Исследование элементарных функций
Красноярский Государственный Педагогический
Университет им. В.П. Астафьева.
Реферат
На тему: «Исследование элементарных
функций».
Выполнила: Квашенко
Д.В.
Проверил: Адольф В.А.
г. Красноярск
2005г.
Содержание:
· Определение
элементарных функций…………….3
· Функция и её свойства……………………………………..3
· Способы
задания функции……………………………….4
· Определение
функции……………………………………..4
· Исследование
элементарных функций………....6
а) Линейная функция…………………………….......7
б) Степенная функция…………………………………..8
в) Показательная функция……………………………9
г) Логарифмическая функция……………………..10
д) Тригонометрическая функция………………..11
o
Y=sin x……………………………….…11
o
Y=cos x…………………………………13
o
Y=tg x…………………………………..14
o
Y=ctg x…………………………………15
е) Обратно тригонометрическая функция..16
o
Y=arcsin x…………………………….16
o
Y=arccos x……………………………17
o
Y=arctg x……………………………..18
o
Y=arcctg x…………………………….19
· Список
литературы………………………………………..20
Определение
элементарных функций.
Функции
С (постоянная), xⁿ, ах, 1оgа х, sin х,
соs х, tg х, ctg x, аrcsin х,
аrccos х, аrctg х
называются простейшими элементарными функциями.
Применяя
к этим функциям арифметические действия или операции функции
от функции, мы будем получать новые более сложные функции, которые называются элементарными функциями.
Например,
у = sin (xⁿ) — элементарная функция.
Элементарные функции
нам известны из школьной математики.
Функция, и её свойства:
Функция - зависимость переменной у от переменной x,
если каждому значению х
соответствует единственное значение у.
●Переменная х - независимая переменная или аргумент.
●Переменная у - зависимая переменная.
●Значение функции - значение у, соответствующее заданному
значению х.
●Область определения функции - все значения, которые принимает независимая переменная.
●Область значений функции (множество
значений)- все значения, которые принимает функция.
●Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется
равенство f(x)=f(-x).
●Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется
равенство f(-x)=-f(x).
●Возрастающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1<
х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2).
●Убывающая функция - если для любых х1 и х2, таких, что х1<
х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2).
Способы
задания функции:
●Чтобы задать функцию,
нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно
найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является
способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x) - заданная функция с переменной х. В
таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
●На практике часто используется табличный
способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая
значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента.
Определение
функции.
Функция,
прежде всего, – это одно из основных понятий математического анализа, и чтобы
далее рассматривать различные функции, следует дать определение функции.
Пусть
даны две переменные x и y
с областями изменения X и Y.
Предположим, что переменной x может быть приписано
произвольное значение из области X без
каких-либо ограничений. Тогда переменная y
называется функцией от переменной x в
области её изменения X, если по некоторому
правилу или закону каждому значению x из X
ставится в соответствие одно определенное значение y
из Y.
Независимая переменная x
называется также аргументом функции.
В этом определении существенны
два момента: во-первых, указание области X
изменения аргумента x (её называют также
областью определения функции) и, во-вторых, установление правила или закона
соответствия между значениями x и y
(Область Y изменения функции обычно не указывается,
поскольку самый закон соответствия уже определяет множество принимаемых
функцией значений).
Можно в определении понятия
функции стать на более общую точку зрения, допуская, чтобы каждому значению x
из X отвечало не одно, а несколько значений y
(и даже бесконечное множество их). В подобных случаях функцию называют
многозначной, в отличие от однозначной функции, определенной выше.
Для указания того факта, что y
есть функция от x, пишут:
y=f
(x), y=g
(x), y=F
(x) и т.п.
Буквы f,
g, F, … характеризуют именно то правило, по которому
получается значение x, отвечающее заданному
y. Поэтому, если одновременно рассматриваются
различные функции от одного и того же аргумента x,
связанные с различными законами соответствия, их не следует обозначать одной и
той же буквой.
Хотя именно буква f
связана со словом “функция”, но для обозначения функциональной зависимости
может применяться и любая другая буква; иногда даже повторяют одну и ту же
букву y: y=y(x).
В некоторых случаях пишут аргумент и в виде значка при функции, например, .
Если, рассматривая функцию y=f(x),
мы хотим отметить её частное значение, которое отвечает выбранному частному
значению x, равному , то
для обозначения его употребляют символ f().
Например, если
F (x)=, g
(t)=, то f(1)
означает численное значение функции f(x)
при x=1, т.е. попросту число , аналогично, g(5)
означает число 2, и т. д.
Теперь обратимся к самому
правилу, или закону соответствия между значениями переменных, которое
составляет сущность понятия функциональной зависимости.
