Функция y = [x] и некоторые ее применения
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
1.
Понятие целой части действительно числа, функция
.
Свойства функции и ее график
.
Примеры процессов, описываемых функцией
.
Применение свойств, при решении задач
Заключение
Библиографический
список
ВВЕДЕНИЕ
Данная курсовая работа посвящена изучению функции и некоторых ее применений. В ней
дается свойства этой функции, график, примеры процессов, описываемых функцией,
применение свойств рассматриваемой функции.
Актуальность данной работы обусловлена тем, что функция встречаются в школьном курсе
математики, а также на математических олимпиадах.
Объект исследования: функция .
Предмет исследования: определение функции , ее свойства и приложения.
Цель исследования: дать определение функции , описать ее свойства и приложения.
Задачи исследования:
. Дать определение понятия функции .
. Рассмотреть свойства функции и построить ее график.
. Рассмотреть примеры процессов, описываемых функцией .
. Рассмотреть примеры функции , встречающихся на математических
олимпиадах.
. Применить свойства рассматриваемой функции при решении задач на
делимость, при нахождении целой части иррациональных выражений, при решении
уравнений и систем уравнений и при решении геометрических задач.
1. ПОНЯТИЕ ЦЕЛОЙ ЧАСТИ
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА, ФУНКЦИЯ
действительный
число функция задача
Действительные числа - понятие достаточно абстрактное.
Основной смысл использования в математике всего множества действительных чисел
заключается в необходимости измерения непрерывных величин. Наглядно понятие
вещественного числа можно представить себе при помощи числовой прямой. Если на
прямой выбрать направление, начальную точку и единицу длины для измерения
отрезков, то каждому вещественному числу можно поставить в соответствие
определённую точку на этой прямой, и обратно, каждая точка будет представлять
некоторое, и притом только одно, вещественное число. Вследствие этого
соответствия термин числовая прямая обычно употребляется в качестве синонима
множества вещественных чисел.
В различных вопросах теории чисел, математического анализа,
теории рекурсивных функций и в других вопросах математики используются понятия
целой и дробной частей действительного числа. Рассмотрим более подробно тему
понятия целой части действительного числа.
Целой частью действительного числа х называется наибольшее целое число,
не превосходящее х.
Целая часть числа обозначается символом [х ] и читается так: “целая часть
х” или: “целая часть от х ”. Иногда целая часть числа обозначается Е(х) и
читается так: “антье х ” или “ антье от х ”. Второе название происходит от
французского слова entiere - целый.
Функция целая часть числа имеет вид y = [x].
2. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК
Свойства функции y = [x].
1.
Функция имеет смысл для всех значений переменной x, что следует из определения
целой части числа <#"878765.files/image004.gif">,
функция принимает одно значение . Поэтому
функция неубывающая, то есть для любых имеет
место равенство . Поэтому же при функция отрицательна, , при .)
.
Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.
.
Так как функция y = [x] постоянна на каждом интервале [n ; n+1), она не
принимает наибольшего и наименьшего значений на области определения.
График
функции имеет следующий вид.
Рис.1 График функции y =[x]
3. ПРИМЕРЫ
ПРОЦЕССОВ, ОПИСЫВАЕМЫХ ФУНКЦИЕЙ
Известно, что многие реальные процессы описываются непрерывными
функциями. Например, зависимость пути движения тела от времени его движения,
зависимость массы тела от его объема и др.
Но есть некоторые процессы, например, процесс работы электрических часов.
Известно, что минутная стрелка этих часов движется скачкообразно: в промежутке
между последовательными целыми минутами она находится в покое, а затем
мгновенно меняет свое положение. Поэтому если показания минутной стрелки
рассматривать как функцию времени, то её график представляет собой ступенчатую
фигурку.
Рассмотрим еще несколько таких процессов и их графики.
Пример1:. Плата за багаж при перевозке груза зависит от его массы по
следующему закону: за первые 30 кг она составляет 20 рублей, а за каждые
последующие полные или неполные 10кг возрастает на 10 рублей. График
зависимости стоимости перевозки от массы груза представлен на рис.2. График
зависимости представлен в ограниченном виде.
