Понятие факторного и результативного признака
1.Исходные данные
арифметический
вариационный факторный признак
Таблица 1
|
№
|
Результативный
признак
|
Факторные
признаки
|
|
№
3 (товарная продукция лесозаготовок, тыс. руб)
|
№
5 (вывозка древесины, лесоматер. Кругл, тыс. м)
|
№
24 (выработка товарной продукции на 1 работающего, руб)
|
№
26 (удельные трудозатраты на лесозаготовках, чел.-дней/ 1000 м)
|
|
у
|
х1
|
х2
|
х3
|
|
1
|
7600
|
330
|
8600
|
540
|
|
2
|
5400
|
310
|
7400
|
460
|
|
3
|
5800
|
370
|
7500
|
480
|
|
4
|
4200
|
270
|
7100
|
440
|
|
5
|
7200
|
400
|
8500
|
520
|
|
6
|
8600
|
170
|
8800
|
580
|
|
7
|
9600
|
280
|
9500
|
640
|
|
8
|
5600
|
170
|
7400
|
480
|
|
9
|
11700
|
530
|
10300
|
640
|
|
10
|
6400
|
230
|
8400
|
520
|
|
11
|
6200
|
370
|
7700
|
510
|
|
12
|
280
|
5300
|
350
|
|
13
|
4000
|
320
|
7000
|
390
|
|
14
|
9100
|
130
|
9000
|
590
|
|
15
|
7400
|
220
|
8500
|
530
|
х1, х2, х3 -
независимая переменная (факторный признак)
у - зависимая переменная (результативный
признак)
2.Проверка однородности исследуемой совокупности
В таблице 2 проранжируем исходные данные по
результативному признаку (у).
Таблица 2. Ранжированные исходные данные
|
№
|
Результативный
признак
|
Факторные
признаки
|
|
№
3
|
№
5
|
№
24
|
№
26
|
|
у
|
х1
|
х2
|
х3
|
|
12
|
3200
|
280
|
5300
|
350
|
|
13
|
4000
|
320
|
7000
|
390
|
|
4
|
4200
|
270
|
7100
|
440
|
|
2
|
5400
|
310
|
7400
|
460
|
|
8
|
5600
|
170
|
7400
|
480
|
|
3
|
5800
|
370
|
7500
|
480
|
|
11
|
6200
|
370
|
7700
|
510
|
|
10
|
230
|
8400
|
520
|
|
5
|
7200
|
400
|
8500
|
520
|
|
15
|
7400
|
220
|
8500
|
530
|
|
1
|
7600
|
330
|
8600
|
540
|
|
6
|
8600
|
170
|
8800
|
580
|
|
14
|
9100
|
130
|
9000
|
590
|
|
7
|
9600
|
280
|
9500
|
640
|
|
9
|
11700
|
530
|
10300
|
640
|
у = 11700 - испытуемый элемент совокупности.
Таблица 3. Расчет параметров для проверки
однородности исследуемой совокупности
|
№
|
уi
|
|
|
12
|
3200
|
10562500,00
|
|
13
|
4000
|
6002500,00
|
|
4
|
4200
|
5062500,00
|
|
2
|
5400
|
1102500,00
|
|
8
|
5600
|
722500,00
|
|
3
|
5800
|
422500,00
|
|
11
|
6200
|
62500,00
|
|
10
|
6400
|
2500,00
|
|
5
|
7200
|
562500,00
|
7400
|
902500,00
|
|
1
|
7600
|
1322500,00
|
|
6
|
8600
|
4622500,00
|
|
14
|
9100
|
7022500,00
|
|
7
|
9600
|
9922500,00
|
|
Сумма
|
90300
|
48295000,00
|
Определим среднюю арифметическую вариационного
дискретного ряда без испытуемого элемента по формуле:
= 
= 
= 6450
Определим дисперсию без учета
испытуемого элемента по формуле:
s2 = 
= 
= 3449642,86.
Среднеквадратическое отклонение
составит:
s
= 
= 
= 1857,32
Рассчитаем допустимый предел:
D
= 4*s = 4*1857,32
= 7429,28
Тогда допустимые границы вариации
признака составят:
= [6450 - 7429,28; 6450 + 7429,28]
= [-979,28; 13879,28].
Испытуемый элемент у = 11700 входит
в расчетные пределы [-979,28; 13879,28]. Соответственно, исследуемая
совокупность является однородной и данный элемент не исключается из дальнейшего
анализа.
3.Расчет показателей вариации
Для анализа вариации построим таблицу 4. Данная
таблица заполняется на основе таблицы, приведенной в Приложении, и следующих
формул:
= 
;
s2 = 
;
s
= ;
Таблица 4. Анализ вариации
|
Показатели
вариации
|
y
|
x1
|
x2
|
x3
|
|
;  6800292,008066,67511,33
|
|
|
|
|
|
 ;  4934666,679922,671352888,696384,89
|
|
|
|
|
|
sу; sxi
|
2221,41
|
99,61
|
1163,14
|
79,91
|
|
Vy; Vxi
|
32,67
|
34,11
|
14,42
|
15,63
|
Проверка фактического распределения
результативного признака на близость к нормальному Проверка проводится по
способу Вестергарда, согласно которому фактическое распределение данных можно
считать близким к нормальному, если оно удовлетворяет следующим условиям
(таблица 5).
