Сходящиеся последовательности
Последовательность, у которой
существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся
сходящейся называется расходящейся.
Определение: Последовательность
{xn} называется сходящейся, если существует такое число а, что
последовательность {xn-а} является бесконечно малой. При этом число
а называется пределом последовательности {xn}.
В соответствии с этим
определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и
имеет своим пределом число ноль.
Можно, также, дать еще одно
определение сходящейся последовательности: Последовательность {xn}
называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого
положительного числа e можно указать номер N такой, что при n³N все элементы xn этой последовательности
удовлетворяют неравенству:
|xn-a|<e.
При этом число а называется пределом последовательности.
Некоторые свойства сходящихся
последовательностей:
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один
предел.
Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности
{xn}. Тогда, используя специальное представление для элементов xn
сходящейся последовательности {xn}, получим xn=а+an, xn=b+bn, где an и bn –
элементы бесконечно малых последовательностей {an} и {bn}.
Вычитая данные соотношения,
найдем an-bn=b-a. Так
как все элементы бесконечно малой последовательности {an-bn} имеют
одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы
бесконечно малой последовательности {an} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е.
b=a. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство: Пусть {xn} - сходящаяся последовательность
и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:
xn=а+an,
где an- элемент
бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая
последовательность {an}
ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), то
найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |an|£А. Поэтому | xn | £ |a| + A для всех номеров n, что и означает
ограниченность последовательности {xn}. Теорема доказана.
Ограниченная последовательность
может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … -
ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта
последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из
последовательностей {xn-a} и {xn+1-a} являлась бы
бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых
последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(xn-a)
– (xn+1-a)}={xn– xn+1} была бы бесконечно
малой, что невозможно т.к. |xn– xn+1| = 2 для любого
номера n.
ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {хn}
и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен
сумме пределов последовательностей {хn} и {yn}.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы
последовательностей {хn} и {yn}. Тогда:
xn=а+an, yn=b+bn,
где {an} и {bn) –
бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn + yn)
- (а + b) =an+bn.
Таким образом,
последовательность {(хn + yn) - (а + b)} бесконечно
малая, и поэтому последователдьность {хn + yn} сходится и
имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {хn}
и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен
разности пределов последовательностей {хn} и {yn}.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно
пределы последовательностей {хn} и {yn}.Тогда:
xn=а+an, yn=b+bn,
где {an} и {bn) –
бесконечно малые последовательности. Следовательно, (хn - yn)
- (а - b) =an-bn.
Таким образом,
последовательность {(хn - yn) - (а - b)} бесконечно
малая, и поэтому последователдьность {хn - yn} сходится и
имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.
ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {хn}
и {yn} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен
произведению пределов последовательностей {хn} и {yn}.
Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы
последовательностей {хn} и {yn}, то xn=а+an, yn=b+bn и xn×yn=a×b+a×bn+b×an+an×bn. Следовательно,
xn×yn-а×b=a×bn+b×an+an×bn.
(в силу теоремы: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно
малую есть бесконечно малая последовательность.) последовательность {a×bn+b×an+an×bn} бесконечно малая, и поэтому последовательность {xn×yn-а×b}
тоже бесконечно малая, а значит последовательность {xn×yn} сходится и имеет своим пределом число а×b. Теорема доказана.
ЛЕММА: Если последовательность {yn} сходится и
имеет отличный от ноля предел b, то, начиная с некоторого номера, определена
последовательность , которая является
ограниченной.
Доказательство: Пусть . Так как b¹0, то e>0. Пусть N –
номер, соответствующий этому e, начиная с которого
выполняется неравенство:
|yn-b|<e или |yn-b|<
из этого неравенства следует, что при n³N
выполняется неравенство |yn|>. Поэтому
при n³N имеем . Следовательно,
начиная с этого номера N, мы можем рассматривать последовательность , и эта последовательность ограничена.
Лемма доказана.