Наиболее просто осуществление
этого правила с помощью формулы, которая представляет функцию в виде
аналитического выражения, указывающего те аналитические операции или действия
над постоянными числами и над значением x,
которые надо произвести, чтобы получить соответствующее значение y.
Этот аналитический способ задания функции является наиболее важным для
математического анализа.
Однако будет ошибочным думать,
что это – единственный способ, которым может быть задана функция. В самой
математике нередки случаи, когда функция определяется без помощи формулы.
Такова, например, функция E(x)
– “целая часть числа x”. Например,
E (1)=1, E
(2,5)=2, E ()=3, E
(-)=-4
и. т.,
хотя никакой формулы, выражающей E(x),
у нас нет.
Функция, все значения которой
равны между собой, называется постоянной. Постоянную функцию обозначают C
(f (x) = C).
Функция f
(x) называется возрастающей (убывающей) на
множестве X, если для любой пары чисел и этого множества из неравенства < следует, что f
() < f
() (f
( ) > f
( )).
Функция f(x)
называется четной, если область её определения X есть
множество, симметричное относительно начала координат, и при любом x
из X имеет место равенство f(-x)=f(x).
Функция f(x)
называется нечетной, если область её определения X есть
множество, симметричное относительно начала координат, и если при любом x
из X имеет место равенство f(-x)=-f(x).
График нечетной функции симметричен
относительно начала координат.
Сумма и разность двух четных
(нечетных) функций есть функция четная (нечетная).
Действительно, пусть y(x)=f(x)
+ g(x).
Тогда, если f(x) и g(x)
– четные, то y (-x)
= f(-x) + g(-x)
= f (x) + g
(x) = y (x).
Если же f (x) и g
(x) – нечетные функции, то функция y
(x) также будет нечетной, y
(-x) = f (-x)
+ g (-x) = -f
(x) – g (x)
= -[f (x) + g
(x)] = -y (x).
(Для разности доказательство аналогичное).
Произведение двух четных или
двух нечетных функций есть функция четная, а произведение четной функции на
нечетную – нечетная функция.
В самом деле, пусть y
(x) = f (x)*g
(x) и f (x)
и g (x) –
четные функции, тогда y (-x)
= f (-x)*g
(-x) = f (x)*g
(x) = y (x);
если f (x) и g
(x) – нечетные функции, то y
(-x) = f (-x)*g(-x)
= [-f (x)]*[-g(x)]
= y (x); если
же f (x) –
четная, а g (x) –
нечетная функции, то y (x)
= f (x)*g
(-x) = f (x)*[-g
(x)] = -y (x).
Функция f
(x) называется периодической, если
существует число Т 0
такое, что для любого значения x из области
определения функции выполняется равенство f (x
- T) = f (x)
= f (x + T).
Число T называется периодом функции. Если T
– период функции, то её периодом является также число – T,
так как f (x-T)
= f [(x - T)
+T] = f (x).
Если T
– период функции, то её периодом будет также и число kT,
где k – любое целое число (k=1, 2, 3; …). Действительно, f
(x 2T)
= f [(xT)T]
= f (xT)
= f (x), f
(x 3T)
= f [(x 2T)
T]
= f (x 2T)
= f (x 2T)
= f (x);обычно
под периодом функции понимают наименьший из положительных периодов, если такой
период существует.
Исследование элементарных
функций .
Основные простейшие элементарные функции:
·
Линейная функция y=kx+b;
·
Степенная функция y=xⁿ;
·
Квадратичная функция;
·
Показательная функция (0
<a1);
·
Логарифмическая функция x
(0 < a1);
·
Тригонометрические функции: sin x,
cos x, tg x,
ctg x;
·
Обратные тригонометрические функции: arcsin x,
arccos x, arctg x,
arcctg x.
Линейная функция.
y = kx + b
1. Областью определения
линейной функции служит множество R всех действительных
чисел, так как выражение kx+b
имеет смысл при любых значениях x
2. Множеством значений линейной
функции при k¹0 является множество R всех действительных чисел
3. Функция не является ни
четной, ни нечетной, так как f (-x)
= -kx + b .
4. Функция не является
периодической, за исключением частного случая, когда функция имеет вид y=b.
5. Асимптоты графика функции не существуют.
6. Функция возрастает при k>0, функция убывает при k<0.
7. Функция не является ограниченной.
8. График линейной функции y=kx+b
– прямая линия. Для построения этого графика, очевидно, достаточно двух точек,
например A(0; b)
и B(-b/k; 0), если k¹0. График линейной функции y=kx+b
может быть также построен с помощью параллельного переноса графика функции y=kx. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая y=kx и положительное направление оси Ox, поэтому k называется угловым коэффициентом.
