Расчет стержневых систем и бруса на растяжение, Расчет нагруженной балки, Экзаменационные вопросы по...

БИЛЕТ 5     Изгиб. Дифф. зав-ти при изгибе.

dM = Q • dz, Q = dM / dz, dQ / dz = d²M / dz² = q.

производная от изгибающего момента по абсциссе сечения балки равна поперечной силе (теорема Журавского); вторая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки.

БИЛЕТ 6     Основные гипотезы при изгибе.

Принцип Бернулли: плоские сечения до и после деформации остаются плоскими, нормальными к продольной оси балки.

БИЛЕТ 12     Косой изгиб. Определение напряж.

БИЛЕТ 14

Напряженное состояние в данной точке - совокупность напряжений на всех елементарных площадках, которые можно провести через какую-либо точку тела.  Главные нормальные напряжения - если на грани кубика других нет (касательных напряжений). Тензор напряжения - перемещения при данной нагрузке ???

Закон парности касательных напряжений.

Дан брус произвольного сечения.

A - площадь сечения по нормали

A_a - площадь сечения под углом a к нормали. A_a= A / cos a.

проекция сил на направление s_a :

s_a•A_a – s₁•A•cos a = 0

s_a = s₁ • cos² a

проекция сил на направление t_a :

t_a•A_a – s₁•A•sin a = 0

t_a = 1/2 •s₁ • sin 2a

для BD:

s_b = s₁ • cos² (a+p/2)= s₁ • sin² a

t_b = 1/2 •s₁ • sin 2(a+p/2) = – 1/2 •s₁ • sin 2a.

s_a+ s_b = s₁;  t_a = – t_b (з-н парности касат. напряж.).

Из этого закона следует, что :

при a = 90° s_a = 0, t_a= 0; при a = 0 s_a = s_amax = s₁, t_a= 0; при a = 45° t_a= t_amax= s₁ / 2.

БИЛЕТ 15     Плоское напряженное состояние.

з-н Гука для одноосного напряженного состояния :

e = s / E;    e =  Dl / l - относительное  удлинение

E [Па, МПа]- модуль продольной упругости  (а также : модуль упругости I рода, модуль Юнга).

s [Па, МПа] - напряжение.

e¢ = –m •e; e¢ - относит. поперечная деформация.

m - коэфф-нт поперечной деформации (Пуассона).

обобщенный з-н Гука для плоского напряженного состояния :

e₁ = s₁ / E – m•s₂ / E

e₂ = s₂ / E – m•s₁ / E.

находим напряжения s₁ и s₂ :

s₁ = E (e₁ + m•e₂) / (1– m²),   s₂ = E (e₂ + m•e₁) / (1– m²).

БИЛЕТ 16      З-н Гука для изотропного материала.

Изотропный материал - материал, свойства которого одинаковы во всех направлениях.

Для объемного напряженного состояния :

e₁ = (1 / E) •[s₁ – m•(s₂ + s₃)],

e₂ = (1 / E) •[s₂ – m•(s₃ + s₁)],

e₃ = (1 / E) •[s₃ – m•(s₁ + s₂)].

Объем кубика 1´1´1 после деформации :

V = (1+e₁) ´ (1+e₂) ´ (1+e₃)  » 1+ e₁ +e₂ +e₃.

Относительное изменение объема :

u = e₁ +e₂ +e₃ = (1–2•m) •(s₁+s₂+s₃ ) / E. Отсюда : коэфф-нт Пуассона m не может быть больше 1/2.

з-н Гука при сдвиге : t = G•g

g - угол сдвига [рад]

G [Па]- модуль сдвига (модуль упругости 2 рода).

G = E / [2•(1+m)]

удельная деформация при чистом сдвиге :

u = t² / (2•G)

БИЛЕТ 17      Теории (гипотезы) прочностей.

Эквивалентое напряженное состояние - состояние, равноопасное данному сложному напряженному состоянию, но при  одноосном растяжении (сжат.).

I-я гипотеза прочности - гипотеза наибольших нормальных напряжений :

“предельное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение достигает предельного напряжения [s] при одноосном напряженном состоянии”. I-я гипотеза устанавливает критерий хрупкого разрушения (не для пластичных материалов). Если материал имеет различные [s] на растяжение и сжатие, то :

max s_р  £ [s^р], max s_с  £ [s^с].

II-я гипотеза прочности - гипотеза наибольших линейных деформаций :

Опыты не подтверждают эту теорию.

