Линейная алгебра

Линейная алгебра

1. Вычислить определитель

Домножим первую строку на (-1) и сложим с третьей, домножим первую строку на (-2) и сложим с четвертой

матрица уравнение формула математический

2. Выполнить действие над матрицами. Даны две матрицы А и В. Найдите: АВ; ВА, АА-1; В-1В.

Вычислим обратную матрицу А^-1.

Пусть имеем невырожденную матрицу:

. Тогда

Где А_ij - алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (-1)^i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель и алгебраические дополнения

 - следовательно матрица А имеет обратную матрицуА^-1.

Вычислим определитель и алгебраические дополнения

следовательно матрица В имеет обратную матрицуВ^-1.

. Решить систему линейных уравнений

а) по формулам Крамера

б) методом Гауса

в) с помощью обратной матрицы

Выполнить проверку.

Решение:

а) по формулам Крамера

Найдем определитель матрицы:

 - значит система имеет решение.

теперь воспользуемся формулами Крамера:

Получаем:

в) методом Гауса.

Запишем расширенную матрицу

 вторую строку помножим на (-2) и сложим с первой, вторую строку помножим на (-4) и сложим с третьей.

 Помножим первую строку на (-2) и сложим с третьей, помножим первую строку на (2/8) и сложим со второй.

 Помножим третью строку на (15/9) и сложим с первой, помножим третью строку на (-1/4) и сложим со второй.

 Помножим вторую строку на (6) и сложим с третьей, затем помножим вторую строку на (-14) и сложим с первой.

Получаем:

в) с помощью обратной матрицы

Обозначим через А - матрицу коэффициентов при неизвестных; Х - матрицу-столбец неизвестных Х₁, Х₂, Х₃; Н - матрицу-столбец свободных членов:

, ,

С учетом этих обозначений данная система принимает следующую матричную форму:

А∙Х = Н.

Если матрица не вырожденная (ее определитель отличен от 0), то она имеет обратную матрицу А^-1. Х = А^-1∙Н.

Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^-1.

Пусть имеем невырожденную матрицу:

. Тогда

Где А_ij - алгебраическое дополнение элемента a_ij в определителе матрицы А, которое является произведением (-1)^i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель и алгебраические дополнения

и- следовательно матрица А имеет обратную матрицуА^-1.

Теперь можем найти решение данной системы:

Значит:

Ответ: (0,5; 1/3; -0,25)

. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды А, В, С, D.

Найти:

) модули векторов выходящих из точки D;

) уравнение плоскости АВС;

) уравнение сторон треугольника АВD;

) уравнение прямой проходящей через точку D перпендикулярно плоскости АВС;

) объем пирамиды с вершиной в точке D;

) площадь треугольника АВС;

) сделайте чертеж.

Решение:

. Расстояние d между точками М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), определяется по формуле:

Найдем модули векторов

. Уравнение плоскости проходящей через три точки М₀(х₀; у₀; z₀), М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), имеет вид:

 - уравнение грани АВС.

. Уравнение прямой проходящей через точки М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), имеет вид:

Найдем уравнение прямой DA:

- уравнение прямой DA.

Найдем уравнение прямой DВ:

 - уравнение прямой DВ.

Найдем уравнение прямой AB:

- уравнение прямой AВ.

. уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС

Прямая проходящая через точку М₀(х₀; у₀; z₀) и перпендикулярная плоскости Ах + Ву + Сz + D=0 представляется уравнением

 - уравнение искомой высоты.

. объем пирамиды АВСD

Объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах , как на сторонах. Объем параллелепипеда найдем, используя смешанное произведение векторов:

Если даны точки М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), то координаты вектора находятся следующим образом:

Координаты векторов

. Площадь грани АВС найдем, используя векторное произведение:

то есть вектор векторного произведения имеет координаты (-24; -35; -33).

. Химический завод производит два вида химикатов А и Б с применением реакторов двух типов. Фонд рабочего времени реакторов, время обработки единицы реакторов, время обработки ед. химиката, стоимость ед. химиката, приведены в таблице:

Известно что химиката А должно быть выпущено на 2 ед. больше чем, В. Определить план выпуска химикатов, чтобы прибыль была максимальной.

Решение:

Составим экономико-математическую модель задачи:

F(X)= x₁ + 2x₂→мах

При ограничениях

Построим на плоскости Х₁ОХ₂ многоугольник решений - область допустимых решений задачи. Для этого в неравенствах системы ограничений и условиях неотрицательности переменных задачи знаки неравенств заменим на знаки точных равенств.

Построив прямые системы, найдем соответствующие, знакам неравенств полуплоскости и их пересечение:

Многоугольником решений задачи является четырехугольник ABCD, координаты точек которого удовлетворяют условию неотрицательности переменных и неравенствам системы ограничений задачи.

Для нахождения точек экстремума (точек максимума и минимума) построим начальную прямую L₀ (линию нулевого уровня F(X) = 0 = x₁ + 2x₂ и вектор (1; 2).

Передвигая начальную прямую в направлении вектора (1; 2), найдем точку С (точку выхода) в которой начальная прямая принимает значение максимума.

Вычислим координаты этих точек.

Точка С получена в результате пересечения прямых (1) и (2), найдем ее координаты решив систему.

С:

Следовательно необходимо выпускать химикаты А в объеме 7,5 ед. и химикат в В в объеме 0,5 ед., при этом прибыль будет максимальна и составит 8,5 ед.

. Выполнить действия, результаты изобразить геометрически

Возведение в степень комплексного числа производится по формуле:

Извлечение корня из комплексного числа производится по формуле:

Разделить комплексное число (делимое) на комплексное число  (делитель) - значит найти такое число(частное, которое при умножении на делитель даст делимое.

На практике удобно домножить и разделить на сопряженное к знаменателю.