Расчет параметров механизма

Расчет параметров механизма

1. Исходные данные

кинематический ассур линейный

Проведем исследование схемы механизма, представленного на рисунке 1, в, у которого ведущее звено 1 (кривошип ОА) вращается с угловой скоростью ω по часовой стрелке. Выбираем исходные данные.

Размеры звеньев:

lOA=90 мм, lAB=190 мм, lBC=180 мм, lBD=30 мм, xc=135 мм, yc=180 мм.

Момент сил сопротивления М=2,6Н·м.

Массы звеньев m2=3,4 кг, m3=3,4 кг.

Угол положения ведущего звена φ=90°.

Угловая скорость ω1=15 1/с

2. Построение схемы механизма

В теории механизмов и машин действительные размеры принято выражать в метрах, а их масштабное значение - в миллиметрах.

По исходным данным вычерчиваем схему механизма в произвольно выбранном, но удобном для построения масштабе Кℓ, м/мм. Масштабный коэффициент Кℓ показывает, сколько метров действительной длины содержится в одном миллиметре отрезка на чертеже. Действительную длину ведущего звена изобразим на чертеже отрезком OA, мм. Тогда масштабный коэффициент Кℓ, м/мм, будет равен

Кℓ=ℓОА/ОА=0,09 м/45 мм=0,002 м/мм

Размеры в мм остальных звеньев в выбранном масштабе определяется соответственно:

AB=ℓAB/Kℓ=0,19/0,002=95 мм; ВС=ℓВС/Кℓ=0,18/0,002=90 мм;

BD=ℓBD/Кℓ=0,03/0,002=15 мм

Для построения плана механизма в выбранной системе координат ХОУ (кинематическая пара О совпадает с началом координат) находим положение шарнира С. Точка А движется по круговой траектории радиуса ОА относительно точки О и ее положение определяется угром φ. Точка В движется по круговой траектории радиуса СВ относительно точки С. Для нахождения положения точки В раствором циркуля АВ с центром в точке А делаем засечку на траектории движения точки В. Точка Dнаходится на продолжении звена 3, и ее положение характеризуется длиной отрезкаBD. Соединив отмеченные точки линиями, получим схему (план) механизма в заданном положении.

. Структурное исследование механизма

Согласно принципу образования механизмов, сформулированному русским учёным Л.В. Ассуром, любой плоский рычажный механизм может быть составлен последовательным присоединением к основному механизму групп Ассура. Группу Ассура образуют звенья, соединенные между собой низшими кинематическими парами и имеющие нулевую степень подвижности.

Количество ведущих звеньев механизма соответствует степени подвижности механизма, которая может быть вычислена по формуле П.Л. Чебышева

W=3n-2p5-p4,

где n - число подвижных звеньев механизма; p5 - число низших кинематических пар (пар 5-го класса); p4 - число высших кинематических пар.

Исследуемый механизм имеет: число подвижных звеньев n=3 (на схеме механизма все подвижные звенья пронумерованы от 1 до 3, а неподвижное звено (стойка) имеет номер 4); число низших кинематических пар p5=4. Высших кинематических пар в данном механизме нет. Следовательно, степень подвижности его равна:

W = 3 · 3 - 2 · 4 - 0 = 1.

Это означает, что в рассматриваемой кинематической цепи достаточно задать движение только одному звену (в данном случае звену 1, которое является ведущим), чтобы движение всех остальных звеньев было бы вполне определенным.

Произведем разложение механизма на группы Ассура. Правильно выполнить эту операцию очень важно, так как это определяет дальнейшее исследование механизма.

Выделение групп Ассура осуществляется методом попыток и его следует начинать с последней, наиболее удаленной от ведущего звена и наиболее простой группы. Простейшая группа Ассура представляет собой сочетание двух звеньев и трех кинематических пар.

Для данного механизма такой группой является комбинация звеньев 2, 3 и трех вращательных кинематических пар А, В, С. Действительно, оставшаяся часть механизма - ведущее звено ОА, соединенное со стойкой, имеет степень подвижности W = 1. Группа звеньев 2-3 является группой Ассура второго порядка первого вида, у которой все три кинематические пары являются вращательными.

