Элементы квантовой механики

Элементы квантовой механики

Содержание

шрёдингер волновой спектр резонанс

1. Получение уравнения Шрёдингера

. Условия, налагаемые на волновые функции, собственные функции и собственный значения

. Движение частицы в потенциальной яме

.1 Скачек потенциала. Отражение и прохождение волн

.2 Бесконечно высокий потенциальный барьер

.3 Бесконечно глубокая потенциальная яма. Дискретный спектр

.4 Конечная потенциальная яма. Резонансы

Литература

1. Получение уравнения Шрёдингера

Уравнение Шредингера, по существу, представляет собой постулат нерелятивистской квантовой механики.

Подчеркнем, что ни о каком сколько-нибудь строгом выводе этого уравнения не может быть и речи, поскольку, вообще говоря, нельзя построить любую новую теорию, базируясь лишь на старых представлениях. Тем не менее, покажем, каким образом можно прийти к уравнению Шредингера, производя разумное обобщение волнового уравнения, известного, например, в классической электродинамике на случай дебройлевских волн [1]. С этой целью возьмем волновое уравнение в общем виде

 (1)

Здесь функция  описывает волновой процесс, распространяющийся со скоростью u. Если волна является монохроматической, то решение уравнения (1) можно искать

 (2)

где ω=2πν - круговая частота, а пространственная часть волновой функции подчиняется уравнению

 (3)

В последнем уравнении вместо двух параметров ω и u мы можем ввести только один, а именно длину волны

 (4)

Тогда

 (5)

Для того чтобы из этого волнового уравнения, имеющего, вообще говоря, универсальный характер, получить волновое уравнение, позволяющее описывать волновое движение электронов, подставим сюда вместо λ выражение для дебройлевской длины волны

 (6)

Учитывая далее закон сохранения энергии

 [5]

Находим

 (7)

Подставляя это выражение в уравнение (5), получаем стационарное (т.е. не зависящее от времени) уравнение Шрёдингера [1]

 (8)

Полная волновая функция, зависящая как от пространственных, так и от временной координат, может быть найдена с помощью формулы (2). Полагая , имеем:

 (9)

Комплексно сопряженная волновая функция в этом случае равна:

 (9а)

2. Условия, налагаемые на волновые функции, собственные функции и собственный значения

Согласно Борну, волновой функции ψ(t) следует дать статистическую (вероятностную) интерпретацию. В частности, квадрат модуля(t)ψ(t) =  играет роль функции распределения и характеризует плотность вероятности обнаружить частицу в момент времени t в объеме пространства с координатами, лежащими между r и r+dr.

Если плотность вероятности  отлична от нуля только в конечной части пространства, то можно с достоверностью считать, что частица локализована где-то в этой области[3], т.е. вероятность обнаружить там частицу должна равняться единице

 (10)

Выражение (10) называется условием нормировки. Следует заметить, что не всегда область отличной от нуля плотности вероятности будет ограниченной. В некоторых случаях (простейший из них - свободное движение частицы) величина  не обращается в нуль во всем пространстве. В таких случаях интеграл  расходится и условие нормировки требует несколько другой формулировки (см. ниже).

Перейдем теперь к общему анализу уравнения Шредингера. Уравнение Шредингера (8) представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных. Его решение должно напоминать решение некоторых классических задач математической физики, например уравнения колебания струны и т.д.

На волновую функцию ψ, как на решение, удовлетворяющее уравнению второго порядка типа Штурма-Лиувилля, должны: быть наложены следующие условия. Она должна быть непрерывной и иметь непрерывную производную; кроме того, она должна быть однозначной и конечной во всем пространстве, а также удовлетворять определенным граничным условиям.

Эти требования приводят к тому, что решения волновых уравнений, удовлетворяющие перечисленным выше условиям, существуют, вообще говоря, не при любых, а только при некоторых значениях параметра, получивших название собственных значений; в данном случае таким параметром является энергия Е с собственными значениями E1, E2, E3, … .

Соответствующие этим собственным значениям решения волнового уравнения ψ 1, ψ2, ψ3, … называются собственными функциями.

