Теория погрешностей

Теория погрешностей

1. Основные положения и определения

При проведении измерений необходимо различать размер физической величины (т.н. истинное значение) и результат измерения (измеренное значение).

Классическая теория измерений по поводу истинного значения физической величины выдвигает два основных постулата:

) существует истинное значение измеряемой величины;

) истинное значение отыскать невозможно.

Последний пессимистический постулат обусловлен воздействием на процесс измерения многих сопутствующих ему факторов (неточные действия оператора, изменение условий измерения, некорректная постановка измерительной задачи, несовершенство средства измерения и т.д.).

Отклонение результата измерения Х от истинного значения Q измеряемой величины называется погрешностью измерения ().

Погрешность является отрицательным показателем качества измерений. Положительным показателем последнего является точность. Значение точности характеризует близость к нулю погрешности результата измерений.

Из постулатов метрологии следует, что поскольку истинное значение отыскать невозможно, то невозможно отыскать и погрешность измерения. Поэтому в метрологии погрешность не измеряют, а оценивают, заменяя истинное значение действительным. Действительное значение - это значение ФВ, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному, что для данной цели может быть использовано вместо него.

Несмотря на неопределенность понятия «погрешность», удобство использования последней заключается в возможности разделения ее на составляющие, каждая из которых обусловлена определенным фактором. Это позволяет исследовать источники погрешности, ввиду чего появляется возможность ввести поправки в результат измерения или организовать измерительный эксперимент так, чтобы свести суммарную погрешность к допустимому уровню.

Классификация погрешностей возможна по различным признакам.

По способу выражения погрешность делят на абсолютную, приведенную и относительную.

Абсолютная погрешность - это разность между измеренным и истинным значением измеряемой величины:

.                                  (1)

Отличительной особенностью абсолютной погрешности является то, что она выражена в единицах измеряемой величины.

Относительная погрешность равна выраженному в процентах отношению абсолютной погрешности к истинному или измеренному значению измеряемой величины:

.              (2)

Приведенная погрешность равна выраженному в процентах отношению абсолютной погрешности к нормированному значению  измеряемой величины:

.                            (3)

Значение  равно, как правило, значению предела измерений СИТ.

По характеру изменения погрешности измерения делят на систематические и случайные.

Систематические погрешности остаются постоянными или закономерно изменяются при повторных измерениях ФВ одного и того же размера.

Случайные погрешности хаотически изменяют свое значение и знак при повторных измерениях ФВ одного и того же размера.

Систематическая погрешность, в зависимости от характера изменения, может подразделяться на постоянную и переменную - периодическую или монотонную. К случайным погрешностям относятся грубые погрешности, существенно превышающие ожидаемые при данных условиях значения погрешности. Такие погрешности могут возникать, например, при резком кратковременном изменении напряжения в сети питания средства измерения. Грубые погрешности можно выявить при статистической обработке результатов измерений и исключить из их числа.

По месту (причине) возникновения различают методические, инструментальные и личные погрешности.

Методические погрешности - это погрешности, обусловленные несовершенством метода измерения, например погрешность квантования, возникающая при применении цифровых СИТ.

Инструментальные погрешности - составляющая погрешности, обусловленная несовершенством применяемых СИТ. Различают основную погрешность СИТ (погрешность в условиях, принятых за нормальные) и дополнительную погрешность, т.е. погрешность, обусловленную отклонением условий от нормальных.

Личные погрешности - погрешности оператора, например, погрешность, обусловленная явлением параллакса при считывании показаний со шкалы стрелочного прибора. Грубые личные погрешности, называемые промахами, появляются в результате ошибки при считывании показаний или описки при записи результатов измерений. Как и грубые погрешности, промахи выявляются при статистической обработке результатов измерений и исключаются из их числа.

По режиму работы средств измерения различают статические и динамические погрешности.

Статическая погрешность - это погрешность измерения ФВ, размер которой можно считать неизменным за время измерения.

Динамическая погрешность - это составляющая погрешности измерений, возникающая дополнительно к статической во время динамических измерений при которых размер измеряемой ФВ нельзя считать неизменным. Она определяется двумя факторами: динамическими свойствами СИТ и характером изменений во времени измеряемой величины.