Таблица 5
|
Если
в интервале
|
Содержится
|
|
 25%
|
|
|
 50%
|
|
|
 75%
|
|
|
 100%
|
|
Результаты проверки оформим в таблице 6.
Таблица 6. Проверка на близость к нормальному
распределению фактического распределения результативного признака
|
Интервалы
(числовые данные)
|
Частота
признака при распределении
|
|
Нормальном
|
Фактическом
|
|
абсолютном
|
относительном,
%
|
абсолютном
|
относительном,
%
|
|
(6134;
7466)
|
25
|
4
|
25
|
|
(5245;
8355)
|
8
|
50
|
8
|
50
|
|
(4357;
9244)
|
11
|
75
|
10
|
75
|
|
(136;
13464)
|
15
|
100
|
15
|
100
|
Фактическое распределение результативного
признака достаточно близко к нормальному распределению.
4.Отбор факторных признаков
Основание и отбор факторных признаков можно
произвести на основе симметричной матрицы линейных коэффициентов парной
корреляции.
Коэффициент парной линейной корреляции можно
рассчитать по следующей формуле:
ryxi = 
.
Результаты представим в таблице 7.
Таблица 7. Симметричная матрица линейных
коэффициентов парной корреляции
|
у
|
х1
|
х2
|
х3
|
|
у
|
1
|
0,185
|
0,958
|
0,968
|
|
х1
|
0,185
|
1
|
0,178
|
0,072
|
|
х2
|
0,958
|
0,178
|
1
|
0,964
|
|
х3
|
0,968
|
0,072
|
0,964
|
1
|
ryx1 = 
= 0,185 -
связь слабая, прямая.
ryx2 = 
= 0,958 -
связь сильная, прямая.
ryx3 = 
= 0,968 -
связь сильная, прямая.
rx1х2 = 
= 0,178 -
связь очень слабая, прямая.
rx1х3 = 
= 0,072 -
связь слабая, прямая.
rх2х3 = 
= 0,964 -
связи сильная, прямая.
Наиболее тесно связанным результативным признаком
является факторный признак х3, поскольку ryx3
= 0,968 - max.
5.Расчет квадратичной ошибки
коэффициента корреляции
Если совокупность относится к однородной и
нормально-распределенной, то ошибку коэффициента корреляции можно вычислить по
формуле:
hyxi = 
.
Результаты расчетов запишем в
таблице 8.
Таблица 8. Расчет квадратической ошибки
коэффициента корреляции
|
ух1х2х3
|
|
|
|
|
|
у
|
-
|
0,176
|
0,022
|
0,017
|
|
х1
|
0,176
|
-
|
0,266
|
|
х2
|
0,022
|
0,008
|
-
|
0,019
|
|
х3
|
0,017
|
0,266
|
0,019
|
-
|
hyx1 = 
=(1-0,34225)/3,741657=0,176.
hyx2 = 
= 0,022.
hyx3 = 
= 0,017.
hx1х2 = 
=
(1-0,031684)/3,741657=0,008.
hx1х3 = 
=
(1-0,005184)/3,741657=0,266.
hx2х3 = 
= 0,019.
6.Нахождение и
статистическая оценка уравнения регрессии
Сделаем предположение о линейной зависимости
изучаемых признаков и запишем уравнение линейной регрессионной зависимости:
y = b0
+ b1∙x3.
Для определения параметров b0
и b1
в этом регрессионном уравнении решим следующую систему нормальных уравнений:
.
b0 = 
= 
=-6958,59;
b1 = 
= 
=26,907.
Таблица 9. Расчет теоретических значений
результативного признака
|
Факторный
признак
|
Результативный
признак
|
|
Х3
|
у
|
|
|
350
|
3200
|
2458,86
|
|
390
|
4000
|
3535,14
|
|
440
|
4200
|
4880,49
|
|
460
|
5400
|
5418,63
|
|
480
|
5600
|
5956,77
|
|
480
|
5800
|
5956,77
|
|
510
|
6200
|
6763,98
|
|
520
|
6400
|
7033,05
|
|
520
|
7200
|
7033,05
|
|
530
|
7400
|
7302,12
|
|
540
|
7600
|
7571,19
|
|
580
|
8600
|
8647,47
|
|
590
|
9100
|
8916,54
|
9600
|
10261,89
|
|
640
|
11700
|
10261,89
|
Построим график эмпирической и теоретической
линий регрессии.
Рис.
Коэффициент b1
= 26,907 показывает, что при увеличении фактора х3 на 1 ед.
результативный признак у увеличивается на 6958,59 ед.
7.Определение линейной зависимости между тремя
признаками
Из таблицы 7 выберем еще один факторный признак,
связанный с результативным и имеющим наибольшее значение ryxi.