Возможные значения энергии образуют так называемый энергетический спектр. Ниже мы увидим, что если движение частицы не ограничено в пространстве, то ее энергетический спектр будет непрерывным. Если же положение частицы в пространстве ограничено, то энергетический спектр будет дискретным.

Покажем, что собственные функции ψn будут удовлетворять условию ортонормированности

, (11)

где  - символ Кронекера - Вейерштрасса, равный единице при n'=n (условие нормировки) и равный нулю при n'≠n (условие ортогональности) [4]. Чтобы показать это, напишем уравнение Шредингера для  и ,:

, (12)

. (13)

Умножая первое из них на , а второе на (-) и складывая затем первое со вторым, получаем:

. (14)

Отсюда, учитывая, что , где , после интегрирования (14) по всему пространству, находим

. (15)

Принимая во внимание стремление ψ-функции на бесконечности к нулю, получаем: , т.е. вместо (15) имеем:

. (16)

Предположим теперь, что ≠ (т. е. n'≠n) тогда согласно (16) должно выполняться равенство (условие ортогональности)

. (17)

Если же n'=n (или =), то последний интеграл отличен от нуля; мы можем потребовать, чтобы он равнялся единице (условие нормировки)

. (18)

Таким образом, собственные ψ 1, ψ2, ψ3, …, функции соответствующие собственным значениям E1, E2, E3, …, действительно обладают свойством ортонормированности (11), являющимся одним из важнейших свойств собственных функций.

Примечание

Условия ортонормированности (17) и (18) получены в предположении, что каждому собственному значению энергии соответствует только одно собственное значение волновой функции ψn. Этот случай носит название невырожденного.

При наличии же вырождения, когда одному и тому же значению энергии Еn соответствуют несколько волновых функций (например, две) ψ'n и ψ''n, они могут оказаться и неортогональными друг к другу, т.е.

.

Тогда составим из них такие линейные комбинации (в данном случае две), что новые волновые функции будут ортогональными друг к другу.

Например, в случае вещественности величины S такими комбинациями являются следующие

,

Поэтому при наличии вырождения мы можем всегда выбрать волновые функции таким образом, что условие ортонормированности примет вид

3. Движение частицы в потенциальной яме

Простейшим примером прямоугольного потенциала является резкий скачок потенциала (n=2), представленный на рис. 1.

Будем считать для определенности, что U2>U1 .

Возможны два случая:

a) U2 > ε > U1, где ε - энергия; U - потенциал [2]. Общее решение имеет осцилляторный характер в области I (x > 0) и экспоненциальный характер в области II (x < 0). Чтобы это решение могло явиться приемлемой собственной функцией необходимо, чтобы в области II оно было экспоненциально затухающим. Всегда существует одно и только одно решение, удовлетворяющее этому условию. Каждое значение ε в указанном интервале является невырожденным собственным значением: спектр энергии непрерывный невырожденный. Общее решение имеет вид:

 (19)

Условия непрерывности определяют y с точностью до постоянной. Вместо того, чтобы рассматривать непрерывность функции и ее производной, удобнее потребовать непрерывности функции и ее логарифмической производной у'/у. Непрерывность логарифмической производной определяет фазу ; φ определяется с точностью до слагаемого nπ, так как замена φ на φ+π эквивалентна замене знака амплитуды А1. Примем для φ значение

, (19a)

причем arctg выражает значения этой функции в интервале (-π/2,+π/2).

Непрерывность функции определяет отношение А2/А1 именно

. (19б)

б) ε > U2. Общее решение имеет осцилляторный характер во всем пространстве и является поэтому допустимой собственной функцией. Каждому значению ε соответствуют две линейно независимые собственные функции; спектр собственных значений непрерывный двукратно вырожденный.

Образуем собственную функцию, поведение которой в области II имеет вид . Она определяется с точностью до постоянной, которую мы выберем так, чтобы коэффициент при члене  в области I был равен единице. Иначе говоря

 (20)

Постоянные (вообще говоря, комплексные) R и S определяются условиями непрерывности в точке x = 0. Непрерывность логарифмической производной дает

, (20a)

а непрерывность самой функции -

 (20б)

Комплексно сопряженная функция  есть собственная функция, линейно независимая с . Все собственные функции, соответствующие собственному значению ε, могут быть записаны как линейные комбинации  и .