Рис.2 ( График представлен в ограниченном виде)
Пример 2: Стоимость звонка со стационарного телефона на мобильный зависит
от времени разговора и составляет за каждую полную и неполную минуту 1,5 рубля.
График зависимости стоимости звонка от времени разговора представлен на рис.3.
Рис.3 ( График представлен в ограниченном виде)
Эти графики называются, графики, описываемые функцией .
4. ПРИМЕНЕНИЕ
СВОЙСТВ, ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ
1. Применение свойств рассматриваемой функции при решении задач на
делимость.( Задача из «Антье», журнал «Квант» Мордкович А.Г., Смышляев В.В. 1976. №5 )
Задача: Сколькими нулями оканчивается число 1976!?
Решение: Задача будет решена, если мы найдем, чему равна максимальная
степень числа 10, на которую делится 1976!. Но поскольку 10=2*5, нам достаточно
подсчитать, в какой степени число 5 в разложении на простые множители числа
1976! ( т.к. 2 войдет сомножителем большее число раз, чем 5). Число 1976 меньше
, но больше, чем , поэтому количество нулей на конце
числа мы получаем посчитав .
Ответ: число 1976! оканчивается 492 нулями.
. Применение свойств рассматриваемой функции при решении уравнений. .(
Задача из Алексеева В., Ускова Н. Задачи, содержащие целую и дробную части
числа// Математика. 1997. №17.)
Задача: Решить уравнение
Решение:
Проведём замену [х] = а, аz. и получим новое кубическое уравнение
За3+2а2+5а-10=0. Первый корень этого уравнения найдём путём подбора: а=1 -
корень уравнения. Делим наше уравнение на (а-1). Получаем квадратное уравнение
3а2 + 5а +10=0. Это уравнение имеет отрицательный дискриминант, а значит, не
имеет решений. То есть, а=1 - единственный корень уравнения. Проводим обратную
замену: [х]=а=1. Полученное уравнение решаем по определению целой части числа:
х[1 ;2).
Ответ:
х[1 ;2).
.
Применение свойств рассматриваемой функции при решении геометрических задач. (
Задача из Алексеева В., Ускова Н. Задачи, содержащие целую и дробную части
числа// Математика. 1997. №17.)
Задача:
Сколько целых точек расположено на сторонах и внутри треугольника,
образованного прямыми , x = 10 и осью абсцисс?
Решение
: Найдём значения функции y = x- при целых x = 1, 2, . . ., 10 (заметим, что у = 0 при
x = ); получим ординаты , , , , , , , , , . Легко подсчитать, что общее число целых точек,
лежащих в данном треугольнике (учитывая точки на границе), равно сумме целых
частей этих ординат плюс десять точек, лежащих на оси абсцисс:
[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]+10
=1+2+2+3+4+4+5+6+10=37
Таким образом, внутри данного треугольника лежат 37 целых точек.
. Применение свойств рассматриваемой функции при решении системы
уравнений. (Задача из «Сборник задач по алгебре с углубленным изучением, 8
класс» Звавич Л.И., Рязановский Р.А)
Задача№1: Решите систему уравнений
Решение: Приведем схему решения:
) Если сложить все три уравнения, то в левой части помимо суммы 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 соберутся пары [𝑥] + {𝑥}, [𝑦] + {𝑦} и [𝑧 ] + {𝑧} ( т.к. {𝑥}= , которые сворачиваются в 𝑥, 𝑦 и 𝑧 соответственно. Таким образом, имеем
, или .
) Складывая первые два уравнения, получим в левой части , или, что означает:
) Выполним аналогичные пункту 2) действия для второго и третьего
уравнений: [𝑧 ] = 0 и {𝑦} = 0,8.
) В заключение, складывая подобным образом первое и третье уравнение,
найдем: [𝑥] = 1 и {𝑧} = 0,2. Подытожим: 𝑥
Ответ:
. Применение свойств рассматриваемой функции при нахождении целой части
иррациональных выражений.( Задача из «Сборник задач по алгебре с углубленным
изучением, 8 класс» Звавич Л.И., Рязановский Р.А)
Задача: Найти целую часть числа
Решение:
По свойству функции:
+0,7+0,5+0,5+0,4 < х < 1+0,8+0,6+0,5+0,5.
