Расчет спектральных и энергетических характеристик сигнала

Расчет спектральных и энергетических характеристик сигнала

Реферат

Сигнал, спектр, энергия, частота, дискретизация, модуляция, корреляция, белый шум.

В данном курсовом проекте необходимо рассчитать спектральные и энергетические характеристики сигналов; вычислить практическую ширину спектров сигналов; произвести оцифровку сигнала, занимающего наименьшую полосу частот и определить технические требования к аналого-цифровому преобразователю (АЦП); вычислить параметры случайного цифрового сигнала; определить информационные параметры цифрового сигнала; рассчитать пропускную способность канала и требуемую для этого мощность сигнала на входе приемника; вычислить спектр сигнала на входе модулятора, спектр модулированного сигнала и его энергию при заданном виде модуляции; рассчитать вероятность ошибки приема сигнала при оптимальной схеме приемника.

Содержание

Введение

. Канал связи

. Характеристики немодулированных сигналов

.1 Спектральные характеристики сигналов

.2 Энергетические характеристики и полоса частот сигналов

. Принципы формирования цифрового сигнала

.1 Расчет параметров АЦП

.2 Цифровой сигнал и его характеристики

. Характеристики модулированных сигналов

.1 Общие сведения о модуляции

.2 Спектральные характеристики модулированных сигналов

. Согласование источника информации с каналом связи

.1 Источник информации

.2 Согласование источника с каналом

. Расчет вероятности ошибки приемника в канале с аддитивным «белым шумом»

.1 Понятие об оптимальном приемнике

.2 Определение вероятности ошибки

Заключение

Библиографический список

Введение

В последнее десятилетие XX века произошла научно-техническая революция в области транспортной связи, в основе которой лежат два крупных достижения фундаментальной науки середины нашего столетия: общая теория связи и микроэлектронная элементная база. Основу теории связи составляют теоремы о потенциальных возможностях передачи информации по каналам связи и принципы ее реализации.

По прогнозам международных экспертов XXI век должен стать веком глобального информационного обеспечения. Его основой будет информационная инфраструктура, а составляющими - мощные транспортные сети связи и распределенные сети доступа, предоставляющие услуги (информацию) пользователям. Основные тенденции развития связи - цифровизация, интеграция сетей, коммуникационного и оконечного оборудования, что позволяет значительно повысить эффективность связевого ресурса.

Передача информации на железнодорожном транспорте ведется в специфических условиях воздействия сильных и разнообразных помех. Поэтому системы связи должны обладать высокой помехоустойчивостью, что имеет большое значение для безопасности движения. К системам связи предъявляются также требования высокой эффективности при относительной простоте технической реализации и эксплуатации. Это значит, что надо передавать наибольшее или заданное количество информации (сообщений) наиболее экономичным образом (по затратам энергии и полосе частот) в заданное время. Последнее достигается благодаря использованию наиболее современных способов передачи (кодирования и модуляции) и приема (декодирования и демодуляции).

Все математические вычисления и построение графиков выполнены с использованием системы Mathcad.

1. Канал связи

На рисунке 1.1 изображена структурная схема простейшей системы связи.

Рисунок 1.1 - Структурная схема системы связи

Рассмотрим назначение отдельных элементов этой схемы. Источник сообщения и получатель сообщения в одних системах связи - это люди, в других - различные технические устройства. Передающее устройство (включает в себя элементы, объединенные на рисунке штриховой линией) преобразует сообщение в сигнал. Приемное устройство (включает в себя элементы, объединенные на рисунке штрихпунктирной линией) преобразует принятый сигнал в сообщение. Преобразователь в передающем устройстве (на рисунке ) преобразует сообщение, которое может иметь различную физическую природу (звуковое колебание, изображение), в первичный электрический сигнал. В передатчике (дискретизаторы, кодеры, модулятор) этот низкочастотный сигнал превращается во вторичный (модулированный) высокочастотный сигнал. В результате этого преобразования (модуляции) сигнал приводится к виду, пригодному для передачи по используемой линии связи. Преобразование сообщения в сигнал должно быть обратимым, иначе часть информации будет потеряна даже при отсутствии помех [2].