Сравним полученные результаты с теми, которые дает классическая механика. Движение классической частицы в рассматриваемом потенциале различно в случаях а) и б).

В случае а) классическое движение соответствует движению частицы с энергией ε. Частица, приходя из +∞, пробегает положительную полуось с постоянной скоростью  в направлении уменьшения x, затем упруго отражается от точки x = 0 и уходит обратно с той же скоростью в бесконечность. Чтобы описать аналогичное движение в волновой механике, следует построить волновой пакет из волн типа  с близкими энергиями. Вместо функции (19) удобнее использовать волну

 (21)

получаемую, если  разделить на ; мы пишем индекс ε, чтобы указать, что это собственная функция, соответствующая собственному значению ε. Рассмотрим волновой пакет

. (22)

Функция  есть достаточно регулярная действительная функция , обладающая резким максимумом при =. В целях упрощения примем, кроме того, что  обращается в нуль при  > U2 - U1 . Таким образом, функция ψ(x, t) образована суперпозицией собственных функций случая а) с характерным множителем , учитывающим зависимость от времени. По самому построению ψ является решением уравнения Шредингера, зависящего от времени.

В области I решение ψ(x,t) есть суперпозиция двух величин: "падающего волнового пакета"

 , (23а)

центр которого  перемещается со скоростью  в отрицательном направлении и достигает точки х=0 в момент t=0, и "отраженного волнового пакета"

, (23б)

центр которого перемещается со скоростью  в противоположном направлении и покидает начало координат в момент

 (24)

который отличается от момента t=0 прихода "падающего волнового пакета" в точку х=0. Движение центра волнового пакета, таким образом, почти идентично движению классической частицы. Единственное отличие состоит в запаздывании τ, которое обнаруживает центр пакета при отражении от точки разрыва непрерывности потенциала х=0, тогда как отражение классической частицы происходит мгновенно. Заметим по этому поводу, что само рассмотрение движения центра пакета имеет смысл только, если форма пакета не слишком меняется за время движения. Это условие выполняется в случае падающего волнового пакета, пока его центр отстоит от начала координат на расстоянии, большем, чем ширина пакета Δх. Чтобы то же условие выполнялось для отраженного волнового пакета необходимо, кроме того, чтобы ширина Δk максимума функции f была достаточно малой. При этом фаза φ не меняется заметно в области, дающей наибольший вклад в интеграл (22), если . Поскольку пространственные размеры Δх пакета порядка 1/Δk, это условие можно записать в виде

. (25)

Следовательно, . Пакет волн настолько широк, что время, за которое он пересекает весь некоторую точку на оси, значительно больше запаздывания, вызванного отражением.

Помимо запаздывания τ имеется еще одно отличие между движением классической частицы и отражением квантового волнового пакета. Волна Ψ не всегда равна нулю в области II. Исследование, аналогичное вышеприведенному, показывает, что Ψ равна произведению фактора  на величину, принимающую заметные значения в промежуток времени, близкий моменту  этот промежуток можно рассматривать как время столкновения с потенциальной "стенкой" в точке х=0. Таким образом, в этот момент времени существует отличная от нуля вероятность найти частицу в области II, в то время как классическая частица никогда не проникает в эту область.

Рассмотрим теперь случай б). В этом случае имеются два возможных классических движения, соответствующих одному значению энергии. В одном частица пробегает всю ось от +∞ до -∞ , причем ее скорость, постоянная и равная  в области I, меняется скачком от υ1 до  в точке разрыва непрерывности потенциала; в дальнейшем частица движется со скоростью υ1 до -∞.

Другое возможное движение есть в точности противоположное движение частицы, пробегающей ось х в положительном направлении со скоростью υ2 в области II и скоростью υ1 в области I.

Сравним эти классические движения с движениями волновых пакетов, находящихся в тех же начальных условиях. Сделаем это для первого из движений (перемещение в отрицательном направлении).

Действуя соответственно случаю а), образуем волновой пакет, аналогичный формуле (22), как суперпозицию собственных функций, соответствующих собственным значениям, близким ε.