Если k>0, то этот угол острый, если k<0 – тупой; а при k=0
прямая параллельна оси Ox.
9. Точек
перегиба не существует.
10. Не существует экстремальных
точек.
y=kx+b (k<0)
y=kx+b (k>0)
Степенная
функция.
Степенная функция с натуральным
показателем y=xn,
где n-натуральное число.
1. Область
определения функции: D(f)= R;
2. Область
значений: E(f)= (0;+∞);
3. Функция является
четной, т.е. f(-x)=f(x);
4. Нули функции: y=0 при x=0;
5. Функция убывает
при x(-∞;0];
6. Функция
возрастает при x[0;+ ∞);
7.
a) нет вертикальных асимптот
b) нет наклонных асимптот
8. Если n-четное, то экстремум функции x=0
Если n-нечетное, то экстремумов функции
нет
9. Если n-четное, то точек перегиба нет
Если n-нечетное, то точка перегиба x=0
10. График функции:
a) Если n=2, то графиком функции является квадратная
парабола;
b)Если п = 3, то функция задана формулой у
= х3. Ее графиком является кубическая парабола;
c)Если п — нечетное натуральное число, причем
п 1, то
функция обладает свойствами теми же, что и у = х3.
[2]
Рассмотрим свойства степенной функции с нечетным
показателем (п1):
1. Область определения функции: D(f)= R;
2. Область значений [0,+∞];
3. Функция является четной, т.е. f(-х)=f(х);
4. Нули функции: у = 0 при х = 0;
6. График функции: [1]
Рассмотрим свойства степенной функции с четным
показателем :
1. Область определения функции: D(f)= R;
2. Область значений: E(f)= R;
3. Функция является нечетной, т.е. f(-х)=-f(х);
4. Нули функции: у = 0 при х = 0;
5. Функция возрастает на всей области
определения.
6. График функции: [2]
Показательная функция.
Y = ax
1.
Область
определения функции: -∞ < х < +∞
2.
Множество
значений функции: 0 < y < +∞
3.
Функция ни
четная, ни не чётная, так как f(-x)
= a-x
4.
Функция не
является периодической.
5.
Асимптоты
графика функции:
Вертикальных асимптот не существует,
Горизонтальная асимптота у = 0
6.
Если а > 1,
то функция возрастает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис.1);
7.
если 0 < a < 1, то функция убывает на промежутке -∞ < x < +∞ (на рис. 2);
8.
Точка (0; 1) –
единственная точка пересечения с осями координат.
9. Не существует точек перегиба.
10. Не существует экстремальных точек.
[2]
[1]
Логарифмическая функция.
Y = logax
1.
Область
определения функции: 0 < x < ∞
2.
Множество
значений функции: -∞ < y <
+∞
3.
Функция ни
четная, ни нечетная, так как f(-x)
= loga(-x)
4.
Функция не
периодическая
5.
Асимптоты
графика функции:
Вертикальные
асимптоты х = 0
Горизонтальных
асимптот не существует
6.
Если a > 1, то функция возрастает на промежутке 0 < x < +∞ (на рис.1);
если 0 < a <
1, то функция убывает на этом же промежутке (на рис.2);
7.
Точка (1; 0) –
единственная точка пересечения с осями
координат.
8.Не существует точек перегиба.
9.Не существует экстремальных точек.
[2]
[1]
Тригонометрические
функции.
Функция y=sin x
Свойства функции y=sin x:
1.
Область определения
функции: D(f)=R;
2.
Область значений: E(f)=[-1;1];
3.
Функция является
нечетной, т.е. sin(-x) = - sin x;
4.
Функция периодическая с
положительным наименьшим периодом 2π;
5.
Нули функции: sin x = 0
при x = πk, kZ;
6.
Функция принимает
положительные значения: sin x>0 при x( 2πk; π+2πk),
kZ;
7.
Функция принимает
отрицательные значения: sin x<0 при x( π+2πk; 2π+2πk),
kZ;
8.
Функция возрастает на
[-1;1] при x[
-+2πk; +2πk], kZ;
9.
Функция убывает на [1;-1]
при x[+2πk; +2πk], kZ;
10.
Функция принимает
наибольшее значение, равное 1, в точках x=+2πk, kZ;
11.
Функция принимает
наименьшее значение, равное -1, в точках
x=+2πk,
kZ;
b) нет горизонтальных асимптот
13. Графиком функции
является синусоида.
Функция y=cos x
Свойства функции y=cos x:
1.
Область определения
функции: D(f)=R;
2.
Область значений: E(f)=[-1;1];
3.
Функция является
четной, т.е. cos (-x) = cos x;
4.
Функция периодическая с
наименьшим положительным периодом 2π;
5.
Нули функции: cos x = 0
при x = +πk, kZ;
6.
