Алгебраическая линия на плоскости. Окружность

Алгебраическая линия на плоскости. Окружность

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Курсовая работа на тему:

«Алгебраическая линия на плоскости. Окружность»

Выполнила

студентка 1 курса

физико-математического

факультета, направления

«Педагогическое образование (МИ)»

Волкова Ирина Васильевна

Научный руководитель: ассистент кафедры

высшей математики

Петросян Гарик Гагикович

Воронеж 2014

Содержание

Введение

1.        Алгебраическая линия на плоскости

1.1 Определение алгебраической линии на плоскости

1.2 Теорема про независимость порядка линии от выбора аффиной системы координат

1.3 Общее уравнение прямой

2.        Классификация алгебраической линии

2.1 Алгебраическая линия первого и второго порядка

.2 Окружность

3.        Задачи

Заключение

Список литературы

Введение

Аналитическая геометрия - это раздел математики, в котором изучаются свойства геометрических объектов (точек, линий, поверхностей и тел) средствами алгебры и математического анализа при помощи метода координат.

Сущность данного метода заключается в том, что геометрическим объектам сопоставляются уравнения или их системы, так что геометрические свойства фигур выражаются в свойствах их уравнений. Благодаря этому аналитическая геометрия объединила геометрию с алгеброй и математическим анализом.

Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов. Благодаря универсальности подхода к решению различных задач, метод аналитической геометрии стал основным методом геометрических исследований и широко применяется в других областях точного естествознания - механике, физике.

Метод координат в геометрии состоит в том, что посредством координат точек геометрические объекты задают аналитически с помощью чисел, уравнений, неравенств или их систем и тем самым при доказательстве теорем или решении геометрических задач используют аналитические методы. Это существенно упрощает рассуждения и часто позволяет доказывать теоремы или решать задачи, пользуясь определенным алгоритмом, в то время, как синтетический метод в геометрии в большинстве случаев требует искусственных приемов. Но для того чтобы пользоваться методом координат, необходимо уметь с помощью чисел, уравнений, неравенств или их систем задавать геометрические фигуры.

При изучении геометрии на плоскости методом координат в качестве фигур чаще всего рассматриваются линии. Примерами линий являются прямая, окружность, парабола, синусоида и др.

В данной курсовой работе рассмотрены алгебраическая линия на плоскости и окружность, как составляющие метода координат. Алгебраическая линия по сути это есть прямая, а прямые в геометрии встречаются часто. Благодаря линии можно определить геометрическое место точки.

Цель работы связана с ознакомлением теории об алгебраической линии и окружности, применение теории на практике.

Работа состоит из введения, основной части, заключения и списка литературы. Во введение кратко описается значение выбранной темы. В основной части рассмотрены теория и задачи в применение алгебраической линии на плоскости и окружности в методе координат. В заключении представлен вывод по всей курсовой работе.

. Алгебраическая линия на плоскости

.1 Определение алгебраической линии на плоскости

Алгебраической линией на плоскости называется линия, уравнение которой в некоторой системе координат имеет вид

F(x, y) = 0, (1),

где F(x, y) - многочлен от переменных x, y, т.е. сумма членов вида

(а - действительное число, s, t - целые неотрицательные числа).

Степенью члена , где а ≠ 0, называется число s+t. Степенью многочлена F(x, y) называется наивысшая степень его членов. Степень многочлена F(x, y) называется порядком линии, определяемой уравнением (1). Примером алгебраической линии первого порядка является прямая, заданная уравнением x= a, а примером линии второго порядка - окружность, заданная уравнением .

.2 Теорема про независимость порядка линии от выбора аффиной системы координат

Формулировка теоремы:

Понятие алгебраической линии, а также порядок линии не зависят от выбора аффинной системы координат.

Возьмем на плоскости аффинную систему координат . Пусть в этой системе координат линия у определяется уравнением (1), где F( х, у) - многочлен степени n. Зададим другую аффинную систему координат  Координаты x, y произвольной точки М плоскости в системе . выражаются через ее координаты x', у' в системе :

,(2)

.

Чтобы получить уравнение линии γ в системе , надо в уравнении (1) заменить х, у их выражениями по формулам (2). Получим уравнение

.                                                            (3)

Многочлен F(x, y) есть сумма членов вида . После замены x, y их выражениями (2) вместо члена  получим выражение:

.                       (4)

Таким образом, G (x', у') есть сумма выражений вида (4), и потому G (x', у') - многочлен от переменных x', у'. Итак, понятие алгебраической линии не зависит от выбора аффинной системы координат.