Снабдим собственную функцию  типа (20) индексом ε, чтобы отметить, что она зависит от энергии. Априори пакет должен включать суперпозицию функций  и . Но чтобы осуществить желаемые начальные условия, пакет должен содержать только функции , что будет видно из дальнейшего. Запишем поэтому

Единственное отличие от формулы (22) состоит в том, что максимум  функции f находится в области энергий б), а не в области а). Эволюция волнового пакета во времени исследуется аналогично формуле (22) и дает следующие результаты.

Мы констатируем, что начальные условия удовлетворяются, а именно при t << 0 функция Ψ(x,t) практически равна нулю в области II , а в области I заметный вклад дает только член  , т.е. мы получаем волновой пакет, центр которого х= υ1t перемещается как классическая частица со скоростью υ1 в направлении уменьшения х и достигает начала в момент t = 0. В дальнейшем Ψ(x,t) разделяется на два пакета: "проходящий волновой пакет"

,

центр которого x= υ1t строго следует движению классической частицы, и "отраженный волновой пакет"

,

центр которого x= υ1t движется так, как классическая частица, претерпевшая упругое отражение в точке х=0. Существует, таким образом, очень важное отличие от классического движения: квантовая "частица" имеет отличную от нуля вероятность "отразиться" при прохождении точки разрыва потенциала. Отметим здесь без доказательства, что вероятность найти частицу в отраженной волне равна , а вероятность найти ее в прошедшей волне равна . Эти результаты согласованы, так как сумма этих двух величин равна единице

, (26)

что легко проверить, подставляя в это уравнение выражения (20а) и (20б).

Величина

 (27)

называется коэффициентом прохождения. Эта величина растет с энергией и стремится к 1, когда ε→∞. Можно сказать, что в этом пределе мы получаем результат классической механики.

Можно заметить, что Т есть симметричная функция k1 и k2.

Следовательно, волна той же энергии, но распространяющаяся в противоположном направлении (от области II к области I), имеет одинаковый коэффициент прохождения: он не зависит от направления движения.

Эта задача вполне эквивалентна задаче о распространении светового сигнала в непоглощающей среде с переменным показателем преломления. В случае а) показатель переходит от действительного значения (среда I) к значению мнимому (среда II) в точке х=0: имеет место полное отражение. В случае б) показатель остается действительным, но значения его в средах I и II различны: резкое изменение показателя сопровождается частичным отражением.

.2 Бесконечно высокий потенциальный барьер

Предельным случаем предшествующей задачи является задача о частице, встречающей бесконечно высокий потенциальный барьер. Предположим для определенности, что U(x)=+ ∞, когда х<0. Мы находимся в ситуации, аналогичной случаю а), когда U2→+∞. Из формул (19), (19а), (19б) в этом предельном случае (χ2→∞) следует, что волна обращается в нуль в точке х=0.

Это общий результат, не зависящий от формы функции U(x) в области х>0. Действительно, волновая функция в области х<0 по необходимости принимает форму , ее логарифмическая производная есть χ2. В пределе, когда потенциал V2 стремится к бесконечности, χ2 также становится бесконечным. Значит функция должна иметь бесконечную логарифмическую производную в точке х=0, т. е., иными словами, обратиться в нуль.

Таким образом, в предельном случае бесконечно высокого потенциального барьера волновая функция должна обращаться в нуль на границе этого барьера.

.3 Бесконечно глубокая потенциальная яма. Дискретный спектр

В качестве второго простого примера мы рассмотрим случай бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы. Значение потенциала на дне 'ямы будем считать началом отсчета значений энергии. Эта область нулевого потенциала занимает некоторый участок оси (-L/2, +L/2); с обеих сторон интервал ограничен бесконечно высокими потенциальными барьерами (рис. 2) [2].