Линия связи - это среда, используемая для передачи сигнала от передатчика к приемнику. В системах электрической связи - это двухпроводная цепь, симметричный электрический, коаксиальный или волоконно-оптический кабель; в системах радиосвязи - доминантная область, т.е. область пространства, в которой распространяются электромагнитные волны от передатчика к приемнику. При передаче сигнала по линии связи он может искажаться из-за воздействия помех . В результате на выходе линии связи сигнал описывается функцией, включающей значение . Приемник на основе анализа этой функции должен определить, какое из возможных сообщений передавалось [3].

Канал связи - совокупность технических средств, обеспечивающих передачу сигнала от некоторой точки А системы до точки В. Эти точки могут быть выбраны произвольно, лишь бы между ними проходил сигнал. Часть системы связи, расположенная до точки А, является источником сигнала для этого данного канала. Если сигналы, поступающие на вход канала и снимаемые с его выхода, являются дискретными по состояниям, то канал называется дискретным. Если же эти сигналы являются непрерывными, то канал называется непрерывным. Канал может быть дискретным или непрерывным независимо от характера сообщения. В одной и той же системе связи можно выделить как дискретный, так и непрерывный каналы в зависимости от выбора места расположения точек А и В.

Непрерывные сообщения можно передавать дискретными сигналами. Операция преобразования непрерывного сообщения в дискретное называется дискретизацией. Дискретизация осуществляется не только по времени, но и по уровням. Дискретизация значений функции (уровня) носит название - квантования.

2. Характеристики немодулированных сигналов

.1 Спектральные характеристики сигналов

Спектр сигнала является важнейшей характеристикой сигнала.

Спектральная плотность - это характеристика сигнала в частотной области, определяемая прямым преобразованием Фурье:

, (2.1)

где  - временная функция сигнала;

 - круговая частота, .

Спектральная плотность  - комплексная величина, она может быть представлена двумя формами:

алгебраическая -

, (2.2)

где ; ; (2.3)

показательная -

; . (2.4)

Самое важное достоинство введенного интегрального преобразования Фурье заключается в том, что решение любой практической задачи может быть перенесено с помощью спектральной плотности из временной области в частотную, и лишь на заключительном этапе расчетов результат вновь переводится во временную область с помощью обратного интегрального преобразования [1]:

. (2.5)

Аналитическая запись сигнала № 5 во временной области имеет вид:

где  В и  мс.

Значения функции  для сигнала № 5 представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1 - Значения функции  для сигнала № 5

График временной характеристики сигнала № 5 представлен на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 - Временная характеристика сигнала № 5

Аналитическая запись спектральной характеристики сигнала № 5 имеет вид:

.

С помощью Mathcad найдем и построим графики спектральной характеристики сигнала.

Значения функции  сигнала № 5 приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2 - Значения функции  для сигнала № 5

График спектра сигнала № 5 представлен на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 - Спектр сигнала № 5

Значения функции  сигнала № 5 приведены в таблице 2.3.

Таблица 2.3 - Значения функции  для сигнала № 5

График фазы сигнала № 5 представлен на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 - Фаза сигнала № 5

Аналитическая запись сигнала № 7 во временной области имеет вид:

где  В,  мкс.

Значения функции  для сигнала № 7 представлены в таблице 2.4.

Таблица 2.4 - Значения функции  для сигнала № 7

График временной характеристики сигнала № 7 представлен на рисунке 2.5.

Рисунок 2.4 - Временная характеристика сигнала № 7

Аналитическая запись спектральной характеристики сигнала № 7 имеет вид:

.

Используя систему Mathcad, найдем модуль спектральной характеристики сигнала № 7. На основании чего построим график спектра сигнала.