Класс и порядок механизма определяется классом и порядком наиболее сложной группы Ассура, входящей в механизм. На основании проведенного исследования можно заключить, что данный механизм является механизмом первого класса, второго порядка.

4. Кинематическое исследование механизма

Определение линейных скоростей точек звеньев механизма

Точка А кривошипа ОА совершает вращательное движение, поэтому вектор скорости υА, м/с, точки А нарпавлен перпендикулярно звену 1 в сторону вращения и численно равен по модулю

υА= ω1·ℓОА=15·90=1350 мм/с=1,35 м/с,

Для определения скорости υВ точки В составляют векторные уравнения, связывающие искомую скорость точки с известными скоростями точек А, С. Так как точка В принадлежит звену 2, то ее скорость равна векторной сумме абсолютной скорости υА точки А и скорости υВА точки В относительно точки А. В то же время точка В принадлежит звену 3 и ее скорость равна векторной сумме абсолютной скорости υс точки С (υс=0) и скорости υВС точки В относительно точки С. Следовательно

υВ=υА+υВА

υВ=υС+υВС

В этой системе уравнений известны по модулю и направлению векторы скоростей точек А и С (скорость точки А была определена выше, а скорость точки С равна 0). Векторы относительных скоростей неизвестны по величине, но известны по направлению: вектор υВАперпендикулярен к звену АВ, а вектор υВСперпендикулярен к звену ВС. Таким образом, система двух векторных уравнений содержит четыре неизвестных и может быть решена графическим методом с помощью построения плана скоростей.

Для построения выбираем на плоскости произвольную точку Рυ - полюс плана скоростей, которая является началом отсчета, и откладываем на ней отрезок Рυа, перпендикулярный к звену ОА, в направлении движения точки А. Длина этого отрезка изображает на плане скоростей вектор скорости υА точки А и выбирается произвольно. Тогда масштабный коэффициент Кυ, м/с/мм, плана скоростей можно вычислить:

Кυ=υА/Рυа=1,35 м/с:135 мм=0,01 м/с/мм

Масштаб плана скоростей Кυ показывает, сколько метров в секунду действительной скорости содержится в одном миллиметре отрезка на чертеже.

В соответствии с первым уравнением системы на плане скоростей через точку a проводим прямую, перпендикулярную к звену 2 механизма (линия вектора υВА). В соответствии со вторым уравнением через полюс (точка С совпадает с полюсом) проводим на плане прямую, перпендикулярную звену 3 механизма (это линия вектора υВС). Точка b пересечения этих двух прямых, является концом вектора Рυb, изображающего на плане вектор скорости υВи равного ему вектора υВС.

Вектор аb изображает в масштабе относительную скорость υВА.

Для определения действительной величины любого из полученных векторов достаточно умножить соответствующий отрезок на масштаб плана скоростей Кυ. Тогда

υВ=υВС=Рυb·Кυ=56 мм·0,01 м/с/мм=0,56 м/с;

υВА=аb·Кυ=29 мм·0,01 м/с/мм=0,29 м/с.

Чтобы определить скорость точки D, воспользуемся теоремой подобия. Величину отрезка Рυd находим из пропорции

Рυd/ℓСD= Рυb/ℓBC

Рυd=57 мм

Действительная величина скорости точки Dравна:

υD= Рυd·Кυ=57 мм·0,01 м/с/мм=0,57 м/с

Определение угловых скоростей звеньев механизма

Угловые скорости вращения звеньев определяются на основе построенного плана скоростей. Модуль угловой скорости второго звена можно найти по формуле:

ω2=υВА/ℓВА=290 мм/с / 190 мм=1,5 1/с

Для определения направления ω2 необходимо мысленно перенести вектор относительной скорости υВА в точку В механизма. Направление вектора скорости υВА указывает, что точка В относительно точки А вращается по часовой стрелке.

Аналогично поределяется модуль и направление угловой скорости звена 3:

υВ=υВС; ω3=υВС/ℓСВ=560 мм/с / 180 мм=3,1 1/с

Направление угловых скоростей показываем на схеме механизма круговыми стрелками.