Задача о собственных значениях сводится к нахождению функции ψ, обращающейся в нуль в точках +L/2 и -L/2 и удовлетворяющей в интервале (-L/2, +L/2) уравнению Шредингера

Общее решение есть линейная комбинация sinkx и coskx (k=). Решения, одновременно удовлетворяющие двум граничным условиям, существуют только при некоторых дискретных значениях ε, а именно:

 (n=1,2,…,∞) (28)

(решения, для которых kL = nπ). Каждому из этих значений εn соответствует одна и только одна собственная функция (вырождения нет), а именно:

 при n нечетном, (29а)

 при n четном. (29б)

Второе замечание касается четности собственных функций. Функции четные, если n нечетно (уравнение (29а)), и нечетные, если n четно (уравнение (29б)). То обстоятельство, что собственные функции обладают определенной четностью, связано со свойствами потенциала, который является четной функцией относительно начала координат:

(x)=U(-x).

Последнее замечание относится к числу узлов собственных функций. По определению узлы суть точки, в которых функция обращается в нуль (за исключением нулей на концах интервала -L/2 +L/2). Число узлов монотонно растет с ростом собственного значения энергии, оно увеличивается на единицу при переходе от некоторого собственного значения к ближайшему последующему: собственная функция основного состояния ψ1 не имеет узлов, ..., собственная функция n-1-го возбужденного

состояния ψn имеет n- 1 узел и т. д. Полезно подчеркнуть аналогию с числом узлов стационарных состояний закрепленной на концах колеблющейся струны. Сходство здесь полное, так как математически обе задачи тождественны.

3.4 Конечная потенциальная яма. Резонансы

Результаты, полученные нами на примерах скачка потенциала и бесконечно глубокой потенциальной ямы, помогут нам рассмотреть более сложные случаи. В качестве нового примера возьмем потенциал, изображенный на рис. 3.

Здесь функция(x) принимает вид:

причем U2 < U1 < U3. [2]

Задача о собственных значениях представляется различной в зависимости от величины ε по сравнению с постоянными U1, U2 и U3.

а) U2 < ε < U1 . Дискретный спектр и связанные состояния.

Общее решение ведет себя экспоненциально во внешних областях I и III, а во внутренней области характер его поведения осцилляторный. Чтобы быть приемлемым в качестве собственной функции, решение должно экспоненциально затухать в обеих внешних областях. Существует одно и только одно решение, экспоненциально затухающее в области I, а также одно и только одно решение, затухающее в области III; эти два решения согласованно сшиваются только при некоторых определенных дискретных значениях ε.

Мы делаем заключение, что энергетический спектр по необходимости дискретен и не вырожден. Функция ψ, по предположению вещественная, в каждой из трех областей имеет, вид:

 (30)

Если фаза φ известна, то два условия непрерывности функции определяют постоянные А1,А2,А3 (с точностью до постоянного множителя). Что же касается φ, то она должна удовлетворять одновременно двум условиям непрерывности логарифмических производных:

  (31)

иными словами

 (n - целое положительное), (32)

(φ определяёт φ с точностью до слагаемого nπ; мы требуем, чтобы k2b+φ находилось в интервале (-π/2;+ π/2)).

Это возможно в том и только в том случае, когда правые части двух последних уравнений равны.

Указанное равенство может быть реализовано только при некоторых дискретных значениях εn величины ε, а именно при тех значениях, которые удовлетворяют уравнению

 (33)

Введем следующие обозначения:

 ,

и новую переменную

Уравнение может быть записано в виде условия на ξ:

.

Последнее уравнение графически решено на рис. 4. Когда ε растет от U2 до U1, ξ растет от 0 до 1, а правая часть уравнения растет от 0 до π - γ, на рис. 3 следуя кривой С (которая зависит только от параметра γ). В то же время левая часть уравнения уменьшается от nπ до nπ- KL, следуя отрезку прямой Dn. Чтобы С и Dn пересекались, необходимо и достаточно, чтобы целое число n было достаточно малым:

.

Если KL < γ, собственных значений нет; если γ ≤ KL ≤ π+γ , то существует одно собственное значение ε1;если π+γ ≤ KL < 2π+γ, имеется два собственных значения ε1 и ε2 (ε1 < ε2) и т. д. Легко видеть, что собственные значения располагаются в порядке возрастающих n. Они образуют дискретную и конечную последовательность - от основного собственного значения ε1

Рис. 4. Графическое решение задачи о дискретных собственных значениях: .