Однозначно можно сказать, что в силу четности временной характеристики сигнала № 7 мнимая часть алгебраической формы представления его спектральной плотности равна нулю. А значит, и фаза сигнала имеет постоянное значение, равное нулю.

Значения функции  сигнала № 7 приведены в таблице 2.5.

Таблица 2.5 - Значения функции  для сигнала № 7

График спектра сигнала № 7 представлен на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5 - Спектр сигнала № 7

Аналитическая запись сигнала № 8 во временной области имеет вид:

где  В,  мс.

Значения функции  для сигнала № 8 представлены в таблице 2.6.

Таблица 2.6 - Значения функции  для сигнала № 8

График временной характеристики сигнала № 8 представлен на рисунке 2.6.

Рисунок 2.6 - Временная характеристика сигнала № 8

Аналитическая запись спектральной характеристики сигнала № 8 имеет вид:

.

Используя систему Mathcad, найдем модуль и аргумент спектральной характеристики сигнала № 8. На основании чего построим график спектра и фазы сигнала.

Значения функции  сигнала № 8 приведены в таблице 2.8.

Таблица 2.7 - Значения функции  для сигнала № 8

График спектра сигнала № 8 представлен на рисунке 2.7.

Рисунок 2.7 - Спектр сигнала № 8

Значения функции  сигнала № 8 приведены в таблице 2.8.

Таблица 2.8 - Значения функции  для сигнала № 5

График фазы сигнала № 8 представлен на рисунке 2.8.

Рисунок 2.8 - Фаза сигнала № 8

.2 Энергетические характеристики сигналов и полоса частот сигнала

Показатели энергии и мощности сигналов - важнейшие характеристики, определяющие коэффициент полезного действия передатчика и качество работы приемника системы связи. Поскольку существует два вида представления сигналов - временное и спектральное, то данные показатели могут быть вычислены двумя способами [2 - 4].

Энергия одиночного сигнала вычисляется через временную функцию сигнала по формуле:

. (2.6)

Бесконечные пределы в интеграле записаны для общего случая и должны быть уточнены для конкретного сигнала.

Если сигнал периодический, то его средняя мощность за период T

. (2.7)

Спектральное представление сигнала позволило определить эти же энергетические характеристики по спектрам сигналов при помощи равенств Парсеваля:

для непериодического сигнала -

; (2.8)

для периодического -

. (2.9)

где  - постоянная составляющая сигнала;

- амплитуда n-ой гармоники.

Знак «» в выражениях (2.6), (2.8), (2.9) означает, что в создании энергии и мощности сигнала участвует бесконечный спектр частот. Если знак «» заменить в формулах (2.8) и (2.9) на конечную величину w и n соответственно, то по полученным формулам определяется только часть мощности и энергии сигнала. Этим способом можно воспользоваться при ограничении спектров сигналов.

Найдем полную энергию для каждого из сигналов ,  и , используя формулу (2.6):

 Дж;

 Дж;

 Дж.

Согласно выражению (2.8) построим энергетические характеристики для каждого сигнала.

Таблица 2.9 - Значения энергии сигнала № 5

Рисунок 2.9 - Энергия сигнала № 5

Таблица 2.10 - Значения энергии сигнала № 7

Рисунок 2.10 - Энергия сигнала № 7

Таблица 2.11 - Значения энергии сигнала № 8

Рисунок 2.11 - Энергия сигнала № 8

Ограничение практической ширины спектра сигнала по верхнему значению частоты  и заданному энергетическому критерию  осуществляется на основе неравенства:

. (2.10)

где  - энергия сигнала с ограниченным сверху спектром.

Значение  определяется по известной плотности

, (2.11)

где  - искомое значение верхней граничной частоты сигнала.

Значение  определим путем подбора, пользуясь формулами (2.10) и (2.11), и с учетом того, что  % (согласно заданию).