Определение ускорений точек звеньев механизма

Определение ускорений точек звеньев механизма выполняется в той же последовательности, что и определение скоростей.

Первой точкой, ускорение которой надо определить, является точка А ведущего звена 1.

При вращательном движении звена ускорение любой точки можно представить в виде векторной суммы двух составляющих: нормальной и тангенциальной. Поэтому, для определения ускорения точки А напишем векторное уравнение

аА=аnАО+аτАО

Так как звено 1 вращается с постоянно угловой скоростью (ω1=const), то

аτАО=ε1·ℓАО=(dω1/dt)·ℓОА=0

Следовательно, в этом частном случае полное ускорение аА точки А определяется только величиной нормального ускорения аnАО, которое по модулю равно:

аnАО=υ2АО/ℓОА=13502/90=20250 мм/с2=20,25 м/с2

и направлено параллельно звену ОА от точки А к точке О (центру вращения). Рассматривая точку В, как принадлежащую одновременно звеньям 2 и 3, ускорение точки В может быть представлено в виде суммы двух векторов:

аВ=аА+аВА

аВ=аС+аВС

Относительные ускорения аВА и аВС представим в виде суммы двух составляющих - нормальной и тангенциальной. Тогда

аВ=аС+аnВC+аτВC

Величины нормальных составляющих относительных ускорений

аnВА=υ2ВА/ℓАВ=0,292/0,19=0,44 м/с2

аnВС=υ2ВС/ℓАВ=0,562/0,18=1,74 м/с2

Вектор нормальной составляющей аnВА направлен вдоль звена АВ от точки В к точке А, а вектор нормальной составляющей аnВС - вдоль звена ВС от точки В к точке С.

Тангенциальные составляющие ускорений аτВА и аτВC по абсолютной величине неизвестны, но известны по направлению: они направлены перпендикулярно к нормальным составляющим.

Таким образом, выражения (1.13, б) представляют систему двух векторных уравнений с четырьмя неизвестными, которая может быть решена графическим методом с помощью построения плана ускорений. Для этого выбираем на плоскости произвольную точку Ра - полюс плана ускорений, которая является началом отсчета, и откладываем от нее отрезок Раа параллельно звену ОА в направлении от точки А к точке О в соответствии со схемой механизма. Длина этого отрезка изображает на плане вектор аА ускорения точки А и выбирается произвольно. Тогда масштабный коэффициент плана ускорений Ка, м/с2/мм, будет

Ка=аА/Раа=20,25 м/с2/ 60 мм=0,33 м/с2/мм

В соответствии с первым уравнением системы (1.13, б) через точку а плана ускорений проводим прямую, параллельную звену АВ в направлении от точки В к точке А, и на ней откладывает отрезок аn2, мм,

аn2=аnВА/Ка=0,44 м/с2 / 0,33 м/с2/мм=1,33 мм

величина которого в масштабе соответствует величине вектора нормальной составляющей ускорения аnВА.

Через точне n2перпендикулярно к звену АВ (или тоже самое, что перпендикулярно аn2) проводим линию вектора тангенциальной составляющей аτВА.

В соответствии со вторым уравнением системы (1.13, б) из полюса Ра (точка С совпадает с полюсом) проводим прямую, параллельную звену ВС, в направлении от точки В к точке С и откладываем отрезок

Раn3=аnВС/Ка=1,74 м/с2 / 0,33 м/с2/мм=5,3 мм

Через точку n3 перпендикулярно звену ВС проводим линию вектора тангенциальной составляющей ускорения аτВC.

