Основы теории графов и ее применение

Основы теории графов и ее применение

1. Сформировать топологическую модель электронной схемы (рис. 1) для полного диапазона частот

Рисунок 1

В качестве эквивалентной схемы биполярного транзистора воспользуемся низкочастотной физической Т-образной эквивалентной схемой, приведенной на рис. 2

Рисунок 2

Схема замещения по переменному току для полного диапазона частот приведена на рис. 3:

Рисунок 3

При составлении схемы замещения по переменному току из принципиальной схемы рис. 1 исключаем путем закорачивания источник питания Е, так как это источник постоянной ЭДС. Источник входного сигнала в схеме замещения по переменному току представляем ветвью, содержащей последовательно включенные идеальный источник переменной ЭДС, e_c и внутреннее сопротивление r_c.

Для формирования математической модели в полном диапазоне частот в схеме замещения по переменному току учитываются все реактивные компоненты исходной схемы. Резисторы R₁ и R₂ для переменного сигнала включены параллельно и в схеме замещения по переменному току представлены одной ветвью .

Параллельно включенные конденсатор С₂ и резистор R₅, также представлены одной ветвью с эквивалентной проводимостью.

Объединим параллельные ветви (рисунок 4):

Рисунок 4

Замещая в схеме на рис. 4, биполярный транзистор, эквивалентной схемой замещения (рис. 2), получаем схему замещения по переменному току, содержащую только двухполюсные компоненты, которая приведена на рис. 5:

Рисунок 5

Составим полюсной граф, соответствующий схеме замещения (рис. 5), который представлен на рис. 6:

Рисунок 6

Система координат графа, представленного на рис. 7, содержащего  вершин и l=10 ветвей, должна включать  независимых сечений и  независимых контура.

Рисунок 7 - Полюсный граф

Для графа (рис. 6), v=6, l=10 матрица главных сечений имеет вид:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Подматрица главных сечений для y-ветвей  и подматрица главных сечений для z-ветвей :

2 5 6 9 1 3 4 7 8 10

.

Матрица главных контуров графа (рис. 6) имеет вид:

2 3 4 5 6 7 8 9 10

Подматрица главных контуров для y-ветвей  и подматрица главных контуров для z-ветвей :

5 6 9 1 3 4 7 8 10

, .

Обобщенное матричное топологическое уравнение первого и второго законов Кирхгофа:

,

где ,  - обобщенные топологические матрицы;

,  - обобщенные векторы токов и напряжений ветвей;

,  - векторы токов и напряжений y-ветвей; ,

 - векторы токов и напряжений z-ветвей.

Обобщенное матричное компонентное уравнение:

,

где  - обобщенная компонентная матрица;

 - вектор внешних воздействий.

Матрица  проводимостей y-ветвей:

2 5 6 9

.

Матрица  сопротивлений z-ветвей:

1 3 4 7 8 10

.

Матрица  управляющих параметров зависимых источников тока, управляемых током:

3 4 7 8 10

.

Матрица  управляющих параметров зависимых источников напряжения, управляемых напряжением:

5 6 9

Вектор  задающих токов и вектор  задающих ЭДС:

, .

Для формирования системы координатных уравнений для ветвей необходимо обобщенное компонентное уравнение подставить в обобщенное топологическое уравнение:

,

где  - матрица эквивалентных параметров;  - обобщенный вектор внешних воздействий.

Используя выражения для обобщенных топологических и компонентных матрично-векторных параметров, можно записать:

где  - вектор эквивалентных задающих токов сечений;  - вектор эквивалентных контурных ЭДС.

Формирование матричной алгебраической модели электрической схемы начнем с составления топологической модели схемы по переменному току. Топологическая модель по переменному току для анализа схемы в контурном базисе представлена на рис. 8:

Рисунок 8

Схему рисунок 8 преобразуем к схеме рисунок 9 содержащей только двухполюсные компоненты, заменив транзистор его эквивалентной схемой. В результате получаем схему:

Рисунок 9

При составлении матричной алгебраической модели данной схемы в контурном базисе необходимо выбрать систему Nk=Nв-Nу+1=10-7+1=4. Выберем систему контуров, показанную на рисунке 9.

Составим укороченную матрицу сопротивлений. Так как в схеме 4 контура, матрица будет иметь размерность 4х4.

Составление матрицы начнем с заполнения диагональных элементов Zii матрицы. Диагональные элементы матрицы заполняются собственными сопротивлениями контуров. Недиагональные элементы Zij матрицы сопротивлений заполняются взаимными сопротивлениями контуров.

Зависимый источник напряжения управляемый током, отображается в матрице сопротивлений его управляющим параметром r_m.