Это будем факторный признак х1.
Составим уравнение множественной корреляции:
yx1x2
= b0
+ b1*x1
+ b3*x3
и система нормальных уравнений примет вид:
b0 = 
= -
7596,767565;
b1 = 
= -
2,591077;
b3 = 
=
26,675696.
Уравнение множественной регрессии,
выражающее зависимость результирующего признака от факторных признаков х1
и х3, примет вид:
у = - 7597 - 2,591*х1 +
26,676*х3.
С увеличением факторного признака х1
на 1 ед., значение результирующего признака уменьшится на 2,591 ед. при
неизменном значении факторного признака х3.
Увеличение же факторного признака х3
может привести к увеличению результирующего признака на 26,676 ед. при
неизменном значении факторного признака х1.
Рассчитаем коэффициент множественной
корреляции:
Ryx1x3 = 
= 
= 0,97.
Коэффициент множественной детерминации R2yx1x3
= 0,9409 показывает, что вариация значения результирующего признака на 94,09%
обусловливается двумя анализируемыми факторами. Рассчитаем ошибку коэффициента
множественной корреляции:
SR = 
= 
= 0,013.
Рассчитаем совокупный коэффициент
детерминации.
R2 = 
,
где 
- дисперсия факторных признаков.
= 
- 
=
= 
- 68002 = -5459800.
R2 = 
= 1,1.
Проверка: коэффициент множественной
корреляции, возведенный в квадрат, должен равняться коэффициенту детерминации:
(Ryx1x3)2
= R2
,972 = 1
Выводы
На основании расчетов первого раздела выяснили,
что испытуемый элемент у = 11700 входит в расчетные пределы [-979,28;
13879,28].
Исследуемая совокупность является однородной и
данный элемент не исключался из дальнейшего анализа.
По расчетам второго разделал определили, что
совокупность является близкой к нормальному распределению.
В третьем разделе провели расчеты линейного
коэффициента корреляции и его ошибки. Выявили факторы, которые будут
использованы для дальнейших расчетов: х1 и х3.
В четвертом разделе определили взаимосвязь между
результативным признаком и факторным признаком х3. Данная
зависимость описывается уравнением у = 26,907*х3. -6958,59.
Коэффициент b1
= 26,907 показывает, что при увеличении фактора х1 на 1 ед.
результативный признак у увеличивается на 6958,59 ед.
В последнем разделе определили взаимосвязь между
результативным признаком и факторными признаками х1 и х3.
Уравнение множественной регрессии, выражающее
зависимость результирующего признака от факторных признаков х1 и х3,
примет вид:
у = - 7597 - 2,591*х1 + 26,676*х3.
С увеличением факторного признака х1
на 1 ед., значение результирующего признака уменьшается на 2,591 ед. при
неизменном значении факторного признака х3.
Увеличение же факторного признака х3
может привести к увеличению результирующего признака на 26,679 ед. при
неизменном значении факторного признака х1.
Вариация значения объема реализованной продукции
на 94,09% обусловливается двумя анализируемыми факторами.
Список литературы
.Практикум
по эконометрике. /Под ред. Елисеевой И.И. м.: Финансы и статистика, 2008.
.Эконометрика.
Учебник. /Под ред. Елисеевой И.И. М.: Финансы и статистика, 2009.
.Финансы
и статистика, 2006. - 576 с.
.Эконометрика:
Учебно-методическое пособие / Шалабанов А.К., Роганов Д.А. - Казань: ТИСБИ,
2002. - 56 с.
.Доугерти
К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. - М.:ИНФРА-М, 1999. - 402 с.
.Кремер
Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов /под ред. проф. Н.Ш. Кремера.
- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 311 с.
.Магнус
Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика.Начальный курс: Учебник. - М.:
Дело, 2001. - 400 с.
.Катышев
П.К., Магнус Я.Р., Пересецкий А.А. Сборник задач к начальному курсу
эконометрики. - М.: Дело, 2002. - 208 с.
.Прикладная
статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2-х т. - Т. 1. Айвазян
С.А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и прикладная статистика. - М:
ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 656 с.
.Прикладная
статистика. Основы эконометрики: Учебник для вузов: В 2-х т. - Т. 2. Айвазян
С.А. Основы эконометрики. - М: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 432 с.
.Эконометрика:
Учебник / Тихомиров Н.П., Дорохина Е.Ю. - М.: Издательство «Экзамен», 2003. -
512 с.
.Сборник
задач по эконометрике: Учебное пособие для студентов экономических вузов /
Сост. Е.Ю. Дорохина, Л.Ф. Преснякова, Н.П. Тихомиров. - М.: Издательство
«Экзамен», 2003. - 224 с.
.Эконометрика:
Учебн. пособие для вузов / А.И. Орлов - М.: Издательство «Экзамен», 2002. - 576
с.
.Мардас
А.Н. Эконометрика. - СПб: Питер, 2001. - 144 с.
.Гмурман
В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебн. пособие для вузов.
- М.: Высш. шк., 2002. - 479 с.