Пересечение двух прямых на плане ускорений, изображающих линии действия тангенциальных составляющих ускорений, дает точку b. Соединяя точку b с полюсом плана ускорений, получим отрезок Раb, соответствующий на плане ускорений вектору ускорения точки В механизма. Величину этого ускорения находим с помощью масштаба:

аВ=Раb·Ка=48 мм·0,33 м/с2/мм=15,84 м/с2

Вектор аb, проведенный из точкиа в точку b, на плане ускорений соответствует масштабному выражению вектора полного относительного ускорения аВА, абсолютная величина которого равна:

аВА=аb·Ка=27 мм·0,33 м/с2/мм=8,91 м/с2

Значения тангенциальных составляющих относительных ускорений вычисляем по формулам аτВА=n2b·Ка=21 мм·0,33 м/с2/мм=6,93 м/с2

аτВС=n3b·Ка=38 мм·0,33 м/с2/мм=12,54 м/с2

Для определения ускорения точки D воспользуемся теоремой подобия. Величина отрезка Раd может быть найдена из соотношения

Раd/ℓСD=Раb/ℓВС, т.е. Раd=Раb·(ℓСD/ℓВС)=22,2 мм

Численная величина ускорения точки D механизма равна:

аD=Раd·Ка=15,84 м/с2

Ускорения аSiцентров масс звеньев определяются аналогично с помощью подобия.

аS3=РаS3·Ка=24 мм·0,33 м/с2/мм=7,92 м/с2

аS2=РаS2·Ка=52 мм·0,33 м/с2/мм=17,16 м/с2

Определение угловых ускорений звеньев механизма.

Угловое ускорение ε2, с-2, звена 2

ε2=аτВА/ℓАВ=6,93 м/с2 /190 мм=6930 мм/с2 / 190 мм=36,5 1/с2

Для определения направления углового ускорения ε2 необходимо вектор тангенциальной составляющей ускорения аτВА мысленно перенести в точку В механизма. Направление этого вектора указывает направление углового ускорения звена 2 против часовой стрелки.

Угловое ускорение звена 3 определяется аналогично

ε3=аτВС/ℓВС=12,54 м/с2 /180 мм=12540 мм/с2 / 180 мм=69,6 1/с2

Оно направлено против часовой стрелки (в этом также легко убедиться, если вектор аτВС перенести в точку В механизма). Направление угловых ускорений для этих звеньев механизма указывается на схеме механизма круговыми стрелками.

. Кинетостатический расчет механизма

Задачи кинетостатики механизмов

Силовой расчет механизма заключается в определении сил, действующих в кинематических парах, т.е. реакций. Значение этих сил необходимо для расчета звеньев и кинематических пар на прочность, определения мощности двигателя, ограничение износа трущихся поверхностей и т.д.

При решении задачи силового расчета закон движения ведущего звена механизма предполагается известным. Должны быть заданы также массы, моменты инерции звеньев механизма и внешние нагрузки на механизм (например, силы производственных сопротивлений). Сила считается заданной, если известна ее величина, направление и точка приложения.

Если при расчете в число заданных сил не входят силы инерции звеньев, то расчет называется статическим. Если в расчете в число заданных сил входят силы инерции звеньев, то такой расчет называют кинетостатическим. Для обоих случаев метод расчета один и тот же. Кроме того, в первом приближении силовой расчет ведется без учета сил трения. Это существенно упрощает задачу, т.к. в этом случае реакция в кинематической паре будет направлена по нормали к контактирующим поверхностям. Условимся силу, действующую на звено с номером n со стороны звенас номером k, обозначать Rkn. Так R12 есть реакция со стороны отсоединенного звена 1 на звено 2. Знак момента силы относительно выбранной точки при записи уравнений равновесия будем считать положительным, если момент направлен против хода стрелки часов.

Определение сил инерции.

В общем случае силы инерции звена i, совершающего плоскопараллельное движение, могут быть сведены к силе инерции Fиi, приложенной в центре масс Si звена и к паре сил инерции, момент которой равен Миi.

Сила Fиi может быть определена из уравнения

иi=-mi·aSi

где Fиi - вектор силы инерции звена i, Н; mi - масса звена, кг; aSi - вектор ускорения центра масс, м/с2. Таким образом, сила инерции звена Fиi направлена противоположно вектору ускорения aSi точки Siи равна по величине Fиi=mi·aSi.

и2=m2·aS2=17,16 м/с2·3,4 кг=58,3Ни3=m3aS3=7,92 м/с23,4 кг=26,9Н

Момент Миi, Н·м, пары сил инерции может быть определен по формуле

Миi=JSi·εi

где JSi - момент инерции звена относительно оси, проходящей через его центр масс, кг·м2; εi - угловое ускорение звена, с-2.