2. Вероятностное представление результатов и погрешностей измерений

Учитывая присутствие погрешности в результате измерений Х, последний можно представить в виде следующего выражения

,                    (4)

где  - систематическая составляющая погрешности ;

 - случайная составляющая погрешности .

Поскольку результат измерения содержит случайную погрешность и неопределенную по величине систематическую погрешность, то он сам является случайной величиной. Как и всякая случайная величина, результат измерения полностью характеризуется плотностью распределения . Примерный вид изображен на рис. 2.

На этом же рисунке изображены плотности распределения случайной погрешности  и суммарной погрешности .

Случайная погрешность по определению является центрированной случайной величиной. Поэтому ее математическое ожидание . Наличие систематической погрешности приводит к смещению математического ожидания суммарной  погрешности на величину

. Плотность распределения результата измерения  смещена относительно суммарной погрешности на величину .

Таким образом, взаимное положение истинного значения ФВ  и результата ее измерения Х на числовой оси не определено. Поэтому мы не можем по результату измерений определить , но можно попытаться оценить интервал, в который с заданной (доверительной) вероятностью попадает . Этот интервал также называется доверительным (рис. 3). Термин «доверительный» выражает степень доверия к результату измерений.

Доверительным интервалом называется интервал, границы которого симметричны относительно математического ожидания, а вероятность попадания в который результата измерений равна доверительной.

На рис. 2.3 видно, что ширина доверительного интервала зависит от доверительной вероятности Р_Д, вида распределения и его среднеквадратического отклонения, которое характеризует степень рассеяния результатов измерений вокруг математического ожидания М_Х.

Если закон распределения неизвестен, то для оценки доверительного интервала следует воспользоваться неравенством Чебышева.

Для вывода неравенства оценим вероятность того, что измеряемая величина не попадает в доверительный интервал

.         (5)

По определению дисперсия Х равна

                (6)

В формуле (2.6) положим подынтегральное выражение равным нулю на интервале (). В этом случае будет иметь место неравенство

.         (7)

Так как по начальному условию , то заменив в неравенстве (2.7)  на  мы усиливаем это неравенство, получая

.            (8)

Правая часть неравенства (2.8) совпадает с правой частью выражения (2.5). Учитывая это, можно записать , откуда

.                     (9)

В предельном случае

,

где  - т.н. доверительный коэффициент, зависящий от доверительной вероятности. Зависимость , для неизвестного закона распределения, вытекающая из неравенства Чебышева, представлена в табл. 2.1.

Значения , получаемые из неравенства Чебышева, оказываются чрезмерно завышенными, особенно при . Поэтому для симметричных законов распределения можно воспользоваться неравенством Кампа - Мейделя

,                     (10)

откуда

.                            (11)

Значения , полученные из неравенства Кампа-Мейделя для неизвестных симметричных законов распределения, приведены в табл. 1.

Таблица 1 - Зависимости доверительного коэффициента  для различных законов распределения

Для известных законов распределения значения доверительного коэффициента можно найти из выражения

,              (12)

подставляя вместо  соответствующие аналитические выражения для интегральной функции распределения результатов или погрешностей измерения.

Равновероятное распределение (рис. 4, а).

Плотность распределения

                        (13)

Интегральная функция распределения

 (14)

Числовые характеристики распределения - математическое ожидание ; среднеквадратическое отклонение .

Доверительная вероятность

. (15)

Отсюда .

Треугольное распределение (Симпсона) (рис. 4, б).

Плотность распределения

                (16)

Интегральная функция распределения

         (17)

Числовые характеристики:

.

Доверительная вероятность

 (18)

Отсюда

.         (19)

Нормальный закон (Гаусса) (рис. 4, в).

Плотность распределения

.                       (20)

Интегральная функция распределения

.                 (21)

Доверительная вероятность

.

Вводим замену переменного , откуда  и вместо  в пределах интегрирования необходимо записать

,

т.е. ,

где  - функция Лапласа.

Отсюда получаем

Значение функции , обратной функции Лапласа, табулированы (табл. А1).

Двойное экспоненциальное распределение (Лапласа) (рис. 4, г).

Плотность распределения

.            (23)

Интегральная функция распределения

               (24)

Среднеквадратическое отклонение

.

