не дефицитными.

В нашем примере недефицитным ресурсом является сырье II поскольку y₂ = 0.

Острее ощущается дефицитность сырья I (y₁ = 7) - он более дефицитен, чем сырье III (y₃ = 5).

.        Двойственные оценки позволяют определять своеобразные «нормы заменяемости ресурсов». В нашем примере относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением 5 : 7.

Определим, как изменится общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 4 и 3 ед. соответственно и уменьшения на 3 ед. сырья III вида.

Предполагая, что эти изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок, имеем:

x₁ + 2 ∙ 0 + 0 = 22

x₁ + 0 + 2 ∙ 0 + x₄ = 33

x₁ + 3 ∙ 0 + 3 ∙ 0 + 2x₄ = 37.

Отсюда определяется план выпуска в новых производственных условиях - X = (x₁ = 22, x₂ = 0, x₃ = 0, x₄ =7,5) соответственно прибыль составит 339 у.е., т.е. увеличится на 13 у.е.

Решим вопрос о целесообразности включения в план изделий «Д» ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

∙ 2 + 0 ∙ 2 + 5 ∙ 2 - 10 = 14 > 0 - невыгодно.

Решим эту же задачу в среде Microsoft Excel.

Составим шаблон для решения задачи.

Рис. 2.1. Табличное представление модели

Воспользуемся поиском решений.

Рис. 2.2. Диалоговое окно надстройки Поиск решения

Получим результат.

Рис. 2.3. Решение производственной задачи

Результат решения совпал с приведенным выше.

Список литературы

1.      Гармаш А.Н., Орлова И.В. Математические методы в управлении: учебное пособие. - М.: Вузовский учебник, 2011.

.        Исследование операций в экономике / под ред. Н.Ш. Кремера. - 2-е изд. - М.: Юрайт"издат : Высшее образование, 2010.

.        Мур Дж., Уэдерфорд Л. Экономическое моделирование в Microsoft Excel. - М.: ИД Вильямс», 2004.

.        Стрикалов А.И. Экономико-математические методы и модели: Пособие к решению задач. - Ростов н/Д: Феникс, 2008.

.        Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Орлова И.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебное пособие для вузов. - 3-е изд. - М.: Юрайт-издат : Высшее образование, 2011.