Найдем  и  для каждого из сигналов ,  и , учитывая формулы для модулей спектральных плоскостей сигналов:

Неполная энергия сигнала № 5  Дж.

Частота среза сигнала № 5  .

Неполная энергия сигнала № 7  Дж.

Частота среза сигнала № 7 .

Неполная энергия сигнала № 8  Дж.

Частота среза сигнала № 8 .

Сигнал № 8 имеет меньшую граничную частоту , следовательно, его и выбираем для дальнейшего анализа и расчета.

3. Принципы формирования цифрового сигнала

.1 Расчет параметров АЦП

В современной системе связи информация передается в цифровой форме. Такое представление универсально для любого вида информации. Его основой является теорема Котельникова, по которой любой сигнал с ограниченным спектром может быть представлен совокупностью отсчетов (выборкой) - мгновенными значениями через определенный интервал времени . Множество таких значений называется выборкой; математическая форма записи которой следующая:

, (3.1)

где  - функция Дирака.

Исходный сигнал может быть представлен по выборке с помощью ортогонального ряда Котельникова:

. (3.2)

Система связи должна передать выборку любым способом, однако чаще это реализуется при цифровом представлении сигнала. Такая оцифровка выполняется аналогово-цифровым преобразователем (АЦП). Обычно информация на выходе АЦП представлена в параллельном коде, который для передачи необходимо преобразовать в последовательный. Эта операция (рисунок 3.1) реализуется специальными микросхемами - преобразователями, построенными на регистрах сдвига.

Рисунок 3.1 - Сигналы АЦП

Основные характеристики АЦП - частота запуска и разрядность выходного кода.

В приемнике по выборке можно восстановить исходный сигнал различными способами, например, при помощи фильтра низких частот с граничной частотой, равной верхней частоте сигнала [1].

Интервал дискретизации заданного сигнала по времени определяется на основе теоремы Котельникова по неравенству:

, (3.3)

где  - верхнее значение частоты спектра сигнала.

Для выбранного сигнала  Гц.

Тогда согласно (3.3) интервал дискретизации  с.

Частота запуска АЦП  Гц.

Выберем частоту дискретизации  с 4-х кратным запасом для уменьшения погрешностей преобразования.

 Гц.

Соответственно  с.

Рисунок 3.2 - Дискретизированный во времени сигнал № 8

Следующими этапами преобразования сигнала являются квантование импульсных отсчетов по уровню и кодирование. Разрядность кодов определяется исходя из динамического диапазона квантуемых по уровню импульсных отсчетов.

В качестве верхней границы динамического  принимаем напряжение самого большого по амплитуде отсчета:  В.

Нижняя граница диапазона определяется по формуле:

, (3.4)

где  - динамический коэффициент (по заданию ):

 В.

Для самого малого по амплитуде импульсного отсчета  задается соотношение мгновенной мощности сигнала и мощности шума квантования:

, (3.5)

где - мощность шумов квантования при равномерной шкале квантования,

, (3.6)

где  - шаг шкалы квантования,

, (3.7)

где  - число уровней квантования.

С учетом равенств (3.5) - (3.7) получим:

. (3.8)

В задании на курсовую работу мгновенная мощность сигнала .

Тогда по (3.8) число уровней квантования  или .

Шаг шкалы квантования по (3.7)  В.

Мощность шумов квантования согласно (3.6)  Вт.

Известно, что при использовании двоичного кодирования число кодовых комбинаций, равное числу уровней квантования, определяется по выражению:

, (3.9)

где m - разрядность кодовых комбинаций, отсюда

. (3.10)

Следовательно, по (3.10)  или .

Длительность элементарного кодового импульса  определяется исходя из интервала дискретизации  и разрядности кода m. Здесь необходимо ввести защитный интервал, под который отводят половину . В итоге получается выражение:

. (3.11)

Откуда  с.

Таким образом, определены основные требования, предъявляемые к АЦП.