Доверительная вероятность

Отсюда

 (25)

Распределение по закону арксинуса (рис. 4, д).

Плотность распределения

 (26)

Интегральная функция распределения

 (27)

Доверительная вероятность

Отсюда

.   (28)

Зависимости доверительных коэффициентов от доверительной вероятности Р_Д для различных законов распределения приведены на рис. 5. В таблице 2.1 даны значения для приведенных выше законов распределения для наиболее употребимых вероятностей 0,9; 0,95; 0,99; 0,9973.

3. Случайные погрешности

Случайной мы называем погрешность, которая хаотично меняет свой размер и знак при повторных измерениях ФВ одного и того же размера, проводимых в одинаковых условиях.

Из этого определения вытекает способ обнаружения случайной погрешности, заключающийся в анализе результатов многократных наблюдений ФВ неизменного размера. Его удобно проводить, имея графическое изображение результатов последовательных наблюдений измеряемой величины .

Оценивание случайной погрешности производится путем определения ее границ , связанных с оценкой среднеквадратического отклонения (СКО) результатов наблюдений выражением

,                           (29)

где - доверительный коэффициент.

Как следует из выражения (29) для отыскания необходимо:

) произвести оценку СКО , которую невозможно найти без отыскания оценки математического ожидания ;

) определить закон распределения случайной погрешности для нахождения .

Рассмотрим решение этих задач.

Определение точечных оценок числовых характеристик эмпирических законов распределения случайной погрешности

В отличие от самих числовых характеристик их оценки являются случайными величинами, причем их значения и рассеянность зависят от числа экспериментальных данных.

Точечные оценки числовых характеристик должны удовлетворять 3-м требованиям: они должны быть состоятельными, несмещенными и эффективными.

Состоятельной называется оценка, которая с увеличением выборки приближается к истинному значению характеристики

.

По определению математического ожидания

.

Так как каждое значение х_і появляется один раз при общем объеме выборки n, то , откуда

.

При конечном n оценкой М_Х является среднее арифметическое

.

Поскольку  появилось из М_Х при ограничении объема выборки, то является состоятельной оценкой математического ожидания.

По определению дисперсии

то есть состоятельной оценкой является так называемая выборочная дисперсия

. (30)

На практике  неизвестно, поэтому при расчете  математическое ожидание заменяют оценкой :

.

Это не влияет на состоятельность , поскольку .

Несмещенной называется оценка, математическое ожидание которой равно самой характеристике.

.

Проверим несмещенность среднего арифметического

Таким образом, среднее арифметическое является несмещенной оценкой математического ожидания результатов многократных наблюдений при любом законе распределения.

Проверим несмещенность оценки дисперсии (30)

Так как

,

то

.

Таким образом, замена математического ожидания на среднее арифметическое в выражении (30) приводит к смещению оценки дисперсии.

Несмещенную оценку дисперсии получают, домножая  на коэффициент , то есть несмещенной оценкой дисперсии является

.                    (31)

При  коэффициент , поэтому оценка (31) оказывается также состоятельной, как и оценка (30).

Оценка среднеквадратического отклонения результата наблюдения определяется, как правило, по формуле

.                          (32)

                        (33)

Общий вид этого коэффициента для нормального распределения представлен на рис. 2.6 и хорошо апроксимируется выражением

.                           (34)

Эффективной называется оценка, обладающая наименьшей дисперсией (рассеянием) по сравнению с остальными.

Для выбора наиболее эффективной оценки существует целый ряд методов. Наиболее распространенным является метод максимального правдоподобия, теоретически обоснованный Р. Фишером. Идея метода заключается в отыскании таких оценок параметров распределения, при которых достигает максимума т.н. функция правдоподобия. Последняя определяется как вероятность появления всех независимых результатов наблюдения . Поскольку вероятность появления результата х_i, лежащего в интервале , где  - некоторая малая величина, равна , то для независимых результатов наблюдения вероятность появления всего ряда наблюдений  есть произведение этих вероятностей

. (35)

В соответствии с принципом максимального правдоподобия необходимо найти такие оценки параметров дифференциальной функции распределения p(x_i), при которых выражение (35) достигает наибольшего значения.

Для упрощения вычислений пользуются логарифмической функцией правдоподобия

.                        (36)

Условие максимума (36) получают в результате решения системы уравнений, образуемой при приравнивании нулю производных от (36) по тем параметрам, оценки которых мы хотим определить.