Докажем теперь, что G(x', у') - многочлен степени n. Пусть m- степень этого многочлена. Если в выражении (4) раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим сумму членов вида , где в каждом таком члене . Отсюда следует, что m ≤ n. Будем теперь считать, что  - старая система координат, а  - новая. Тогда по доказанному n ≤ m. Итак, m ≤ n, n ≤ m, m=n.

Замечание: разбиение множества линий плоскости наалгебраические и неалгебраические основано на использовании аффинной системы координат. Для такого разбиения множества линий система полярных координат непригодна. Например на рисунке 1 прямая l в полярной системе координат  имеет уравнение , где а=ОА. Это уравнение не является алгебраическим. Уравнение той же прямой l в системе  является алгебраическим: .[1]

Рисунок 1

.3 Общее уравнение прямой

Уравнение любой прямой в аффинной системе координат является уравнением первой степени, т. е. может быть записано в виде

Ах + Ву + С = 0,                                               (5)

где числа А и В одновременно не равны нулю.

Таким образом, прямая является алгебраической линией первого порядка.

Докажем обратное утверждение.

Теорема 1: линия на плоскости, заданная в аффинной системе координат уравнением первой степени Ах + Ву + С = 0 (5), есть прямая. Вектор (- В, А) является направляющим вектором этой прямой. Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой.

Пусть γ - линия, заданная уравнением (5), а M₀(x₀,y₀) - некоторая ее точка, т.е. точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (5):

Аx₀ + Вy₀ + С = 0.                                             (6)

Такая точка всегда существует, так как А и В одновременно не равны нулю. Определив из равенства (6) С и подставив в уравнение (5), получим уравнение линии γ в виде Ах + Ву - Аx₀ - Вy₀ = 0, или A(x-x₀)-((-B)y-y₀)=0. Это уравнение имеет в точности вид a₂(x-x₀)-a₁(y-y₀)=0 и, следовательно, определяет прямую, проходящую через точку M₀(x₀,y₀) с направляющим вектором  (- В, А). Таким образом, любое уравнение первой степени (5) в аффинной системе координат определяет прямую линию. Другими словами, любая алгебраическая линия первого порядка есть прямая линия. Уравнение (5) называется общим уравнением прямой, а x и y называются текущими координатами точки прямой.[1]

. Классификация алгебраической линии

Для получения линии первого порядка надо приравнять нулю многочлен первой степени. Он может содержать только члены первой степени и свободный член. Поэтому уравнение линии первого порядка в общем виде таково:

Ах+Ву+С=0,                                                      (7)

причем коэффициенты А, В не могут оба равняться нулю.

Здесь могут быть два случая:

) Если В≠0, то, производя деление на В и обозначая

,                                                        (8)

Получим

=kx+b.                                                       (9)

Рисунок 2 - Изображение уравнения прямой линии

Это уравнение прямой линии, изображенной на рисунке 2.

) Если же В=0, то, деля на А и обозначая , получаем уравнение х = а, т.е. прямую, параллельную оси у. Отметим, что для таких прямых угловой коэффициент , что также вытекает из выражения (8), а уравнение записать в форме (9) невозможно. Итак, линии первого порядка - это прямые линии.

Рассмотрим несколько простых задач на прямые линии.

. Через заданную точку (x₁, y₁) провести прямую с данным угловым коэффициентом k. Конечно, в аналитической геометрии «провести прямую» означает «написать уравнение прямой». Искомое уравнение имеет вид (9), но b в нем неизвестно. Однако, раз прямая проходит через данную точку, то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой: y₁=kx₁+b. Производя вычитание, исключаем b и получаем искомое уравнение

.                                           (10)

алгебраический линия окружность координата

Если в этом уравнении менять k, то мы получим пучок всевозможных прямых, проходящих через точку (x₁, y₁). Можно предположить и , т.е. получить вертикальную прямую, однако, для этого надо предварительно обе части разделить на k, тогда после подстановки получится просто , т.е. . Аналогичные предосторожности принимаются и в других задачах, когда параметры принимают бесконечные значения.

. Провести прямую через две данные точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂). Уравнение искомой прямой имеет вид (10), но k неизвестно. Однако из условия прохождения через вторую точку получаем: , откуда, производя деление, исключаем k:

                                             (11)

Отметим,что в этом уравнение,как и в уравнении (10), x и y - переменные координаты текущей (любой) точки искомой прямой.

Уравнение линии второго порядка имеет вид:

²+2Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 ,                               (12)

где коэффициенты А, В, С не могут равняться нулю (2B, а не просто В, пишут только для упрощения получающихся формул).