3.2 Цифровой сигнал и его характеристики

Мгновенные значения исходного сигнала на выходе регистра представляют собой последовательность кодовых слов. Каждое слово - случайная последовательность, состоящая из m нулей и единиц. Таким образом, полный сигнал после оцифровки - случайная последовательность.

Необходимо определить параметры такой модели, которая облегчила бы стыковку микросхем друг с другом, при этом нужно помнить, что АЦП и регистр сдвига реализуются на транзисторах и микросхемах, а уровни сигналов на выходе должны соответствовать требованию общепринятых логических уровней.

Некоторые характеристики отечественных АЦП в интегральном исполнении приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1 - Технические характеристики АЦП

По данным таблице 3.1 можно сделать два вывода:

) наиболее распространены АЦП с уровнями ТТЛ;

) уровень логического нуля низок и при составлении математической модели сигнала может быть принят равным нулю.

По данным таблице 3.1 выбираем для преобразования микросхему К1107ПВ1. С такими же логическими уровнями должен работать и преобразователь кода, построенный на регистре сдвига.

Для разработки математической модели цифрового сигнала примем четыре кодовых слова (коды четырех отсчетов):

) для уровня квантования 20 имеем кодовую комбинацию 010100

) для уровня квантования 21 имеем кодовую комбинацию 010101

) для уровня квантования 22 имеем кодовую комбинацию 010110

) для уровня квантования 23 имеем кодовую комбинацию 010111

Таким образом, сигнал после оцифровки - случайная последовательность 010100010101010110010111.

Числовые константы сигнала определяются по формулам:

; . (3.12)

Для определения вероятностей определим количество нулей и единиц в цифровой последовательности 010100010101010110010111.

Количество нулей - 12, количество единиц - 12; последовательность состоит из 24 символов. Тогда вероятность нулей - , вероятность единиц - . В соответствии с выбранной микросхемой, уровень нуля -  В, уровень единицы -  В.

Тогда согласно (3.12)

;

.

Функция автокорреляции (АКФ) показывает статистическую связь между временными сечениями сигнала.

В общем случае АКФ определяется усреднением либо по множеству, либо по времени. В данном случае, не располагая множеством, АКФ определим так:

, (3.13)

где T - длительность сигнала;

 - дисперсия сигнала;

 - временное расстояние между двумя сечениями сигнала.

При проведении расчетов АКФ воспользуемся возможностями программы Mathсad. Поступим следующим образом.

Создадим два вектора  и  (количество столбцов - 1, строк - число разрядов в 4-кодовых комбинациях):

Далее воспользуемся функцией Mathсad .

В первом случае векторы одинаковы, и корреляция будет равна 1, т. е. .

Далее изменим вектор, сдвинув числа на один шаг, и вновь повторим вычисление корреляции. Это равносильно внесению временного сдвига  на один шаг, т.е. на длительность одного импульса  мкс. Таким образом рассчитывается АКФ.

В этом случае .

Для выяснения статистических связей возьмем 8 значений векторов  и corr.

Таблица 3.2 - АКФ кодового сигнала

В среде Mathсad по данным таблицы 3.2 сформируем два вектора -  и :

                             .

На основании рассчитанной АКФ подберем математическое выражение, наиболее полно отражающее реальную зависимость. Для этого воспользуйтесь методом Mathсad, который называется «сплайн-аппроксимация». Исходная функция АКФ заменяется отрезками кубических полиномов, каждый из которых проходит через три смежные точки. Коэффициенты полиномов рассчитаны так, что первые и вторые производные непрерывны.

Операция сплайн-аппроксимации проводится в два этапа. На первом этапе с помощью одной из функций ( - для кубического полинома;  - для квадратичного;  - для линейного полинома) отыскивается вектор вторых производных заданной функции , которая в свою очередь должна быть задана векторами  (абсциссы) и  (ординаты). На втором этапе для каждой искомой точки вычисляется значение  с помощью функции interp.

С помощью функции  вычислим вектор VS вторых производных при приближении к кубическому полиному:

.