Так как зависимый источник входит в контуры 2 и 3, а управляющий ток i_э - в контур 3, то управляющий параметр r_m добавляется к элементам матрицы сопротивлений, расположенным на пересечении второй и третьей строк, третьего столбца.

В соответствии с формулами связи вторичных параметров с матрицей сопротивлений схемы:

,

где  - определитель матрицы сопротивлений схемы.

 - суммарные алгебраические дополнения;

a, c - номера контуров, содержащих источник сигнала;

b, d - номера контуров содержащих сопротивление нагрузки.

Для нашего случая а=1, b=4, c=d=0, следовательно:

электронный передаточный матричный граф

3. Определить передаточную схемную функцию методом сигнальных графов, используя сигнальный граф Мэзона

Схема замещения по переменному току для полного диапазона частот представлена на рис. 10.

Рисунок 10

Составляем сигнальный U-граф Мэзона пассивной части схемы:

Рисунок 11 - Сигнальный U-граф Мэзона пассивной части схемы

В качестве модели биполярного транзистора воспользуемся сигнальным U-графом Мэзона вида

Рисунок 12 - Сигнальный U-граф Мэзона транзистора VT1

Рисунок 13 - Суммарный однородный сигнальный U-граф Мэзона

В качестве задающей переменной примем входной ток, который отобразим в графе вершиной-истоком и дугой с единичной передачей, направленной от вершины к вершине 1 (рис. 14).

Рисунок 14 - Суммарный неоднородный сигнальный U-граф Мэзона

С целью упрощения определения схемных функций нормализуем полученный сигнальный граф путем исключения петель. Нормализованный граф Мэзона представлен на рис. 15, причем передачи его дуг определяются выражениями:

; ; ;

; ;

;

;

;

.

Рисунок 15 - Нормализованный сигнальный U-граф Мэзона

Выражение для определителя сигнального графа Мэзона в общем случае имеет вид:

,            (1)

где q - фактор элементарного сигнального графа Мэзона, определяемый количеством входящих в него контуров;

Q - максимально возможное значение фактора элементарных графов, равное максимально возможному числу одновременно не касающихся контуров;

 - число элементарных графов с фактором q;

 - передача r-го контура i-го элементарного графа.

Сигнальный граф Мэзона (рис. 15) содержит 7 контуров с передачами:

, , , , , ,,

а также три пары не касающихся контуров:

 и .

 и .

 и .

Таким образом, в формуле (1) границы индексов суммирования принимают значения , , , а формула может быть записана в виде:

При определении коэффициента передачи по напряжению вершина, соответствующая задающей переменной , не является вершиной-истоком, поэтому формула Мэзона принимает вид:

где  - передача k-го пути из вершины-истока  в вершину 5;

 - величина дополнения пути ;

 - определитель сигнального графа Мэзона.

Из графа следует:

Из графа следует: . Величину дополнения  можно получить, устраняя из выражения для определителя графа слагаемые, содержащие передачи контуров, касающихся пути :

Коэффициент передачи по току и передаточная проводимость могут быть найдены по формулам

k_I = Y_н Z_пер

Y_пер = Y_нk_U

При определении передаточного сопротивления задающая переменная  представлена в графе вершиной-истоком, следовательно, формула Мэзона имеет вид:

,

где  - передача k-го пути из вершины-истока  в вершину 5;  - величина дополнения пути ;  - определитель сигнального графа Мэзона.

Из графа следует:

Тогда

Такие схемные функции, как коэффициент передачи по току и передаточная проводимость, не могут быть найдены непосредственно по сигнальному U-графу Мэзона, однако могут быть выражены через найденные схемные функции с использованием соотношений:

,

.

Список использованной литературы

1.   Легостаев Н.С., Четвергов К.В. Методы анализа и расчета электронных схем: Учебное пособие. - Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2007. - 216 с.

2.      Методы анализа и расчета электронных схем: учебное пособие / Легостаев Н.С., Четвергов К.В. - Томск: Томск. гос. ун-т систем упр. и радиоэлектроники, 2006. - 110 с. - ISBN 5-86889-304-2.

.        Сигорский В.П., Петренко А.И. Алгоритмы анализа электронных схем. - Изд. 2-е, перераб и доп. - М.: Сов. радио, 1976. - 608 с.: ил.

.        Калабеков Б.А. и др. Методы автоматизированного расчета электронных схем в технике связи: Учеб. пособие для вузов / Б.А. Калабеков, В.Ю. Лапидус, В.М. Малафеев. - М.: Радио и связь, 1990. - 272 с.: ил.

5. Влах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем: Пер. с англ. - М.: Радио и связь, 1988. - 560 с.: ил.