Функция принимает
положительные значения: cos x>0 при x( -+2πk; +2πk), kZ;
7.
Функция принимает
отрицательные значения: cos x<0 при x( +2πk; +2πk),
kZ;
8.
Функция возрастает на
[-1;1] при x[
-π+2πk; 2πk],
kZ;
9.
Функция убывает на [1;-1]
при x[2πk; π+2πk], kZ;
10.
Функция принимает
наибольшее значение, равное 1, в точках x=2πk, kZ;
11.
Функция принимает
наименьшее значение, равное -1, в точках
x=π+2πk, kZ;
12.
a) нет вертикальных асимптот
b) нет горизонтальных асимптот
13.
Графиком функции является
косинусоида:
Функция y=tg x
Свойства функции y=tg x:
1.
Область определения
функции: D(f)=R , кроме чисел вида x =+πk,
kZ;
2.
Область значений: E(f)=R;
3.
Функция является нечетной,
т.е. tg (-x) = - tg x;
4.
Функция периодическая с
наименьшим положительным периодом π;
5.
Нули функции: tg x = 0
при x = πk, kZ;
6.
Функция принимает
положительные значения: tg x>0 при x( πk; +πk), kZ;
7.
Функция принимает
отрицательные значения: tg x<0 при x( -+πk; πk), kZ;
8.
Функция возрастает на (-;+∞) при x(-+πk ; +πk
), kZ;
9.
a)
вертикальные асимптоты x=
+ πn
b) наклонных асимптот нет
10.
Графиком функции является
тангенсоида:
Функция y=ctg x
Свойства функции y=ctg x:
1.
Область определения
функции: D(f)=R , кроме чисел вида x = πn
, где n
Z;
2.
Область значений: E(f)=R;
3.
Функция является
нечетной, т.е. ctg (-x) = - ctg x;
4.
Функция периодическая с
наименьшим положительным периодом π;
5.
Нули функции: ctg x = 0
при x = +πn, nZ;
6.
Функция принимает
положительные значения: ctg x>0 при x( πn; +πn), nZ;
7.
Функция принимает
отрицательные значения: ctg x<0 при x( +πn; π +πn),
nZ;
8.
Функция убывает в каждом
из промежутков (πn ; π +πn), nZ;
9.
a) вертикальные асимптоты x= πn и x=0
b) наклонных асимптот нет
10.
Графиком функции является
котангенсоида: y= ctgx
Обратно
тригонометрические функции.
Функция y=arcsin x
1.
Область определения
функции: D(f)=[-1;1];
2.
Область значений: E(f)=[-; ];
3.
Функция является
нечетной, т.е. arcsin (-x) = - arcsin x;
4.
Нули функции: arcsin x = 0
при x = 0;
5.
Функция возрастает на
[-1;1];
6.
Функция принимает
наибольшее значение при
x=1;
7.
Функция принимает
наименьшее значение при
x= -1;
8.
a) вертикальных асимптот нет
b) наклонных асимптот нет
9.
График функции y = arcsin x:
Функция y=arccos x
Свойства функции y=arccos x:
1.
Область определения
функции: D(f)=(-1;1);
2.
Область значений: E(f)=[0; π];
3.
Функция не является
ни четной, ни нечетной;
4.
Нули функции: arccos x = 0
при x = 1;
5.
Функция убывает на (-1;1);
6.
Функция принимает
наибольшее значение π при x =-1;
7.
Функция принимает
наименьшее значение 0 при x= 1;
8.
a) вертикальные асимптоты x=-1 и x=1
b)наклонных
асимптот нет
9.
График функции y = arccos x:
Функция y=arctg x
Свойства функции y=arctg x:
1.
Область определения
функции: D(f)=R;
2.
Область значений: E(f)= (-; );
3.
Функция является
нечетной, т.е. arctg (- x) = - arctg x;
4.
Нули функции: arctg x = 0 при
x = 0;
5.
Функция возрастает на R;
6.
a) нет вертикальных асимптот
b)
наклонные
асимптоты y=+ πn
7.
График функции y = arctg x:
Функция y=arcctg x
Свойства функции y=arcctg x:
1.
Область определения
функции: D(f)=R;
2.
Область значений: E(f)= (0; π
);
3.
Функция не является
ни четной, ни нечетной;
4.
Нули функции: arctg x = 0 при
x = ;
5.
a) нет вертикальных асимптот
b)
наклонные асимптоты y= πn
6.Функция убывает на R;
7.График функции y = arcctg x:
Литература:
ü Э.С. Маркович «Курс высшей
математики»
ü А.Г. Цыпкин «Справочник по
математике»
ü М.М. Потапов, В.В. Александров,
П.И. Пасиченко «Алгебра и анализ элементарных функций»