III-я гипотеза прочности - гипотеза наибольших касательных напряжений :

“прочность материала при сложном напряженном состоянии считается обеспеченной, если наибольшее касательное напряжение не превосходит допускаемого касательного напряжения, установленного для одноосного напряженного состояния”. t_max = t_экв £ [t].

Из закона парности касательных напряжений :

t_max = s /2 при a = 45° a - угол между нормалью и  сечением на котором определяем t.

БИЛЕТ 18

Гипотеза теории кручения (гипотеза плоских и жестких сечений): расстояния между нормальными сечениями при кручении не изменяются, не изменяются размеры сечений.

Кручение бруса круглого поперечного сечения.

Касательные напряжения при кручении :

t = M•r / I_p . r - расстояние от центра сечения.

M - приложенный момент. r - радиус сечения.

t_max = M•r / I_p = M / W_p £ [t].

W_p - полярный момент сопротивления.

Для круглого сплошного сечения радиусом r:

W_p = I_p / r = pd⁴ / (32•d/2) = pd³ /16 » 0,2•d³.

Деформации и перемещения :

dj / dz = M / (G•I_p) - выведено в билете 19

Производная угла закручивания  (взаимн. пов.) :

dj = M•dz / (G•I_p). Деформация вала на длине z (взаимный угол поворота сечений) :

j = ò!от0доz! [M•dz / (G•I_p)].

Величина G•I_p - жесткость вала при кручении.

Для вала длиной l: j = M•l / (G•I_p).

Относительный угол закручивания - угол закручивания на единицу длины :

g = j / l = M / (G•I_p).

Условие прочности: g  £ [g]; [g] - в ° / на 1м длины.

Зависимость t от  угла закручивания :

g = r•dj / dz из рисунка билета 19.

з-н Гука при сдвиге : t = G•g, Þ :t = G•r•dj / dz.

БИЛЕТ 19     Кручение, вывод рассчетн. ф-лы  для

касательных напряжений.

g_maч = r•dj / dz, аналогично g = r•dj / dz.

з-н Гука при сдвиге : t = G•g, отсюда :

t = G•r•dj / dz. При кручении деформации сдвига прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения.

Равнодействующий момент касательных напряжений в сечении : M = _Aò (t•r)•dA; (t•r)•dA - элементарный крутящий момент внутренних сил на площадке dA.

M = G•dj / dz •_Aò (r²)•dA.

Полярный момент инерции сечения : I_p = _Aò (r²)•dA.

dj / dz = M / (G•I_p); t = M•r / I_p .

Условие прочности.

t_max = M•r_max / I_p = M / W_p £ [t].

W_p - полярный момент сопротивления.

Для круглого сечения радиусом r: W_p = I_p / r.

БИЛЕТ 20     Кручение, вывод ф-лы  для

относительного угла закручивания.

переписать билет 19 до ф-лы :  dj / dz = M / (G•I_p) и раздел “Деформации и перемещения.” билета 18.

БИЛЕТ 21     Внецентренное растяжение.

В любом поперечном сечении стержня возникает продольная сила N=F и изгибающие моменты :

M_x = F•y_F , M_y = F•x_F . Напряжение в точке (x,y) :

s = N / A + M_x•y / I_x + M_y•x / I_y .

Максимальные напряжения на угловых точках :

s = N / A ± M_x / W_x ± M_y / W_y .

W_x , W_y - моменты сопротивлений .

A - площадь сечения.

По рисунку - наибольшие напряжения - в точке E :

s_E = N / A + M_x / W_x + M_y / W_y .

Алгебраически наименьшие напряж. - в точке D :

s_D = N / A – M_x / W_x – M_y / W_y .

Условие прочности :

N / A + M_x / W_x + M_y / W_y £ [s].

В плоскости нулевой линии напряжение равно 0.

Уравнение нулевой линии (x,y -  координаты) :

N / A + N•y_F•y / I_x + N•x_F•x / I_y = 0; или :

x_F•x / i²_y + y_F•y / i²_x + 1 = 0; или :

x / a + y / b = 1, a = – i²_y / x_F ,  b = – i²_x / y_F .

a, b - отрезки на осях координат x, y.

Радиус инерции сечения : i_x = Ö(I_x / A), i_y = Ö(I_y / A),

размерность - длина (обычно сантиметр).

В центре тяжести сечения s = N / A = F / A.

Для прямоугольного сечения :

I_x = b•h³ / 12, I_y = b³•h / 12, W_x = 2•I_x/h, W_y = 2•I_y / b

W_x = b•h² / 6, W_y = b²•h / 6; сторона bççоси x, h çç y.