Далее вычисляем функцию, аппроксимирующую АКФ кубическим сплайн-полиномом:

.

.

Обе рассчитанные зависимости приведены на рисунке 3.3. Сравнивая ход кривых, можно сделать вывод о степени приближения кубического сплайн-полинома и расчетных значений.

Ценность результатов заключается и в том, что далее можно пользоваться аналитическим (формульным) выражением АКФ. Сглаженная функция АКФ более объективно отражает статистические связи в цифровом сигнале.

Рисунок 3.3 - График функции, аппроксимирующий АКФ кубическим сплайн-полиномом

Спектральные характеристики кодированного сигнала находятся на основании интегрального преобразования Винера-Хинчина. В области действительной переменной оно имеет следующий вид:

, (3.14)

где  - нормированная функция , определенная по формуле ;

T - последнее рассчитанное значение .

Решение интеграла проведем в среде Mathсad.

Таблица 3.3 - Значения спектра кодированного сигнала

Рисунок 3.4 - Спектральная характеристика кодированного сигнала

4. Характеристики модулированных сигналов

.1 Общие сведения о модуляции

Для передачи полезной информации в технике связи обычно используются модулированные сигналы. Они позволяют решить задачи уплотнения линий связи, электромагнитной совместимости, помехоустойчивости систем. Процесс модуляции является нелинейной операцией и приводит к преобразованию спектра сигнала. При гармоническом сигнале-переносчике это преобразование заключается в том, что спектр полезного сигнала переносится в область несущей частоты в виде двух боковых полос. Если переносчик - импульсная последовательность, то такие боковые полосы расположены в окрестностях каждой гармоники переносчика. Значит, продукты модуляция зависят от полезного сигнала и вида сигнала-переносчика [2 - 4].

Рассмотрим один из видов аналоговой модуляции - фазовую. При фазовой модуляции (ФМ) по закону полезного сигнала изменяется фаза сигнала переносчика:

, (4.1)

В формуле (4.1) и далее под  имеется в виду полезный сигнал.

Таким образом,

, (4.2)

где  - амплитуда сигнала;

 - начальная фаза;

 - частота.

Как следует из выражения (4.2), фазовый сдвиг между ФМ-сигналом и несущим колебанием пропорционален полезному сигналу .

Рассмотрим простейшие гармонические сигналы.

Имеем при ФМ  (амплитуда принята единичной);

. (4.3)

Выражения (4.4) позволяют ввести следующие показатели частотной модуляции:

- девиация частоты. Как известно, частота есть производная фазы, поэтому при ФМ  и максимальное отклонение частоты (девиация) , т.е. пропорционально частоте полезного сигнала;

индекс модуляции. При ФМ этот показатель .

.2 Спектральные характеристики модулированных сигналов

К основным характеристикам модулированных сигналов относятся энергетические показатели и спектральный состав. Первые определяют помехоустойчивость связи, вторые, прежде всего, полосу частот, занимаемую сигналом.

Классический модулятор имеет два входа. На один подается гармонический сигнал-переносчик, на другой - полезный сигнал с кодера.

Предположим, что полезный сигнал представлен двоичной последовательностью: 10101. Вид такого сигнала и соответствующего ему ФМ-сигнала показан на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 - Эпюра ФМ-сигнала

Перейдем к спектру ФМ-сигнала. Любую регулярную импульсную последовательность можно представить рядом Фурье:

, (4.4)

где  - постоянная составляющая полезного сигнала;

,  - амплитуда и фаза соответствующей n-й гармоники,

 - уровень логической единицы (согласно выбранной микросхеме).

При фазовой модуляции частотный состав колебаний определяется по следующей формуле:

 (4.5)

где  - индекс модуляции ;

 - частота первой гармоники полезного сигнала.

 - номер гармоники,

 - амплитуда несущей (по заданию  В),

 - частота несущей (по заданию  МГц);

.