Т.е. 3,1< x <3,4 и, следовательно, [x]=3.
. В различных математических олимпиадах последних лет присутствуют
задачи, основанные на применении целой части действительного числа. Рассмотрим
некоторые из них.
( Задачи взяты с сайта «Олимпиады точных наук»
Задача 1. Решить уравнение
Решение: Найдем ОДЗ системы: .
Рассмотрим два случая: и .
Если , то и . В этом случае уравнение решений не имеет.
Если же , то и уравнение принимает вид откуда .
Задача 2. Определите количество действительных решений уравнения
При
где n
Решение: Приведем уравнение к виду
.
Разобьем полуинтервал сначала на единичные промежутки с целочисленными концами на такие промежутки, на которых
функция постоянна.
Таким образом, полуинтервал будет разбит на промежутки
)
где такое, что Рассмотрим функцию на полуинтервале ). На указанном промежутке и Но самое главное, функция строго возрастает. Интуитивно
понятно, при функция растет быстрее, чем функция , ведь функция состоит из фрагментов на полуинтервале [0;1).
Разберем три случая расположения промежутка
)
относительно концов полуинтервала.
, то есть
следовательно, решение исходного уравнения.
Других решений нет, так как функция возрастает.
,
где m принимает такие натуральные значения, что
На левом конце полуинтервала
В качестве значения первого конца возьмем
,
где сколь угодно малое положительное число. Тогда на «правом
конце»
Делаем вывод, что во 2-м случае решение исходного уравнения существует,
причем такое решение единственное, поскольку функция f(x) возрастает.
, то есть .
Покажем, что на данном промежутке
Значит, в последнем случае исходное уравнение не имеет решений.
Осталось произвести подсчёт количества решений. Общее количество
промежутков вида равно Количество полуинтервалов, проанализированных в 3-м случае,
на которых отсутсвуют решения, равно
Ответ: .
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе была рассмотрена функция и некоторые ее применения.
При этом мы:
Подобрали и изучили литературу по данной теме.
Дали определение функции и узнали, что она называется функция «Антье» или «Целая
часть числа».
Рассмотрели задачи с данной функцией.
В ходе работы, мы дали определение понятия целой части действительно
числа, узнали, что она используется в различных вопросах теории чисел,
математического анализа, теории рекурсивных функций и в других вопросах
математики, тем самым выполнили первую, поставленную нами задачу. Затем мы
подробно рассмотрели свойства функции и построили ее график и тем самым
выполнили вторую задачу. Также, мы узнали, что многие реальные процессы
описываются непрерывными функциями и функция не исключение. Рассмотрели примеры
этих процессов для нашей функции. Один из примеров процесса был скачкообразное
движение минутной стрелки. И на этом третья задача была выполнена. Далее мы
перешли к практической части нашей курсовой работы, и рассмотрели применение
свойств при решении задач на делимость, при нахождении целой части
иррациональных выражений, при решении уравнений и систем уравнений и при
решении геометрических задач. И было выяснено, что в различных математических
олимпиадах последних лет присутствуют задачи, основанные на применении целой
части действительного числа и некоторые из них были рассмотрены. Тем самым, мы
выполнили четвертую и пятую задачу, поставленную нами, для достижения
поставленной цели.
Таким образом, можно сказать, что функция представляет наибольшую сложность,
как в логическом, так и в техническом плане, для участников математических
олимпиад.
Изучение данной темы входит только в программу школ и классов с
углубленным изучением математики и для этой темы отводится только 34 строки
школьного учебника ( 9класс). Хотя функция является довольно-таки интересной
темой.
Библиографический список
1. Арнольд
И.В. Теория чисел. M., 1939.
. Виноградов
И.М. Основы теории чисел. M., 1949.
. Мордкович
А.Г., Смышляев В.В. Антье//Квант . 1976. №5
. Звавич
Л.И., Рязановский А.Р. Алгебра - 8. Задачник для классов с углубленным
изучением математики. M.:Мнемозина, 2002. стр. 156.
. Алексеева
В., Ускова Н. Задачи, содержащие целую и дробную части числа// Математика.
1997. №17. С.59-63.
. Олимпиады
точных наук, 10 класс, математика , 2015 г.