ТЕОРЕМА: Частное двух сходящихся последовательностей {xn}
и {yn} при условии, что предел {yn} отличен от ноля, есть
сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов
последовательностей {xn} и {yn}.
Доказательство: Из доказанной ранее леммы следует, что, начиная с
некоторого номера N, элементы последовательности {yn} отличны от
ноля и последовательность ограничена. Начиная с
этого номера, мы и будем рассматривать последовательность . Пусть а и b – пределы
последовательностей {xn} и {yn}. Докажем, что
последовательность бесконечно малая. В самом
деле, так как xn=а+an, yn=b+bn, то
.
Так как последовательность ограничена, а
последовательность бесконечно мала, то
последовательность бесконечно малая. Теорема
доказана.
Итак, теперь можно сказать,
что арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к
таким же арифметическим операциям над их пределами.
ТЕОРЕМА: Если элементы сходящейся последовательности {xn},
начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравентству xn³b (xn£b),
то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству а³b (a£b).
Доказательство: Пусть все элементы xn, по крайней мере
начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn³b. Предположим, что а<b. Поскольку а – предел
последовательности {xn}, то для положительного e=b-a можно указать номер N такой, что при n³N выполняется неравенство
|xn-a|<b-a.
Это неравенство эквивалентно
-(b-a)<xn-a<b-a
Используя правое из этих
неравенств мы получим xn<b, а это противоречит условию теоремы.
Случай xn£b рассматривается аналогично. Теорема доказана.
Элементы сходящейся
последовательности {xn} могут удовлетворять строгому неравенству xn>b,
однако при этом предел а может оказаться равным b. Например, если xn=1/n,
то xn>0, однако .
Следствие 1: Если элементы xn и уn у
сходящихся последовательностей {xn} и {yn}, начиная с
некоторого номера, удовлетворяют неравенству xn £ уn, то их пределы удовлетворяют
аналогичному неравенству
.
Элементы последовательности
{yn-xn} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее
предел . Отсюда следует, что
.
Следствие 2: Если все элементы сходящейся последовательности {xn}
находятся на сегменте [a,b], то и ее предел с также находится на этом сегменте.
Это выполняется, так как а£xn£b,
то a£c£b.
ТЕОРЕМА: Пусть {xn} и {zn}- сходящиеся
последовательности, имеющие общий предел а. Пусть, кроме того, начиная с
некоторого номера, элементы последовательности {yn}удовлетворяют
неравенствам xn£yn£zn. Тогда последовательность {yn}
сходится и имеет предел а.
Доказательство: достаточно доказать, что {yn-a} является
бесконечно малой. Обозначим через N’ номер, начиная с которого, выполняются
неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера,
будут выполнятся также неравенства xn-а £ yn-а £ zn-а.
Отсюда следует, что при n³N’ элементы последовательности {yn-a}
удовлетворяют неравенству
|yn-a|
£ max {|xn-a|, |zn-a|}.
Так как и , то
для любого e>0 можно указать номера N1 и N2
такие, что при n³N1 |xn-a|<e, а при n³N2
|zn-a|<e. Итак последовательность {yn-a} бесконечно
малая. Теорема доказана.
Итак, мы показали
неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в
пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих
последовательностей.
ПРИМЕРЫ
1. Последовательность сходится
и имеет своим пределом ноль. Ведь каково бы ни было e>0, по свойству Архимеда вещественных чисел
существует такое натуральное число ne,
что ne>. Поэтому для всех n³ne, а это означает, что .
2. Последовательность сходится
и , что следует из того, что
, и
того, что .
ЗАДАЧИ
ЗАДАЧА № 1
Пусть
числовая последовательность а1, а2, а3, …
удовлетворяет условию
(m, n = 1, 2, 3, … ),
тогда
последовательность
,…
должна
либо расходиться к , причем предел этой
последовательности будет равен ее нижней грани.