Для практического использования спектр ограничим полосой , ограничение проведем по пяти крайним боковым составляющим.

Частота первой гармоники  .

Циклическая частота несущей  .

Итоговый спектр ФМ содержит несущую частоту, в окрестностях которой расположены боковые полосы, состоящие из комбинаций частот  (таблица 4.1).

Амплитуду на n-ой гармонике рассчитаем по следующей формуле:

.

Таблица 4.1 - Спектр ФМ-сигнала

Рисунок 4.2 - Спектр ФМ-сигнала

5. Согласование источника информации с каналом связи

.1 Источник информации

Рассмотрим канал связи с несколько других позиций. Заданный сигнал был представлен отсчетами, идущими с заданным интервалом. Такая выборка содержит полную информацию о передаваемом сигнале и, следовательно, сама представляет источник информации. В разделе 3 было определено количество выборок для сигнала № 8: .

Выборки - это алфавит источника информации, и вероятности появления букв этого алфавита равны друг другу. Такой источник имеет ряд информационных характеристик: количество информации в знаке, энтропию, производительность, избыточность [4]. В дальнейшем для расчетов потребуется производительность, которая характеризует скорость работы источника и определяется по следующей формуле:

, (5.1)

где  - энтропия алфавита источника;

- среднее время генерации одного знака алфавита.

Для введенного источника информации энтропия определяется при условии равенства вероятностей появления букв алфавита, а среднее время равно интервалу между выборками, т.е.:

 ,

 мкс.

Тогда производительность источника информации согласно (5.1)

 .

5.2 Согласование источника с каналом

Рассмотрим принципы согласования дискретного источника сообщений с непрерывным каналом связи. При этом необходимо помнить, что в непрерывном канале надо знать плотности распределения случайных процессов сигналов, помех и их условные плотности распределения. Это понятие вводится при моделировании канала связи, и с точки зрения передачи сообщений нет большого противоречия в том, что источник принят дискретным, а канал - непрерывным.

Будем считать канал гауссовым, т.е. все статистики в нем имеют нормальное распределение. На входе канала помимо сигнала присутствует помеха типа «белый шум».

Полоса пропускания канала  должна быть достаточной для прохождения спектра модулированного сигнала.

Предельные возможности согласования дискретного источника с непрерывным каналом определяются теоремой Шеннона. Если пропускная способность канала С больше производительности источника , то источник можно закодировать так, что вероятность ошибки  достигнет любой сколь угодно малой величины.

Пропускная способность гауссова канала

, (5.2)

где  - частота дискретизации;

 - мощность помехи, определяется по заданной спектральной плотности мощности N (дано в задании на курсовой проект ( ) и полосе частот модулированного сигнала

; . (5.3)

Полоса пропускания канала

 .

 Гц.

Мощность помехи согласно (5.3)  Вт.

Из формулы (5.2), пользуясь неравенством Шеннона: , определим , обеспечивающую передачу по каналу:

 Вт.

6. Расчет вероятности ошибки приемника в канале с аддитивным «белым шумом»

.1 Понятие об оптимальном приемнике

В общем случае математическая модель принимаемого сигнала может быть представлена следующим образом:

, , (6.1)

где N - число сигналов, переданных за сеанс связи;

rk - последовательность информационных символов;

 - постоянный коэффициент;

 - время запаздывания;

T - длительность передаваемых сигналов;

 - случайная помеха в виде «белого шума» с односторонней спектральной плотностью .

Расчет вероятности ошибки, прежде всего, необходим при оптимальной схеме приемника, т.е. наилучшей в смысле заданного критерия. В технике связи критерием является критерий Котельникова (оптимального наблюдателя). Согласно его требованиям полная вероятность ошибки должна быть минимальной [3].