Эту задачу можно решить только для конкретного вида дифференциальной функции распределения.

Нормальное распределение.

Плотность распределения

.

Отсюда логарифмическая функция правдоподобия имеет вид

.             (37)

Отыщем наиболее эффективную оценку математического ожидания для нормального распределения

,

то есть .

Отсюда. Таким образом, среднее арифметическое является не только состоятельной и несмещенной оценкой математического ожидания, но и для нормального распределения еще и самой эффективной.

Дисперсия среднего арифметического, как уже было показано, равна

                                   (38)

То есть дисперсия среднего арифметического в n раз меньше дисперсии результата наблюдения. Для дисперсии

,

откуда  и

,

то есть для нормального распределения полученная оценка дисперсии является эффективной.

Экспоненциальное распределение (Лапласа).

Плотность распределения

,

для которой

,

а ее график изображен на рис. 2.4, г.

Логарифмическая функция правдоподобия для двойного экспоненциального закона распределения имеет вид

.

Эффективная оценка математического ожидания определяется из выражения

.

Для упорядоченного ряда наблюдений

откуда .

То есть - значение, стоящее посредине ряда наблюдений. Оно называется медианой Me:

                      (39)

Эффективная оценка  определяется из выражения

откуда

.                           (40)

Величина  связана с соотношением

,

поэтому

.             (41)

Равномерное распределение.

Плотность распределения

Так как в выражение для функции распределения не входит аргумент X, то обычная техника использования принципа максимального правдоподобия здесь неприемлема. Однако в этом случае экстремальная задача может быть решена непосредственно.

Функция правдоподобия

.

Параметры a и b отыскиваются из ряда наблюдений , причем

;

.

Очевидно, что решение экстремальной задачи  будет достигаться в том случае, когда

,

т.е. для равномерного распределения эффективные оценки математического ожидания и дисперсии будут находиться через минимальные и максимальные значения ряда наблюдений. Поэтому эффективной оценкой математического ожидания является полуразмах

,                         (42)

а дисперсия

.                     (43)

Для других симметричных распределений предлагается определять эффективную оценку математического ожидания в зависимости от величины оценки островершинности (эксцесса) их распределений

 - 3.

Если -, т.е. распределение близко к нормальному (), то за ее оценку лучше взять среднее арифметическое.

Если Е<-0,5, т.е. распределение близко к равномерному, то наиболее целесообразно оценкой математического ожидания считать полуразмах. Эффективные оценки дисперсии в этих случаях соответствуют эффективным оценкам дисперсии указанных распределений (табл2).

Таблица2 - Эффективные оценки математического ожидания и СК0 симметричных распределений

погрешность относительный приведенный случайный

Определение закона распределения случайной погрешности

Задача определения закона распределения случайной погрешности решается в два этапа:

1) построение гистограммы или кумулятивной кривой распределения случайной погрешности и высказывание гипотезы о виде распределения;

2) Проверка гипотезы о виде распределения с помощью критерия согласия.

Гистограмма и кумулятивная кривая являются дискретными аналогами дифференциальной и интегральной функций распределения, построенными по статистической совокупности из п результатов наблюдений. Результаты наблюдений можно представить на числовой оси в виде точек. Разность между наибольшим и наименьшим наблюденным значением отсчетов равна диапазону результатов наблюдения

Этот диапазон можно разбить на L интервалов, длительностью

.

Через границы этих интервалов можно записать формулу для интегральной функции распределения в следующем виде

где

Если - количество наблюденных значений, попавших в k-й интервал, то

.

Эту зависимость можно представить в виде точек на графике  (рис. 7). Ломаная линия, соединяющая эти точки, называется кумулятивной кривой.

В пределе, при  и  кумулятивная кривая стремится к интегральной функции распределения, сохраняя все ее свойства:

);

);

)  - возрастающая функция.

Также, как интегральная функция распределения связана с дифференциальной кумулятивная кривая связана с гистограммой:

.

Эта зависимость представлена на рис. 8 и представляет собой совокупность прямоугольников высотой . Гистограмма сохраняет все свойства дифференциального распределения, к которому стремится при и :

);

) площадь под кривой гистограммы равна 1 (условие нормировки)

.