Момент инерции звена можно найти по формуле

JSi=0,29mi·ℓ2i

JS2=0,29m2·ℓ2АВ=0,29·3,4 кг·0,192м2=0,035 кг·м2

JS3=0,29m3ℓ2BD=0,293,4 кг0,032м2=0,0008 кгм2

Найдем моменты для звеньев 2 и 3

Ми2=JS2·ε2=36,5 1/с2· 0,035 кг·м2=1,3Н·м

Ми3=JS3·ε3=69,6 1/с2 · 0,0008 кг·м2=0,06Н·м

Момент направлен противоположно угловому ускорению звена.

Кинетостатика двухповодковой группы 1 вида

Выделяем группу Ассура из механизма и прикладываем к звеньям этой группы заданные силы и моменты. Действие отброшенных звеньев заменяем реакциями R12и R03, которые нужно определить. Направляем реакции пока произвольно и раскладываем каждую из них на 2 составляющие: нормальную Rn, направленную вдоль звена, и касательную Rτ, направленную перпендикулярно к звену.

Для нахождения составляющей реакции Rτ12 рассмотрим равновесие звена 2. Составим уравнение равновесия в форме суммы моментов сил относительно точки В:

∑М(2)В=0; Rτ12·ℓАВ+G2h1+Fи2h2-Ми2=0

G2=m2·g=3,4 кг·9,8 м/с2=33,32Н

Значение плеч hi сил относительно рассматримаемой точки определяется измерением их на плане структурной группы и подставляется в уравнение равновесия с учетом масштабного изображения

hi=hi·Kℓ

h1=h1·Kℓ= мм·0,002 м/мм= м

h2=h2·Kℓ= мм·0,002 м/мм= м

Значение тангенциальной составляющей Rτ12

τ12=(Ми2-G2h1-Fи2h2)/ℓАВ=(1,3-33,32· -58,3·)/0,19= Н

Величина силы в результате вычисления оказалась отрицательной, следовательно, ее направление на чертеже должно быть изменено на противоположное.

Аналогично, для нахождения Rτ03рассматривается равновесие звена 3:

h3=h3·Kℓ= мм·0,002 м/мм= м

h4=h4·Kℓ= мм·0,002 м/мм= м

Значение тангенциальной составляющей Rτ03

τ03=(Ми3+М-G3h4+Fи3h3)/ℓСВ=(0,06+2,6-33,32· +26,9·)/0,18= Н

Затем в произвольно выбранном масштабе сил КF, Н/мм, строим план сил, для чего запишем уравнение равновесия группы Ассура

Rτ12+Fи2+G2+Fи3+G3+ Rτ03+Rn12+Rn03=0

КF=G2/G2= Н/ мм= Н/мм

Векторы сил откладываем в соответствии с уравнением равновесия группы Ассура. Пересечение направлений векторовRn12 и Rn03 образуют замкнутый многоугольник.

Значение отрезков векторов сил, мм, находим делением известных сил на масштаб сил КF.

Rτ12=Rτ12/КF= Н / Н/мм= мм

Fи2=Fи2/КF= Н / Н/мм= мм

Fи3=Fи3/КF= Н / Н/мм= мм

G3=G3/КF= Н / Н/мм= ммτ03=Rτ03/КF= Н / Н/мм= мм

Векторы полных реакций в шарнире А

R12=Rτ12+Rn12= мм

R12=R12·КF= мм· Н/мм= Н

Определение момента М, приложенного к ведущему звену и уравновешивающего действие всех остальных внешних сил и моментов, производится из условия равновесия звена 1

R21hKℓ-M=0

М=R21hKℓ= Н· мм·0,002 м/мм= Н·м

Величина реакции R21равна по модулю и направлена противоположно реакции R12.

Определение мощности рабочей машины.

Если указано значение вращающего момента М, Н·м, и угловой скорости ωр.м., рад/с, тягового органа машины, то

Рр.м.=М·ωр.м.= (Н·м)·15 1/с= Вт

Находим количество оборотов в минуту:

n=30·ω/π=30·15/3,14=143,31 об/мин