Собственные значения суть точки пересечения кривой (С), заданной уравнением , и каждой из прямых (Dn):  (принято y=π/3, KL/ π=5). [2] до максимального собственного значения, соответствующего наибольшему целому числу, не превосходящему 1 + (KL- γ)/π.

Квантовое число n имеет вполне определенный математический смысл. Рассмотрение уравнений (22) показывает, что функция sin(k2x+φ) обращается в нуль n- 1 раз, когда x пробегает интервал (a, b). Из (30) следует, что нули этой функции совпадают с нулями ψ. Следовательно, число узлов собственной функции, соответствующей n-ому собственному значению εn, есть n - 1.

В заключение можно провести сравнение с классической ситуацией, как это было сделано в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы. Теперь помимо квантования энергии следует отметить дополнительное отличие; поскольку волновая функция сохраняет отличные от нуля значения в областях I и III, существует отличная от нуля вероятность найти частицу и в этих областях, куда доступ классической частице полностью запрещен.

б) U1 < ε < U3. Спектр непрерывный невырожденный. Отражение волны. Мы находимся в ситуации, аналогичной случаю а) в задаче о скачке потенциала. Каждому значению ε соответствует одно и только одно всюду ограниченное решение, именно то, которое экспоненциально затухает в области III: в интервале (U1,U3) спектр собственных значений непрерывный и невырожденный.

Мы ищем решение в виде

 (34)

Как и в предшествующих задачах, условия непрерывности логарифмической производной определяют фазы φ1 и φ2. Находим

в то же время непрерывность самой функции позволяет определить А и В.

Далее мы будем предполагать, что U3 - ε>>ε - U2 откуда k2<<χ3 и, следовательно, k1<<χ3 . Все происходит так, как если бы область III характеризовалась бесконечно отталкивающим потенциалом, так что В = 0. Интересующими нас величинами являются φ1 и А2.

Условимся, что а = 0, b = -L, и положим

Тогда после элементарного расчета

При возрастании энергии фаза φ1 более или менее регулярным образом растет, в то время как величина А2, измеряющая относительную интенсивность волны в области II, осциллирует между значениями  и 1. Осцилляции тем более значительны, чем больше KL и чем меньше η. Поэтому предположим в дальнейшем, что

, .

В этом случае А2 как функция η2 (т. е. энергии) обнаруживает серию острых максимумов ширины 4η /KL, отстоящих друг от друга на 2π/KL. На рис. 5 показано поведение А2, а также φ1 в условиях нашего приближения.

Мы сталкиваемся с явлением типично волнового характера, с явлением резонанса.

Для некоторых ограниченных областей изменения энергии (ширины 4η/KL) интенсивность волны во внутренней области порядка 1: эти резонансные энергии соответствуют условию  т.е. область II содержит n+1/2 "полуволн".

Вне этих резонансных областей интенсивность очень мала.

Рис. 5. Резонансы отражений. Изменение A2 и φ1 (см. уравнение 34)) в зависимости от энергии. Кривые соответствуют KL = (b - а)= 100. По оси абсцисс отложена переменная

Как и в случае задачи со скачком потенциала, мы можем сравнить движение волнового пакета типа (22) с движением классической частицы в том же потенциале.

Приходя из +∞ с постоянной скоростью , классическая частица испытывает резкое ускорение при x = 0, пробегает область II со скоростью , отражается в точке x = -L, движется в противоположном направлении со скоростью υ2 в области II, затем со скоростью υ1 в области I.

Время, которое классическая частица проводит в области II, равно .

Центр волнового пакета движется аналогичным образом, по крайней мере в области очень больших x, где пакет не слишком сильно деформирован, так что понятие его центра сохраняет смысл.

Все происходит так, как если бы он осуществил то же самое движение за исключением того, что "время, проведенное в области II" равно не , а .

Поведение различных величин, упоминавшихся выше, сведено в следующую таблицу:

Между резонансами А2 остается очень малой величиной, время прохождения области II  мало по сравнению с : волновой пакет практически не проникает в область II, волна почти полностью отражается от точки x = 0.