РЕШЕНИЕ:
Видим
частный случай теоремы у M. Fekete. Достаточно рассмотреть случай, когда нижняя
грань a конечна. Пусть e>0 и a+e. Всякое целое число n может быть представлено в форме
n=qm+r, где r=0 или 1, или 2, …, или m-1. Полагая единообразие а0=0,
имеем:
an=aqm+r£am+am+…+am+ar=qam+ar,
ЗАДАЧА № 2
Пусть
числовая последовательность а1, а2, а3, …
удовлетворяет условию
тогда
существует конечный предел
,
причем
(n = 1, 2, 3, … ).
РЕШЕНИЕ:
Из
неравенств 2am-1<a2m<2am+1 получаем:
(*)
Ряд
сходится,
ибо в силу неравенства (*) он мажорируется сходящимся рядом:
|a1|+2-1+2-2+2-3+…
запишем
целое число n по двоичной системе:
n=2m+e12m-1+e22m-2+…+em (e1, e2, …, em = 0 или
1)
согласно
предположению
.
Применяя
теорему (1) для данных:
s0=0,
s1=, sm-1=, sm=, …, pn0=0, pn1=, …, pn, m-1=,
, pn, m+1=0, …,
заключаем,
что . Наконец, в силу (*) имеем:
.
ЗАДАЧА № 3
Если общий член ряда, не
являющегося ни сходящимся, ни расходящимся в собственном смысле, стремится к
нулю, то частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между их нижним и
верхним пределами lim inf и lim sup.
РЕШЕНИЕ:
Нам достаточно рассмотреть
случай, когда частичные суммы s1, s2, …, sn, …
ограничены. Пусть , , l
- целое положительное число, l>2 и .
Разобьем числовую прямую на l
интервалов точками
-¥, m+d, m+2d, …, M-2d, M-d, +¥.
Выберем такое N, чтобы для
n>N выполнялось неравенство |sn-sn+1|<d. Пусть, далее, sn1 (n1>N)
лежит в первом интервале и sn2 (n2> n1) – в
последнем. Тогда числа конечной последовательности не
смогут “перепрыгнуть” ни один из l-2 промежуточных интервалов длиной d. Аналогично рассуждаем и в том случае, когда
последовательность будет не “медленно восходящей”, а “медленно нисхожящей”.
ЗАДАЧА № 4
Пусть для последовательности t1,
t2, … , tn, … существует такая последовательность
стремящихся к нулю положительных чисел …, что
для каждого n
.
Тогда числа t1, t2, … , tn, …лежат всюду
плотно между их нижним и верхним пределами.
РЕШЕНИЕ:
Существуют в сколь угодно
большом удалении конечные последовательности ,
произвольно медленно нисходящие от верхнего предела последовательности к ее
нижнему пределу.
ЗАДАЧА № 5
Пусть v1, v2,
… , vn, … - положительные числа, v1 £ v2 £ v3
… Совокупность предельных точек последовательности
, …
заполняет замкнутый интервал
(длина которого равна нулю, если эта последовательность стремится к пределу).
РЕШЕНИЕ:
ЗАДАЧА № 6
Числовая последовательность,
стремящаяся к , имеет наименьший член.
РЕШЕНИЕ:
Какое бы число мы ни задали,
слева от него будет находиться лишь конечное число членов последовательности, а
среди конечного множества чисел существует одно или несколько наименьших.
ЗАДАЧА № 7
Сходящаяся последовательность
имеет либо наибольший член, либо наименьший, либо и тот и другой.
РЕШЕНИЕ:
При
совпадении верхней и нижней граней рассматриваемой последовательности теорема
тривиальна. Пусть поэтому они различны. Тогда по крайней мере одна из них
отличается от предела последовательности. Она и будет равна наибольшему,
соответственно наименьшему, члену последовательности.
ЗАДАЧА № 8
Пусть l1, l2,
l3, … , lm, … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много
номеров n, для которых ln меньше всех предшествующих ему членов
последовательности l1, l2, l3, … , ln-1.