При построении кумулятивных кривых и гистограмм для большей наглядности следует придерживаться следующих правил:

) интервалы, на которые разбивается ось абсцисс, следует выбирать одинаковыми;

2) число интервалов L устанавливается в соответствии с рекомендациями, приведенными в табл. 3;

Таблица 3 - К выбору числа интервалов гистограммы (кумулятивной кривой)

3) масштаб гистограммы выбирается таким, чтобы высота гистограммы к ее основанию относились как 5:8.

После построения кумулятивной кривой и гистограммы можно высказать гипотезу о виде распределения.

Правдоподобие гипотез о соответствии распределения результатов наблюдения выбранному закону проверяют с помощью так называемых критериев согласия. Таких критериев существует множество. Рассмотрим некоторые из них, нашедшие наибольшее применение на практике.

Критерий Колмогорова.

В этом критерии в качестве меры расхождения теоретического и экспериментального распределения взято максимальное значение модуля разности D между экспериментальной F*(X) и теоретической F(X) интегральными функциями распределения

.

Колмогоров доказал, что какова бы ни была функция распределения F(x) непрерывной случайной величины x, при неограниченном возрастании числа независимых наблюдений n, вероятность неравенства

стремится к пределу

.

Зависимость изображена на рис. 9 и в таблице А2.

Схема применения критерия Колмогорова заключается в следующем:

1) строится экспериментальная функция распределения F*(X) и предполагаемая F(X) теоретическая и определяется максимум D модуля разности между ними;

) определяется величина ;

3) по таблице А2 находится вероятность  того, что максимальное отклонение между F*(X) и F(X) не будет превышать D. Если  мала, гипотезу отвергают.

Критерий Колмогорова очень прост и поэтому его охотно применяют на практике. Следует, однако, оговорить, что этот критерий можно применять только в случае, когда гипотетическое распределение F(X) полностью известно заранее из каких-либо теоретических соображений, т.е. когда известен не только вид функции F(X), но и входящие в нее параметры. Обычно на практике известен только общий вид функции F(X), а входящие в нее параметры определяются по данному статистическому материалу. В этом случае (при малом n) критерий Колмогорова дает завышенные значения вероятности , поэтому в иногда можно принять как правдоподобную гипотезу, в действительности плохо согласующуюся с опытными данными.

Критерий Пирсона (c²).

В качестве меры расхождения экспериментальных данных с теоретическим дифференциальным законом распределения вероятностей в критерии Пирсона принимается величина

,

где - число результатов наблюдений, попавщих на j-й интервал гистограммы;

 - действительное число результатов наблюдений, которые попали бы на j-й интервал, при полном соответствии эмпирического закона распределения гипотетическому.

,

где - значение гипотетической функции распределения в точке, соответствующей средине j-го интервала гистограммы;

n - общее число наблюдений;

- ширина интервала гистограммы.

Величина  распределена по закону Пирсона (рис. 10). Распределение зависит от параметра k, называемого числом «степеней свободы».

Число степеней свободы равно числу интервалов гистограммы L минус число независимых условий, наложенных на эмпирическое распределение. Для симметричных законов распределения такими условиями являются:

1) условие нормировки ;

2) требование равенства математического ожидания гипотетического распределения среднему арифметическому экспериментального распределения ;

3) требование равенства дисперсии гипотетического распределения оценке дисперсии экспериментального распределения

.

Поэтому k=L-3. Для распределения Пирсона составлены соответствующие таблицы (см. таблицу А3). Пользуясь этими таблицами можно найти для каждого c² и числа степеней свободы вероятность P₀ того, что величина, распределенная по закону c² превзойдет это значение.

На практике вероятностью Р₀ задаются и по таблицам определяют величину . Если , то гипотеза о виде закона распределения подтверждается, если , то отклоняется.

При проверке закона распределения по критерию Пирсона хорошие результаты получаются только если п > 40…50. Для n лежащем в диапазоне от 10…15 до 40…50 применяется так называемый составной критерий.

Составной критерий

Составной критерий применяется обычно для проверки принадлежности экспериментального распределения нормальному. Критерий состоит из двух частей.

