Электромагнитные волны. Момент импульса электромагнитных волн

Электромагнитные волны. Момент импульса электромагнитных волн

Контрольная работа

Электромагнитные волны. Момент импульса электромагнитных волн

Содержание

1. Энергия электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга

. Свойства вектора Пойнтинга

. Импульс и давление электромагнитного поля

. Момент импульса электромагнитной волны

. Квантовое представление импульса и момента импульса ЭМ излучения

. Задачи

Литература

1. Энергия электромагнитных волн. Вектор Пойнтинга

Электромагнитное поле обладает энергией. Плотность энергии электромагнитного (ЭМ) поля равна:

= wэ + wм = (eeоЕ + mmоН)/ 2 (1.1)

При распространении ЭМ волн происходит перенос энергии поля в пространстве. Вопрос о переносимой волной энергии можно рассматривать на основе уравнений Максвелла, описывающих ЭМ поле при отсутствии токов и свободных зарядов:

[Ñ H] =D (1.2) ÑD=0 (1.4)

[Ñ E] = -B (1.3) ÑB=0 (1.5)

Скорость изменения плотности энергии ЭМ поля в данной точке равна:

(wэ + wм)/dt= eeоЕЕ + mmоНН (1.6)

Правую часть (1.6) можно с помощью уравнений Максвелла преобразовать следующим образом. Обе части уравнений (1.2) и (1.3) умножим скалярно соответственно на Е и Н:

E[ÑH] = eeоEE (1.7)[ÑE] = - mmоHH (1.8)

Вычтем почленно (1.7) из (1.8). Тогда в правой части получится выражение (1.6) для скорости изменения плотности энергии ЭМ поля с обратным знаком.

H[ÑE ] - E[ÑH] = - d(wэ + wм)/dt (1.9)

Преобразуем левую часть уравнения (1.9), используя теорему векторного анализа: div [ ab ] = b rot a - a rot b. С помощью этого тождества выражению (1.9) можно придать вид уравнения непрерывности для плотности энергии ЭМ поля w (подобно уравнению непрерывности для плотности заряда, выражающему закон сохранения заряда):

/dt = - div S, (1.10)

где вектор S = [EH] (1.11) имеет смысл плотности потока энергии ЭМ поля и называется вектором Пойнтинга.

Уравнение (1.10), полученное как следствие уравнений Максвелла, выражает закон сохранения энергии для ЭМ поля.

Проинтегрируем обе части уравнения (1.10) по некоторому объему V, ограниченному замкнутой поверхностью s. Интеграл по объему от div S в правой части преобразуем при помощи математической теоремы Остроградского - Гаусса в интеграл по поверхности s, ограничивающей этот объем:

òwdV /dt = - ò Sds (1.12)s

Уравнение (1.12) выражает закон сохранения энергии для ЭМ поля в интегральной форме и говорит о том, что изменение энергии ЭМ поля в каком-то объеме V, где нет зарядов и токов, равно потоку энергии в этот объем через охватывающую его замкнутую поверхность. Причем, если энергия внутри объема убывает, то поток направлен наружу; если энергия внутри объема увеличивается, то поток направлен внутрь объема.

2. Свойства вектора Пойнтинга

Рис. 1

. Векторы E, H, S образуют правую тройку. В изотропной среде (однородный диэлектрик) вектор S параллелен фазовой скорости ЭМ волны, т.е. S || u.

. Учитывая ортогональность векторов E и Н и связь между их модулями: Е = ummoH, для модуля плотности потока энергии получим:

S = Ömmo/eeo H2 = Öeeo/mmo E2 ; S= eeouE2 (1.13)

Для вакуума:

= eoсE2.

. Если Е и Н изменяются с частотой w, то S изменяется с частотой 2w (подобно мощности переменного тока):

S = eeouсos2(w t - kr) = eeou{1+сos[2(wt - kr)]} (1.14)

4. В силу инерционности приборов регистрирующих ЭМ волны, и очень большой частоты w физический интерес представляет лишь среднее по времени значение S. Производя в (1.14) усреднение по времени и учитывая, что <сos2(wt-kr)> =1/2, находим, что в гармонической волне средняя плотность потока энергии < S > во всех точках одинакова и равна:

< S > = eeo.

Эта величина называется интенсивностью:

= < S > = eeo.

Интенсивность - это энергия, переносимая волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

. Найдем связь между <S> и объемной плотностью энергии w.

Рис. 2

Пусть имеется единичная площадка, перпендикулярная направлению распространения волны. В единицу времени через эту площадку будет перенесена вся та энергия, которая локализована в параллелепипеде, объем V которого численно равен скорости волны u, т.е. S = wV = wu, где w - объемная плотность энергии.

3. Импульс и давление электромагнитного поля.