РЕШЕНИЕ:
Пусть задано целое
положительное число m и h – наименьшее из чисел l1, l2, l3,
… , lm; h>0. Согласно предположению в рассматриваемой
последовательности существуют члены, меньше чем h.
Пусть n – наименьший номер, для которого ln<h. Тогда:
n>m;
ln<l1, ln<l2, …, ln<ln-1.
ЗАДАЧА № 9
Пусть l1, l2,
l3, … , lm, … - последовательность положительных чисел и , тогда существует бесконечно много
номеров n, для которых ln превосходит все следующие за ним члены ln+1,
ln+2, ln+3,…
ЗАДАЧА № 10
Пусть
числовые последовательности
l1,
l2, l3, … , lm, … (lm>0),
s1,
s 2, s 3, … , s m, … (s1>0, sm+1>sm,
m=1, 2, 3, …)
обладают
тем свойством, что
, .
Тогда существует бесконечно
много номеров n, для которых одновременно выполняются неравенства
ln>ln+1,
ln>ln+2, ln>ln+3,
…
lnsn>ln-1sn-1,
lnsn>ln-2sn-2, … lnsn>l1s1,
РЕШЕНИЕ:
,…
Каждый
невыступающий член lv заключается (для v>n1) между
двумя последовательными выступающими членами, скажем nr-1<v<nr.
Имеем последовательно:
,
значит
(*)
отсюда
заключаем, что
Действительно, в противном
случае , значит, в силу (*) и вся
последовательность
l1s1, l2s2, … были бы ограничены,
что противоречит предположению. Теперь пусть задано целое положительное число m
и h – наименьшее из чисел ,… ; h>0. Согласно предположению в рассматриваемой
последовательности существуют члены, меньше чем h.
Пусть k – наименьший номер, для которого <h. Тогда:
k>m;
.
ЗАДАЧА № 11
Если числовая
последовательность ,… стремится к и А превышает ее наименьший член, то
существует такой номер n (возможно несколько таких), n³1, что n отношений
все не больше А, а бесконечное множество отношений
,…
все не меньше А.
РЕШЕНИЕ:
Имеем .
Пусть минимум последовательности
L0-0,
L1-A, L2-2A, L3-3A, …
Будет Ln-nA; тогда
Ln-u-(n-u)A³ Ln-nA; Ln+v-(n+v)A³ Ln-nA,
u=1, 2, …, n; v=1, 2, 3, …; n=0
исключено в силу предложений относительно А.
ЗАДАЧА № 12
Пусть относительно числовой
последовательности l1, l2, l3, … , lm,
… предполагается лишь, что
.
Пусть, далее, А>l1. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно выполняются все неравенства
.
Если А®¥, то также n®¥.
РЕШЕНИЕ:
Пусть
l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1,
2, 3, …; L0=0.
Так как L1-A<0,
то L0-0 не является минимумом в предыдущем решении. ln+1³A; поэтому ln+1, а следовательно и n должны
стремиться к бесконечности одновременно с А.
ЗАДАЧА № 13
Пусть числовая
последовательность l1, l2, l3, … , lm,
… удовлетворяет условиям
,
Пусть, далее, l1>A>0. Тогда существует такой номер n, n ³ 1, что одновременно выполняются все неравенства
.
Если А®0, то также n®0.
РЕШЕНИЕ:
Положим
l1+l2+l3+…+lm=Lm, m=1,
2, 3, …; L0=0.
Тогда .
Последовательность
L0-0,
L1-A, L2-2A, L3-3A, …, Lm-mA, …
стремится к -¥. Пусть ее наибольший член будет Ln-nA.
Тогда интересующие нас неравенства будут выполняться для этого номера n.
В последовательности L0,
L1, …, Lm, … содержится бесконечно много членов,
превышающих все предыдущие. Пусть Ls будет один из них. Тогда числа:
все положительны: коль скоро А
меньше наименьшего из них, соответствующий А номер n больше или равен s. Точки
(n, Ln) должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху
полигоном.