Для реализации такого критерия служит оптимальная решающая схема. При равновероятных и взаимонезависимых сигналах решающая схема поэлементного приема принимает решение независимо от решения относительно других символов и имеет вид:

. (6.2)

Символ  над неравенством указывает на то, что решение принимается в пользу сигнала . Из общей формулы (6.2) можно получить простые записи с оговоркой тех или иных условий. Будем считать, что отсчет времени начинается с началом k-го элемента сигнала и что  - приходящий полезный сигнал, тогда условие правильной регистрации сигнала  имеет вид:

. (6.3)

где,  - энергия i-й, j-й реализации сигнала соответственно.

При ФМ выполняется равенство энергий  и  сигналов  и , условие (6.3) будет иметь вид:

. (6.4)

Выражению (6.4) соответствует корреляционная обработка сигнала, т.е. находится взаимная корреляция принимаемого и передаваемого сигналов, этим и объясняется название приемника.

.2 Определение вероятности ошибки

Вероятность ошибки  зависит от мощности (или энергии) сигнала и мощности помех (в данном случае «белого шума»). Известную роль играет здесь и вид сигнала, который определяет статистическую связь между сигналами в системе. В общем случае

, (6.5)

где ,  - функция Лапласа;

 - энергия разностного сигнала;

;

 - односторонняя плотность мощности «белого шума»;

 - множитель, характеризующий ослабление передаваемых сигналов  и  (по заданию 0,017).

Формула для расчета  может быть существенно упрощена для конкретных видов сигналов.

Для сигналов ФМ .

Вероятность ошибки

. (6.6)

Рассчитаем вероятность ошибки.

Энергию разностного сигнала вычислим в среде Mathcad:

Аргумент функции Лапласа .

При таком значении аргумента функция Лапласа равна

.

Тогда согласно (6.5) вероятность ошибки .

Заключение

сигнал цифровой приемник

В данной курсовой работе был произведен расчет спектральных и энергетических характеристик для трех исходных сигналов. По заданному проценту  % произведен расчет неполной энергии. При сопоставлении полной и неполной энергий была вычислена практическая ширина спектра каждого сигнала. Для сигнала № 8, имеющего наименьшую граничную частоту  , произведен расчет параметров АЦП: шаг дискретизации  мкс, шаг квантования  мВ, в соответствии с которыми выбрана микросхема К1107ПВ1. Для разработки математической модели цифрового сигнала были приняты четыре кодовых слова. Для кодовых отсчетов проведен расчет АКФ с использованием MathCad. Для сигнала, представленного двоичной последовательностью 01010 построен спектр, выполнена фазовая модуляция. Определена вероятность ошибки приемника в канале с аддитивным «белым шумом» - 0.

Рассмотрены основные положения теории сигналов, теории информации, теории оптимального приема и модуляции сигналов, способы повышения верности передаваемой информации, произведен расчет характеристик модулированных сигналов и вероятности ошибки в канале с помехой.

В результате проделанной работы приобретаются навыки расчета характеристик сигналов, улучшается представление о способах передачи информации, о процессах, происходящих при обработке сигналов; приобретаются знания как познавательного характера, так и позволяющие смело оперировать с системами связи.

Библиографический список

Баженов Н. Н. Характеристики сигналов в каналах связи // Методические указания к курсовому проекту по дисциплине «Теория передачи сигнала» / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2001. 48 с.

Теория передачи сигналов: Учебник для вузов / А.Г. Зюко, Д.Д. Кловский, М.В.Назаров, Л.М. Финк. М.: Радио и связь, 1986. 304 с.

Теоретические основы транспортной связи: Учебник для вузов ж.-д. транспорта / М.Я. Каллер, А.Ф. Фомин. М.: Транспорт, 1989. 383 с.

Теория передачи сигналов: Учебник для вузов / Д.Д. Кловский. М.: Связь, 1973. 376 с.

Стандарт предприятия. Работы студенческие учебные и выпускные квалификационные. Общие требования и правила оформления текстовых документов. СТП ОмГУПС-1.2-02 / Омский гос. ун-т путей сообщения. Омск, 2002. 29 с.