Поглощение ЭМ излучения в веществе, а также отражение и преломление на границе сопровождаются появлением механических сил, действующих на вещество.

Рассмотрим случай нормального падения ЭМ излучения на поверхность поглощающей среды. Падающая волна взаимодействует с электрическими зарядами среды.

Электрическое и магнитное поля волны действуют на положительный заряд q с силой:

F = Fк + Fл = qE + q [uB], (3.1)

где u - скорость движения заряда. В бегущей ЭМ

рис.1 волне в каждой точке в любой момент времени В=Е /с, где с - скорость ЭМ волны, следовательно, второе слагаемое в (3.1) всегда меньше первого. Поэтому движение заряда в основном определяется вектором Е, т.е. u направлено по Е и изменяет направление вместе с изменением направления Е.

Однако, силой Лоренца полностью пренебречь в (3.1) нельзя, т.к. именно с этой силой связано давление, оказываемое волной на среду.

Действительно, всякий раз при изменении направления Е меняет направление и В, поэтому вектор [uB] всегда имеет одно и то же направление, совпадающее с направлением распространения волны, определяемым вектором [EB], т.е. S.

Таким образом, заряд совершает движение, являющееся суперпозицией поперечных колебаний с частотой поля w, плюс движение с медленно возрастающей скоростью вдоль направления распространения волны.

Пусть есть волна (рис.1): Е = nxEx, B = nyBy и By = Ex /с. Скорость u заряженной частицы равна:

u= nxx + nyy + nzz,

где nx, ny, nz - единичные векторы по трем осям координат. Подставляя эти значения поля и скорости в уравнение (3.1) и, имея в виду, что

ny nz

[nx ny] = nz, [ny ny] = 0, [nz ny] = - nx и [ u B ] = x y z

Bx By Bz= nxqEx + qxBynz - qzBynx, (3.2)

это мгновенное значение силы, которое изменяется с частотой w. В силу инерционности приборов, регистрироваться могут только усредненные значения. Первый член (3.2) при усреднении за один цикл дает ноль, т.к.

Еx=Eocos(wt - kz). То же справедливо и для последнего члена zBy, поскольку мы предполагаем, что приращение скорости вдоль z в течение одного цикла пренебрежимо малым (ввиду малости силы Лоренца), т.е. считаем скорость z постоянной в течение одного цикла, а среднее по времени за один цикл от поля By даёт ноль.

Среднее значение от члена <qxBy nz > = 0, т.к. поперечная скорость x колеблется с той же частотой, что и By. Учитывая, что сила равна скорости изменения импульса, получим для усреднённых по времени значений выражение:

<F> = < dP/dt > = nzq < xBy > = nz xEx. (3.3)

Теперь рассмотрим работу, которую волна совершает над зарядом q. Мгновенное значение этой работы, совершаемой за единицу времени, равно изменению энергии волны за то же время:

dW/dt = uF =u (qE + q[uB]) = quE + 0 = qxEx

<dW/dt> = q<xEx> (3.3)

Из сравнения уравнений (3.3) и (3.4) получаем:

<>= `nz<> (3.5)

Итак, за интервал времени, в течение которого заряду q передается от бегущей волны энергия W, он приобретет также импульс

`R = `nz (3.6)

Отметим, что из выражения (3.5) для силы, действующей на заряженную частицу, выпала основная характеристика частицы - ее заряд q. Это позволяет обобщить формулу (3.5) и не связывать полученный результат с модельными представлениями электронной теории, использованными при ее выводе.

Пусть, например, вся энергия Wпадающей на площадку ds волны поглощается веществом. При этом веществу передается не только энергия W, но и импульс `P (вдоль направления распространения), связанный с энергией соотношением (3.6). Нельзя передать энергию W и не передать при этом импульс `nz. Это равносильно утверждению, что излучение обладает не только энергией, но и импульсом, связанным с энергией соотношением (3.6).

Мощность , поглощаемая площадкой ds, равна `S d, а сила, действующая на нее в соответствии с (3.5), равна:

Рис. 3

где ds' = `nz ds - это проекция площадки ds на направление, перпендикулярное

направлению распространения волны.

Давление - это сила, действующая по нормали к поверхности на единицу площади:

Fд= < êF ê> / ds' = < êï > / ds' = < ê`Sï>/ c = w, (3.7)

где w - объемная плотность энергии электромагнитного излучения.

При идеальном отражении поверхности тела передается импульс в два раза больше, следовательно, R=2w.

Для частично отражающей поверхности с коэффициентом отражения r давление Fд = (1+r)*w

4. Момент импульса электромагнитной волны

Если на среду падает циркулярно поляризованная волна, то она вызывает круговое движение зарядов, т.е. передает зарядам вещества момент импульса.