. В первой части критерия для ряда наблюдений рассчитывается величина

и проверяется выполнение условий , где  и  зависят от вероятности Р (рис. 2.11), с которой принимается решение и находятся по таблице А4. Если это условие выполняется, переходят ко второй части критерия.

2. Во второй части критерия определяют количество m результатов наблюдений, которые выходят зà границы интервала

,

где - доверительный коэффициент для нормального распределения (для Р=0,9973 = 3); - оценка среднеквадратического отклонения.

При числе наблюдений п<20, m не должно быть больше 1, а при n>20, . Если и это условие выполняется, то гипотеза о нормальности распределения подтверждается. При невыполнении одного из условий гипотеза отклоняется.

Минимизация случайной погрешности

Уменьшить случайную погрешность можно, определяя оценку математического ожидания многократных наблюдений измеряемой величины Х. В этом случае за результат измерения, как правило, принимается среднее арифметическое результатов наблюдений

.

Поскольку  определяется по конечному числу наблюдений, то является случайной величиной.

Дисперсия среднего арифметического результатов наблюдений  в n раз меньше дисперсии однократного наблюдения

Поэтому, принимая за результат измерения , можно ожидать уменьшения случайной погрешности.

Границы погрешности среднего арифметического будут, очевидно, определяться выражением

.                         (47)

Для определения границ погрешности среднего арифметического необходимо знать его закон распределения.

Центральная предельная теорема теории вероятности гласит: если имеется n независимых случайных величин  распределенных по одному и тому же закону с математическим ожиданием  и дисперсией , то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы  неограниченно приближается к нормальному. Считается, что при n > 20…30 центральная предельная теорема соблюдается, поэтому в этом случае значения доверительного коэффициента в выражении (47) берется из таблицы для нормального распределения.

Если n < 20…30, то распределение  уже нельзя считать нормальным. Как же определить  для этого случая?

Доверительная вероятность для  равна

.

Деля обе части неравенства на

,

получаем

.           (48)

Обозначим , тогда

где - интегральная функция распределения величины Т.

Закон распределения Т зависит от закона распределения  и числа наблюдений n.

Из теории вероятности известно, что если величина  распределена по нормальному закону, то величина Т распределена по так называемому закону Стьюдента с k = (n-1) степенью свободы.

Плотность распределения Стьюдента имеет вид (рис. 2.12)

.

С ростом n распределения Стьюдента приближается к нормальному и при n>20…30 уже неотличимо от него (рис 13).

Таким образом, если известно, что результаты отдельных наблюдений распределены по нормальному закону, то при числе наблюдений n=2…20 при определении границ случайной погрешности доверительный коэффициент  берется из таблиц распределения Стьюдента для (n-1) - й степени свободы и заданной доверительной вероятности . Зависимость коэффициента Стьюдента  приведена на рис. 13 и в табл. А5.

При отсутствии таблиц с распределением Стьюдента, значение коэффициента  для n=6…20 можно определить приближенно (с погрешностью до 20%) по формуле

,

где - доверительный коэффициент для нормального распределения.

Более точно (с погрешностью не более 5%) значение коэффициента  для n > 4 и > 0,9 можно аппроксимировать выражением

Литература

1. Метрология; Форум - Москва, 2011. - 464 c.

. Дегтярев А.А., Летягин В.А., Погалов А.И., Угольников С.В. Метрология; Академический Проект -, 2006. - 256 c.

. Димов, Ю.В. Метрология, стандартизация и сертификация; СПб: Питер - Москва, 2004. - 432 c.

. Кошевая И.П., Канке А.А. Метрология, стандартизация и сертификация; Форум, Инфра-М - Москва, 2009. - 416 c.

. Кузнецов С.К. Древнерусская метрология; Типография Н.Н. Черемшанского - Москва, 2006. - 138 c.

. Месяц Метрология; КАК проект - Москва, 2011. - 843 c.

. Шишкин, И.Ф. Теоретическая метрология. В 2-х т.Т. 1. Общая теория измерений: Учебник для вузов / И.Ф. Шишкин. - СПб.: Питер, 2010. - 192 c.

. Шишкин, И.Ф. Теоретическая метрология. Т. 2. Обеспечение единства измерений: Учебник для вузов / И.Ф. Шишкин. - СПб.: Питер, 2012. - 240 c.