Здесь возможны три случая: эллиптический (), гиперболический () и параболический ().[2]

.2 Окружность

Докажем, что окружность является алгебраической линией второго порядка. Для этого возьмем на плоскости прямоугольную систему координат  и в этой системе координат составим уравнение окружности ɷ радиуса r c центром в точке C(a, b).

Точка М (x, y) плоскости принадлежит окружности ɷ тогда и только тогда, когда СМ=r или CM²=r². Это равенство в координатах запишется так:

.                                                       (13)

Это и есть уравнение окружности ɷ.

Действительно, если точка M₀(x₀, y₀) лежит на окружности, то , т.е. , поэтому координаты точки M₀ удовлетворяют уравнению (13), а если точка M₁(x₁, y₁) не лежит на окружности, то , т.е.  и, значит, координаты точки M₁ не удовлетворяют уравнению (13). Итак, доказано, что уравнение (13) есть уравнение окружности радиуса r с центром в точке C(a, b).

В частности, если центр окружности совпадает с началом О координат, то a=b=0, поэтому уравнение (13) принимает вид:

.                                                       (14)

Уравнение (13) можно записать в виде

,                                                  (15)

где A=-2a, B=-2b, C=a²+b²-r².

Таким образом, уравнение любой окружности в прямоугольной системе координат имеет вид (15), т.е. окружность является алгебраической линией второго порядка.

Рассмотрим теперь обратную задачу, т.е. выясним, что собой представляет алгебраическая линия второго порядка, заданная уравнением (15). Перепишем это уравнение так:

,

Или

.

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (13), видим, что если , то линия, заданная уравнением (15), является окружностью с центром  и радиусом .

Окружность является примером алгебраической линии второго порядка. Кроме окружности существуют и другие алгебраические линии второго порядка.

Отметим, что существует бесконечное множество неалгебраических линий. Так, линии, определяемые в прямоугольной системе координат  уравнениями , , ,  () и др., являются примерами неалгебраических линий. Действительно, если предположить, что какая-либо из этих линий алгебраическая, то по теореме 1 эта линия в любой аффинной системе координат, в том числе в системе , определяется уравнением вида (1), где F(x, y) - многочлен. Но это невозможно, так как можно доказать, что ни одна из функций sin x, tg x, lg x, a^x не может быть представлена в виде многочлена.[1]

. Задачи

Пример №1. (координаты центра и радиус окружности)

Найти координаты центра окружности 2∙x²+ 2∙y²- 8∙x + 5∙y - 4 = 0.

Решение:

Для того, что бы множитель при x² и y² были равны единице, делим обе части равенства на 2 и перегруппировываем члены выражения

Достроим выражения в фигурных и квадратных скобках до полных квадратов, прибавив к фигурным скобкам 4, а квадратным  (одновременно прибавляя те же величины и справа):

Или

Ответ:

Исходное уравнение определяет окружность с центром в точке (2; - ) и радиусом .

Пример №2

Даны точки А(0;-2), В(-2;1),С(0;0) и D(2;-9). Укажите из них те, которые лежат на прямой 2х-3у+7=0.

Решение

Уравнению прямой удовлетворяю координаты только точки В, т.к.

(-2)-3(1)+7=0, -4-3+7=0,0=0.

Пример №3.

Даны точки А(0;0),В(-2;1),С(3;3),D(2;-1) и окружность Выясните, где расположены эти точки: на окружности, внутри или вне окружности.

Решение

Подставив координаты данных точек в левую часть уравнения данной окружности, найдем квадраты расстояний от данных точек до центра Q(1;-3) окружности:

Точка А:

Точка В:

Точка С:

Точка D:

Следовательно, точки А и D расположены внутри окружности, точка В - на окружности, а точка С - вне окружности.

Заключение

В заключение курсовой работы хотелось бы отменить, что с помощью метода координат можно было бы изложить весь школьный курс геометрии без единого чертежа, используя только числа и алгебраические операции.

Без алгебраической линии на плоскости и окружности метод координат является не полным.

В данной курсовой работе большое внимание уделено тому, что задается уравнение прямой и окружности. Также приведенные в ней вычисления сопровождаются иллюстрациями, с помощью которых можно легко разобраться с рассмотренными формулами и полученными результатами.

Список литературы

1.      Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия в 2-х частях - М.: «Просвещение» 1986.-335 с.

.        Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах.- М.: Высш.шк., 2005.-496 с.

.        Погорелов А.В. Аналитическая геометрия. -М.:Наука, 1968.-178 с.