Пусть вектор E электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль оси Z (рис.3), имеет постоянную величину и вращается (при фиксированном Z) с угловой скоростью w вокруг оси Z, образуя с вектором B и осью Z правый винт.(ось Z выходит из плоскости рисунка).Эта волна может быть представлена как суперпозиция двух гармонически магнитно поляризованных волн Ex и Ey, причем Ex опережает по фазе Ey на p/2.Магнитное поле B (как всегда в бегущей волне) B=[S´E].

Рис. 4 - Циркулярно поляризованная волна вызывает движение заряда q по круговой траектории.

Под действием вектора E заряд q будет вращаться с угловой скоростью w. Заряд так же медленно движется в направлении +Z под действием давления излучения. Однако этим движением можно принебречь. На заряд q действует момент силы:

M=[r F]=[r qE]+q[r[Vq B]] (4.1)

Реальный интерес представляет среднее за один цикл значение <M>. Из рис.3 видим, что вектор [Vq B] направлен вдоль оси Z, поэтому вектор [r[Vq B]] направлен вдоль - Vq. Так как среднее за один цикл от каждой компоненты Vq дает ноль (компоненты скорости являются гармоническими функциями), то магнитное поле не вносит никакого вклада в <M>, т.е.

<M>=<[r´F]>=<[r´qE]> (4.2)

Заметим, что для вращательного движения |wr|=|Vq| и кроме него sin(r,E)=cos(`Vq`E), тогда

|[r´q`E]|=|r| |q|sin(r)= |q| ||cos(`Vq,`E),

т.е. вектор [`r q] направлен вдоль оси Z (вдоль направления распространения волны) и имеет ту же величину, что и скалярное произведение q.

Поэтому можно записать:

`M = [`r q] = `nz()q (4.3)

Учтя, что момент силы `M - это скорость изменения момента импульса `L и что`Vq q представляет собой скорость, с которой совершается работа над зарядом q, получим:

<M> = <> =`nz<q> =<> (4.4)

В соответствии с уравнением (4.4) заряд q, поглощающей энергию W от поляризованной по кругу бегущей волны, в которой вращение происходит вокруг оси Z, поглощает так же и момент импульса `L, равный

`L = `nz (4.5)

Введя единичный вектор `w для направления вращения, (4.5) представим в виде:

`L = `w (4.6),

где `w - либо совпадает, либо противоположно направлению распространения волны. Таким образом заключаем, что нельзя передать зарядам вещества от поляризованной по кругу ЭМ волны энергию W и не передать при этом момент импульса `L. А это равносильно утверждению, что поляризованная по кругу ЭМ волна переносит момент импульса, который связан с энергией соотношением (4.6). У линейно поляризованной волны, которая может быть представлена как суперпозиция двух кругополяризованных волн (правой и левой) момент импульса отсутствует.

В области макроскопических явлений экспериментальное измерение электромагнитного импульса и момента импульса представляет очень трудную задачу в виду ничтожной величины связанных с ними эффектов. Однако в области атомарных явлений обмен моментом импульса между светом и веществом имеет весьма существенное значение.

Так, например, излучение света возбужденным атомом, вообще говоря, связано с изменением момента импульса электронов в атоме, причем это изменение по порядку величины сравнимо с абсолютной величиной момента атома.

5. Квантовое представление импульса и момента импульса ЭМ излучения

волна поле энергия атом

Как известно, электромагнитные плоские бегущие волны переносят энергию порциями, или квантами, равными DW =ћ w. В соответствии с уравнениями (3.6) и (4.6) такая волна при поглощении должна передавать квантованное значение импульса:

D =`nz =`nz(ћ) =`k*ћ (5.1)

где `k=`nz -волновой вектор, и квантованное значение момента импульса (если волна циркулярно поляризована):

D`L = `w=`wћ (5.2)

Для вакуума импульс и момент импульса фотона: `R=`kћ и `L=`wћ.

При этом масса электромагнитного излучения равна: mизл=. Масса фотона mф = ћ

6. Задачи

Задача 1. В вакууме распространяются две плоские электромагнитные волны:

`E1 = `E0cos(wt-kx), `E2 = `E0cos(wt-ky),где вектор `E0 параллелен оси Z. Найти среднее значение плотности потока энергии в точках плоскости х = у.

Решение:

Рис. 5

S=`S1+`S2| = |`S2| = e0 cE2

|S| = Ö2 |`S1|2 = e0cE²Ö2=e0c(Ö2)E02cos2(wt)

<|`S|> = (Ö2)e0cE02<cos2 (wt)> =(Ö2/2)E02e0c

Задача 2. Исходя из представлений, что свет состоит из фотонов, определить давление F световой волны с интенсивностью I на плоское зеркало, предполагая, что коэффициент отражения зеркала равен r, а угол падения a. Определить так же тангенциальную силу T, действующую на единицу поверхности зеркала со стороны падающего излучения.