Эта ситуация аналогична оптической, где резкое и значительное изменение показателя почти всегда вызывает полное отражение. Наоборот, в резонансе А2 = 1, волна полностью проникает в область II и остается там относительно долгий промежуток времени, значительно больший .

Согласно условию (25) полученная картина справедлива только для достаточно пространственно протяженных пакетов, больших чем размеры области II (в резонансе), и, следовательно, передний фронт волнового пакета достигает точки отражения x = -L значительно раньше того, как волна завершит прохождение точки скачка потенциала x = 0.

Этот эффект имеет чисто волновую природу - происходит интерференция между падающей и отраженной волнами в области II.

в) ε > U3. Спектр непрерывный и вырожденный. Отражение и прохождение волн.

Эта ситуация аналогична случаю б) в задаче со скачком потенциала. Всякому значению соответствуют две линейно независимые собственные Функции: в интервале (U3, ∞) спектр собственных значений непрерывен и все собственные значения дважды вырождены.

Как и в задаче со скачком потенциала построим собственную функцию в виде

 (35)

Условия непрерывности в точках а и b позволяют определить R, Q, Р и S. Не входя в детали вычислений, приведем результаты для величин R и S. Используем следующие обозначения: a=0, b= - L, ,

, ,

Получаем

,

.

Эти выражения позволяют сравнить движение волнового пакета, образованного из волн типа (35) с близкими энергиями, с движением классической частицы той же энергии в том же потенциале.

Начальный волновой пакет (образованный в области I из волн ) перемещается в области I с постоянной скоростью и встречается с областью II; после столкновения он разделяется на пакет отраженных волн (образованный волнами  в области I), перемещающийся со скоростью υ1 к +∞, и пакет проходящих волн (образованный волнами  в области II), перемещающийся со скоростью υ3 к - ∞ . Таким образом, в отличие от классической частицы волновой пакет всегда только частично проходит в область III, и можно определить коэффициент прохождения

, (36)

как мы это уже делали в случае скачка потенциала.

Здесь мы тоже замечаем, что при равной энергии коэффициент прохождения не зависит от направления движения (η и ζ входят симметрично в выражение для Т).

Можно проверить и равенство

. (37)

Относительная величина отраженной и проходящей волн изменяется с энергией и можно обнаружить существование явлений резонанса того же типа, что и в случае б).

Они особенно заметны когда KL >> π, ζ<η<<1 (т. е. ξ=1).

В этом случае видно при исследовании уравнения (35), что коэффициент прохождения, рассматриваемый как функция η2 (т.е. как функция энергии), остается очень малым (порядка 4ηζ) почти всюду, но обнаруживает серию резких максимумов, равных 4πζ/(η+ζ)2.

Ширина этих максимумов равна примерно 4(η + ζ)/KL.

Положения максимумов соответствуют энергиям, для которых в области II укладывается целое число n "полуволн", а именно ξKL = nπ (расстояние между максимумами около 2π/KL).

Покажем как качественно получается следующая картина: в резонансе волна остается концентрированной в области II в течение промежутка времени, значительно (в (η + ξ) -1 раз) превосходящего классическое время, прежде чем разделиться на проходящую и отраженную волны; вне резонанса волна практически не проникает в область II, она почти полностью отражается на границе областей I n II причем почти мгновенно.

Литература

1.      А.А. Соколов, И.М. Тернов. Квантовая механика и атомная физика. Издательство "ПРОСВЕЩЕНИЕ" Москва 1970 г.

2.      А. Мессиа. Квантовая механика. Перевод с французского В.Т Хозяинова под редакцией Л.Д. Фадеева. Издательство "НАУКА" главная редакция физико-математической литературы. Москва 1978 г. Том I.

.        Д.И. Блохинцев. Основы квантовой механики. Издание пятое. Издательство "НАУКА" главная редакция физико-математической литературы. Москва 1976 г.

.        А.С. Давыдов. Квантовая механика. Издание второе. Издательство "НАУКА" главная редакция физико-математической литературы. Москва 1973 г.

.        Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Издание пятое, под редакцией Л.П. Питаевского. Москва ФИЗМАТЛИТ 2001 г.