Тема: Функции дискретного преобразования

  • Вид работы:
    Контрольная работа
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
  • Формат файла:
    MS Word
  • Размер файла:
    201,22 Кб
Функции дискретного преобразования
Функции дискретного преобразования
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Задание 1

Доказать, что множество функций на отрезке [-π; π] образуют систему ортонормированных функций.

Решение:

Систему функций (конечную или бесконечную) называют ортогональной на отрезке , если все функции этой системы являются попарно ортогональными на данном отрезке, т.е.

, , .

Ортогональную система функций () на отрезке называют ортонормированной системой, если

.

Любая ортогональная на система функций () с ℕ может быть нормирована. Для этого следует разделить каждую функцию системы () на ее норму. В результате будет получена ортонормированная система функций .

Проверим условие ортогональности для заданной системы.


и так далее.

Значит, все функции данной системы попарно ортогональны.

Проверим условие нормированности функций системы

Найдем вадраты норм всех функций:


Следовательно, данная система функций является ортогональной, но не является нормированной.

функция дискретный фурье сигнал

Задание 2

Разложить в тригонометрический и комплексный ряды Фурье пилообразный сигнал на отрезке [-π; π], показанный на рисунке.


Решение:

Ряд Фурье периодической функции с периодом , которая определена на сегменте , это ряд вида:

,

где

Если данный ряд является сходящим, то его суммой является периодическая функция с периодом , т.е. .

Когда является нечетной функцией, ее ряд Фурье содержит только синусы, т.е.


где

Заданная функция имеет период и задана на интервале формулой:

Данная функция удовлетворяет условиям Дирихле и, следовательно, её можно разложить в ряд Фурье. Функция является нечетной.

Находим коэффициенты Фурье:

:

т.к. .

Следовательно, ряд Фурье функции будет иметь вид

.

Так как функция удовлетворяет условиям Дирихле, то в любой точке непрерывности сумма ряда равна значению функции. В точках и сумма ряда равна нулю. Покажем графики: функции и частичных сумм ряда, содержащие 1, 2 и 3 члена на рисунке. График частичных сумм ряда приближается к графику функции при увеличении членов суммы.


y


Для функций с произвольным периодом ряд Фурье в комплексной форме имеет вид

,

где

.

Находим комплексную форму ряда Фурье заданной функции. По формуле:

По формулам Эйлера

.

Следовательно:

.

Задание 3

Используя специализированные программные средства (Matlab, LabVIEW и т.д.), нужно:

Выполнить дискретное преобразование Фурье данного сигнала, используя функции из специальных библиотек.

Построить графики действительных частей коэффициентов Фурье, мнимых частей коэффициентов Фурье, спектра амплитуд. Считая, что исходный цифровой сигнал был дискретизирован с определенной частотой выборки fs, подписать на графиках частоты в Гц. Частота выборки fs выбирается самостоятельно.

Решение:= linspace(-5,5,512);%Задание вектора времени = exp(-t.^2);%Вычисление дискретной функции = fft(f);%Вычисление преобразования Фурье (211); plot (t,f);%Отрисовка исходной функции subplot (212); (1:512, F);%Фурье образ как функция номера


Дискретное преобразование Фурье. а) Исходная функция - Действительная часть преобразованной функции, построенная как функция номера

=512;%Число точек T=10;

%Интервал времени =T/(N-1); =linspace(-5,5,N);%Задание вектора времени=exp(-t.^2);%Вычисление дискретной функции =fft(f);%Вычисление преобразования Фурье (211); plot(t,f);%Отрисовка исходной функции =F(1:N/2+1);%Выделение первых N/2+1 (положительные частоты) =F(N/2+1:N);%Выделение спектра отрицательных частот =[F2,F1];%Объединение спектра

%Вычисление вектора частот = (N-1)/(N*T);

%Шаг частоты =1/(2*dt);

%Частота = -nuNyq+dnu*(0:N); (212); (nu (N/2+1-20:N/2+1+20),real (F(N/2+1-20:N/2+1+20)))


Литература

1. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Радио и связь, 1986. - 512 с.

. Колобов А.М. Избранные главы высшей математики. - Ч. 1. Ряд Фурье. Интеграл Фурье. Операционные исчисления. - Минск: Высшая школа, 1985. - 220 с.

. Ефимов А.В. Математический анализ (специальные разделы) - Ч. 1. Общие функциональные ряды и их приложение. - М.: Высшая школа, 1980. - 279 с.

Похожие работы

 
  • Информационные характеристики дискретного канала
    .2 Функции дискретного канала. Функции блоков источника: -АЦП (Аналого-цифровой преобразователь) - преобразование аналогового сигнала в дискретный .
    СкачатьСкачать документ Читать onlineЧитать online
  • Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций
    , (1.1) где n – номер дискретного отсчета непрерывной функции ; - период дискретизации непрерывной...
    ... дискретно спектра, которые приводят к алгоритмам быстрого преобразования Фурье. Алгоритмы БПФ основаны на устранении избыточности вычислений.
    СкачатьСкачать документ Читать onlineЧитать online
  • Дискретно -аналоговое представление
    ...по которым исходные непрерывные функции могут быть восстановлены с заданной точностью. Роль дискретных отсчетов выполняют, как...
    ...а цифровая форма сигналов облегчает унификацию операций преобразования информации на всех этапах ее обращения.
    СкачатьСкачать документ Читать onlineЧитать online
  • Обобщенные дискретные представления информации
    ...переменных, по которым исходные непрерывные функции могут быть восстановлены с заданной точностью. Роль дискретных отсчетов выполняют, как правило...
    Если уровни квантования нумерованы, то результатом преобразования является число, которое может...
    СкачатьСкачать документ Читать onlineЧитать online
  • Дискретные сигналы
    ...в виде решетчатой функции X(nT). Частота переключения электронного ключа fд и шаг дискретизации T связаны...
    Здесь применяются формулы одностороннего преобразования Фурье, так как начало отсчета совмещается с началом действия дискретного сигнала.
    СкачатьСкачать документ Читать onlineЧитать online
  • Принципы построения систем передачи дискретных сообщений
    )непрерывная функция дискретного аргумента.
    Система преобразования сообщения в сигнал на передаче и обратного преобразования на приёме может быть представлено в виде таблицы, в которой каждое сообщение из конечного множества А сопоставляется...
    СкачатьСкачать документ Читать onlineЧитать online
  • Дискретное преобразование Фурье
    Программирование дискретного преобразования Фурье в пакете Matlab. Изучение свойств ДПФ. 2 Выполнение заданий. Задание 1-2. Разработайте функцию DFT, вычисляющую ДПФ от входного вектора, не используя функцию Matlab FFT, и рисующую графики...
    СкачатьСкачать документ Читать onlineЧитать online

Не нашел материала для курсовой или диплома?
Пишем качественные работы
Без плагиата!