Напряжение в точке (x,y) :

s = N / A + M_x•y / (b•h³ / 12) + M_y•x / (b³•h / 12)  =

= N / A + N•y_F •y / (b•h³ / 12) + N•x_F •x / (b³•h / 12).

Максимальные напряжения на угловых точках :

s = N / A ± M_x / (b•h² / 6) ± M_y / (b²•h / 6) =

= N / A ± N•y_F / (b•h² / 6) ± N•x_F / (b²•h / 6).

От изгиба в точках C и D: s_max = M / W_X;

 от кручения по контуру сечения:

t _max = T/W_P = T / (2•W_X).

Напряженное состояние в точке C :

Главные напряжения: s₁=s_max = (s + Ö(s² + 4•t²)) /2.

s₃=s_min = (s – Ö(s² + 4•t²)) /2.

По 3-й гипотезе прочности : s₁ – s₃ £ [s];

Ö(s² + 4•t²) £ [s]; Ö(M² + T²) / W_X £ [s]; отсюда :

проектный расчет: W_X = Ö(M² + T²) / [s]; если изгиб

в 2-х ^-ных плоскостях, то: M = Ö(M²_X + M²_Y).

БИЛЕТ 23     Ф-ла Эйлера для сжатого стержня

большой гибкости.

Основной случай продольного изгиба

(закрепление на 2-х опорах, неподв. и подв.) :

Критическая сила - F_КР : наименьшаяая сила, при которой стержень теряет способность сохранять прямолин. форму.Предел пропорциональности s_пц :

напряжение “до” которого деформация происходит по закону Гука.

Пусть потеря устойчивости происходит при напряжениях, меньших предела пропорцион-ности s_пц материала стержня. Тогда - упругая линия :

1/r » d²u / dz² = M / (EJ); 1/r - кривизна. M = F_КР•u.

Уравнеие изогнутой оси: d²u / dz² = – F_КР•u / (EJ).

заменим: k² = F / (EJ_min) [при потере устойчивости попереч. сечения поворач-ся вокруг главной оси с минимальным моментом инерции J_min ], тогда :

u² + k²•u = 0; реш.ур.: u = C•cos (k•z) + D•sin(k•z).

Определение C и D  из условий опор балки : 1) при z = 0,u = 0;2) при z = l, u = 0. Þ С = 0, D•sin(k•z)=0.

D = 0 не подходит т.к. нет прогиба балки Þ sin(k•z)=0; Þ k = np / l, Þ F_КР = p²•J_min•E•n² / l² .

наи<ее значение F_КР - при n = 1. F_КР = p²•E•J_min / l² .

u = D•sin (p • z / l) - изгиб с одной полуволной.

Для любого способа закрепления концов балки в ф-ле l заменим l_прив = m • l. l_прив - приведенная длина

m - коэффициент приведения длины.

БИЛЕТ 24     Ф-ла Эйлера для критич. напряж.

Нормальное напряжение в поперечном сечении сжатого стержня, соответствующее критическому значению сжимающей силы, наз-ют критическим.

s_кр = F_кр / A, A - площадь сечения.

Формула Эйлера: F_КР = p²•E•J_min / l² .

s_кр = p² • E • J_min / [(m • l)² • A]; J_min / A = i²_min .

Радиус инерции сечения : i_x = Ö(I_x / A), i_y = Ö(I_y / A),

размерность - длина (обычно сантиметр).

s_кр = p² • E • i²_min / [(m • l)²] = p² • E / (m • l / i_min)² .

m • l / i_min = l - гибкость стержня : безразмерная величина,показ-ая сопротивл-ть потере устойч-ти,

зависит от геометрич. характеристик стержня.

s_кр = p² • E / l² . Пределы применимости формулы:

Ф-ла Эйлера справедлива лишь в пределах применимости з-на Гука, т.е. при усл., что  критическое напряж. не превыш. предела пропорциональности материала стержня.

s_кр £ s_пц , p² • E / l² £ s_пц , l ³ p • Ö(E / s_пц) = l_пред .

l_пред  - предельная гибкость (граничная гибк.): не зависит от размеров,зависит от свой-в материала.

Ф-ла Эйлера применима, когда гибкость стержня ³ предельн. гибк-ти для материала стержня:l ³ l_пред .