Решение: Если N - число фотонов падающей волны в единице объема, то импульс фотонов, упавших в 1 сек. на зеркало, равен: (Nwħ/c)V,

Рис. 6

где V - объем параллелепипеда с площадью основания Scosa и высотой, равной скорости с, S- площадь зеркала: V=cScosa

Т.к. по смыслу Nwħ = w, где w - плотность энергии, то этот импульс равен

`R1= wScosa

где ` - единичный вектор вдоль направления падающей волны.

Импульс отраженных за 1 сек. фотонов равен:

R2=rwScosa

где rw - объемная плотность энергии и - единичный вектор в отраженной волне. Таким образом, изменение импульса световой волны за 1 сек вследствие отражения от зеркала равно:

`R2-`R1=-wScosa(-r)

В силу закона сохранения импульса изменение импульса зеркала будет таким же по величине, но противоположным по направлению. Поэтому сила `F, действующая на зеркало со стороны излучения, равна:

а сила `f, действующая на единицу площади зеркала:

=`F/S = wcosa(-r)

Проектируя силу `f на нормаль к зеркалу, получаем силу давления:

Fд=wcos²a(L+r)=I/c cos²a(1+r)

проектируя силу`f на плоскость зеркала, получаем тангенциальную силу Т:

T=wcosa[cos (90-a)-rcos (90-a)]=wcosa sina(1-r)=wsin2a(1-r)=sina(1-r)

Задача 3. Плоская световая волна падает на поверхность шара. Предполагая, что поверхность шара:1) абсолютно зеркальная либо 2) абсолютно поглощающая, выразить силу светового давления на шар, если известна интенсивность падающего излучения I.

Решение. Чтобы объединить оба случая, допустим, что коэффициент отражения поверхности шара равен r и не зависит от угла падения a.

Рис. 7

При этом для зеркальной поверхности r =1, поглощающей r=0. Выделим на поверхности освещаемой полусферы площадку ds, её ориентацию определяет единичный вектор нормали .

Воспользовавшись результатом задачи 2, силу, действующую на единицу площади шара можно записать:

`f = wcosa(-r)

В силу осевой симметрии задачи результирующая сила светового давления на шар должна быть направлена по оси х и равна:

`Fд=

где dS=2pR2sinada - элемент поверхности шара, радиус которого равен R, а интегрирование нужно проводить по освещенной половине шара. Имеем:

=wcosa+rwcosa cos2a=wcosa (1+rcos²a-rsin²a)д=ada=2pR2w[-(cos2a/2)ç - r(cosa/4)½ -r(sina/4)½]=

=2pR2w(+r - r) = pR2w = pR2.

Таким образом, сила светового давления на шар Fд не зависит от коэффициента отражения и одинакова для абсолютно зеркального и абсолютно поглощающего шаров.

Литература

1.      Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики. - М.: Наука, 1985. - 384 с.

.        Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики. - СПб.: СпецЛит, 2012. - 327 с.

.        Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. Учебное пособие для втузов. 4-е изд., испр. - М.: Высшая школа, 2012. - 718 с.

.        Савельев И.В. Курс общей физики в 3-х тт. Т.1 Механика. Молекулярная физика. Учебник. 4-е изд. - СПб.: Лань, 2004. - 432 с.

.        Савельев И.В. Курс общей физики в 3-х тт. Т.2 Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. Учебник. 4-е изд. - СПб.: Лань, 2004. - 496 с.

.        Савельев И.В. Курс общей физики в 3-х тт. Т.3 Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. - СПб.:, Лань, 2004. - 320 с.

.        Сивухин Д.В. Общий курс физики Т-1 Механика. Уч. пос. для вузов - М.: Физматлит, 2005.

.        Сивухин Д.В.Общий курс физики Т-2 Термодинамика и молекулярная физика. Уч. пос. для вузов - М.: Физматлит, 2005.

.        Сивухин Д.В.Общий курс физики Т-3 Электричество. Уч. пос. для вузов. - М.: Физматлит, 2004.

.        Сивухин Д.В. Общий курс физики Т-5 Атомная и ядерная физика. Учеб. пособие для вузов.- М.: Физматлит, 2006.

.        Трофимова Т. И. Курс физики: Учеб. пособие для вузов. - 7-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2011. - 542 с.

.        Трофимова Т. И., Павлова З. Г. - Сборник задач по курсу физики с решениями. Уч. пос. для вузов. - М: Высш. шк. 2009. - 591 с.

.        Чертов А. Г., Воробьёв А. А. - Задачник по физике. Уч. пособие для втузов. - 5 изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1988. - 527 с.