В случае неприменим-ти ф. Эйлера напряжения опред. по эмпирическим ф-лам s_кр = a – b•l , a и b - коэфф-ты, определяемые опытным путем.

Стержни  гибкости : 1. большой (l ³ l_пред) - по ф. Эйлера 2. средней (l₀ £ l < l_пред) - по эмпирич. ф-ле. 3. малой (l < l₀)-расчет не на устойчив., а на проч.

БИЛЕТ 25     Напряжение при движении с ускорен.

Груз весом G поднимают вверх с ускорением a.

Определить напряяжение в канате.

s_d - динамическое напряжение, A - площадь сечен.

s_st = G / A - напряжен. при статич. действии груза.

K_d - динамический коэффициент

s_d•A – G•(1+ a / g ) = 0, s_d = G / A•(1+ a/g) = s_st•K_d.

K_d = (1+ a/g).

Экзаменационные вопросы по

прикладной механике (первый семестр II курс).

1. Метод сечений. Определение внутренних усилий.

Задача: эпюры.

2. Растяжение и сжатие бруса. Нормальная сила. Напряжение в поперечном сечении. Усл. прочности при растяжении-сжатии.

Задача: Эпюра нормальных сил и изг. M в балке.

3. Деформация при растяжении-сжатии. Диаграмма деформации стали. Закон Гука.

Задача: построить эпюры изгибающих и крутящих моментов в балке, проверить прочность по 3-й теории прочности.

4. Основные механические характеристики конструкционных материалов. Понятие предельных допускаемых напряжений.

Задача: построить эпюры изгибающих  и крутящих моментов ломаного бруса.

5. Изгиб. Дифференциальные зависимости для усилий.

Задача: проверить прочность балки на изгиб.

6. Основные гипотезы при изгибе. Нормальное напряжение при изгибе. Задача: проверить.

8. Максимальное напряжение при изгибе. Вывод формулы. Условие прочности. Задача:РГР № 1.

9. Дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса. Перемещение при изгибе.

Задача:РГР № 1.

10. Вывод интеграла Мора.

Задача:РГР № 1.

11. Способ перемножения эпюр. Правило Верещагина.

Задача: брус зажат между стенками

12. Косой изгиб. Определение напряжения при косом изгибе.

Задача: определить диаметр ступенчатого бруса.

13. Определение положения нулевой линии при косом изгибе.

Задача: Жестко закрепленная балка, построить эпюру крутящих моментов.

14. Понятие напряженного состояния в точке. Тензор напряжения. З-н парности касательных напряжений.

Задача: Построить эпюру крутящих моментов и определить диаметр вала.

15. Плоское напряженное состояние: вывод формул для напряжений.

Задача: Проверить прочность при заданной нагрузке: Æ, P, l от P до опоры, [s].

16. З-н Гука для изотропного материала.

Задача: угол поворота консольной балки в сечении.

17. Теории прочности. Понятие эквивалентного напряженного состояния. Вывод ф-лы s_экв .

Задача: Проверить прочность балки с квадратным сечением при заданной распределенной нагрузке.

18. Кручение бруса круглого поперечного сечения. Гипотезы теорий кручения. Напряжения и деформации. Зависимость t от производной по углу закручивания.

Задача: Определить перемещение балки на 2-х опорах под действием силы P  посередине.

19. Кручение, вывод рассчетной ф-лы для касательных напряжений, условие прочности.

Задача: Определить прогиб консольной балки, в конце балки - момент.

20. Кручение, вывод ф-лы для относительного угла закручивания, условие прочности.

Задача: Из условий прочности найти размеры квадратного поперечного сечения балки.

21. Внецентренное растяжение. Определение напряжения для бруска прямоугольного сечения, условие прочности.

Задача: построить эпюры M, s, перемещения.

22. Изгиб с кручением бруса круглого сечения, напряженное состояние, условие прочности.

Задача: Абсолютно жесткая балка подвешена на стержнях с одинакового сечения и материала.

23. Вывод ф-лы Эйлера для сжатого стержня большой гибкости.

Задача: Из условия прочности найти диаметр балки, нагружена моментом, распред. нагр.

24. Вывод ф-лы Эйлера для критических напряжений. Пределы ... ф-лы Эйлера.

Задача: Эпюры Q и M для балки на 2-х опорах, нагружена моментом, распред. нагр., содержит консольные участки.

25. Общие принципы расчета при динамических нагрузках. Расчет на прочность при движении тел с заданным ускорением.

Задача: Исходя из условий прочности найти размеры сечения прямоугольной консольной балки.