Иррациональные уравнения и неравенства
МОУ
СОШ «УК №20»
Иррациональные
уравнения
и неравенства
реферат по алгебре
ученика 11 «В» класса
Торосяна Левона
Руководитель:
Олейникова Р. М.
Сочи 2002г.
Содержание.
I.
Введение
II.
Основные правила
III.
Иррациональные уравнения:
·
Решение иррациональных уравнений
стандартного вида.
·
Решение иррациональных уравнений
смешанного вида.
·
Решение сложных иррациональных
уравнений.
IV.
Иррациональные неравенства:
·
Решение иррациональных неравенств
стандартного вида.
·
Решение нестандартных
иррациональных неравенств.
·
Решение иррациональных неравенств
смешанного вида.
V.
Вывод
VI.
Список литературы
I.
Введение
Я, Торосян Левон, ученик 11
«В» класса, выполнил реферат по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства».
Особенностью моей работы является то, что в
школьном курсе на решение иррациональных уравнений отводится очень мало
времени, а ВУЗовские задания вообще не решаются. Решение иррациональных
неравенств в школьном курсе не рассматри- вают, а на вступительных экзаменах
эти задания часто дают.
Я самостоятельно изучил правила решения
иррациональных уравнений и неравенств.
В реферате показаны решения как
иррациональных уравнений и неравенств стандартного типа, так и повышенной
сложности. Поэтому реферат можно использовать как учебное пособие для
подготовки в ВУЗ, также рефератом можно пользоваться при изучении этой темы на
факультативных занятиях.
II. Иррациональные уравнения
Иррациональным называется уравнение, в котором переменная
содержится под знаком корня.
Решаются
такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень
возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при
решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение
области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих
частей иррационального уравнения область определения не меняется.
Иррациональные
уравнения стандартного вида можно решить пользуясь следующим правилом:
Решение иррациональных уравнений стандартного
вида:
а)
Решить уравнение = x –
2,
Решение.
= x – 2,
2x – 1
= x2 – 4x +
4,
Проверка:
x2 – 6x + 5 =
0, х =
5, = 5 – 2,
x1 =
5,
3 = 3
x2 = 1 – постор.
корень х = 1, 1 – 2
,
Ответ:
5 пост.
к. 1 -1.
б)
Решить уравнение = х + 4,
Решение.
= х + 4,
Ответ:
-1
в)
Решить уравнение х – 1 =
Решение.
х
– 1 =
х3 – 3х2 + 3х – 1
= х2 – х – 1,
х3 – 4х2 + 4х =
0,
х(х2 – 4х +
4) = 0,
х
= 0 или х2 – 4х + 4 = 0,
(х – 2)2 = 0,
х = 2
Ответ:
0; 2.
г)
Решить уравнение х – + 4 = 0,
Решение.
х
– + 4 = 0,
х
+ 4 = ,
Проверка:
х2 + 8х +
16 = 25х – 50, х = 11, 11 –
+ 4 = 0,
х2 – 17х +
66 =
0,
0 = 0
х2 =
6. 0
= 0.
Ответ:
6; 11.
Решение иррациональных уравнений смешанного вида:
· Иррациональные уравнения, содержащие знак модуля:
а)
Решить уравнение =
Решение.
= ,
– +
x
Учитывая ноль подкоренного
выражения, данное уравнение равносильно двум системам:
или
Ответ:
б)
Решить уравнение
Решение.
,
– +
x
Учитывая ноль подкоренного
выражения, данное уравнение равносильно двум системам:
или
Ответ:
.
·
Иррациональные показательные
уравнения:
а) Решить уравнение
Решение.
ОДЗ:
Пусть = t, t > 0
Сделаем обратную замену:
= 1/49,
или = 7,
= ,
– (ур-ние
не имеет решений) x =
3.
Ответ: 3
б) Решить уравнение
Решение.
Приведем все степени к одному
основанию 2:
данное уравнение равносильно уравнению:
Ответ:
0,7
·
Иррациональное уравнение,
содержащее иррациональность четной степени:
Решить уравнение
Решение.
возведем
обе части уравнения в квадрат
3x – 5 – 2
2x – 2 = 2
x –1 =
x
Проверка:
x
x = 3,
4x
1 = 1.
x = 1,75
Ответ: 3.
·
Иррациональное уравнение,
содержащее иррациональность нечетной степени:
Решить уравнение
Решение.
возведем
обе части уравнения в куб
но , значит:
возведем
обе части уравнения в куб
(25 + x)(3
– x) = 27,
Ответ: –24; 2.
·
Иррациональные уравнения,
которые решаются заменой:
а) Решить уравнение
Решение.
t –
Сделаем обратную замену:
=
2, возведем обе части в квадрат
Проверка: x =
2,5
Ответ: 2,5.
б) Решить уравнение
Решение.
Пусть = t, значит = ,
где t > 0
t+ t – 6
= 0,
Сделаем обратную замену:
=
2, возведем обе части уравнения в четвертую степень
x +
8 = 16, Проверка:
x =
8, x =
2,
x =
2.
6 = 6
Ответ: 2.
в) Решить уравнение
Решение.
Пусть = t, где
t > 0
Сделаем обратную замену:
=
2, возведем обе части уравнения в квадрат
Проверка:
,
Ответ: –5; 2.
Решение
сложных иррациональных уравнений:
·
Иррациональное уравнение,
содержащее двойную иррациональность:
Решить уравнение
Решение.
возведем обе части уравнения в куб
возведем
обе части уравнения в квадрат
Пусть = t
t 2– 11t + 10 = 0,
Сделаем обратную
замену: Проверка:
=
10, или
=
1, x = ,
x = -пост. корень 0
Ответ: 1.
x = 1,
1 = 1
·
Иррациональные логарифмические
уравнения:
а) Решить уравнение lg3 +
0,5lg(x – 28) = lg
Решение.
lg3 + 0,5lg(x – 28) = lg,
lg(3 = lg,
Учитывая ОДЗ, данное
уравнение равносильно системе:
Ответ: 32,75
б) Решить уравнение
Решение.
Ответ: ; – 2; 3.
IV. Иррациональные неравенства
Неравенства называются иррациональными, если его
неизвестное входит под знак корня (радикала).
Иррациональное неравенство
вида равносильно системе неравенств:
Иррациональное неравенство
вида равносильно совокуп-ности двух систем
неравенств:
и
а) Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство
равносильно системе неравенств:
+ – +
Ответ: [1; 2).
1 3 x
б) Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство
равносильно двум системам неравенств:
Ответ:
в) Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство
равносильно системе неравенств:
Ответ: нет решений
Решение иррациональных неравенств
нестандартного вида:
а) Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство
равносильно системе неравенств:
Ответ:
б) Решить неравенство
Решение.
Данное неравенство
равносильно системе неравенств:
Ответ:
·
Решение иррациональных
неравенств с помощью правила знаков при умножении и делении:
а) Решить неравенство
Решение.
Учитывая то, что и
правило знаков при делении данное неравенство равносильно системе
неравенств:
Ответ:
б) Решить неравенство (2x – 5)
Решение.
(2x – 5)
Учитывая то, что и правило знаков при делении данное неравенство
равносильно системе неравенств:
Ответ:
·
Решение иррациональных
неравенств способом группировки:
Решить неравенство
Решение.
,
сгруппируем
по два слагаемых
вынесем
общий множитель за скобку
учитывая,
что > 0 и правило знаков
при умножении данное неравенство равносильно системе
неравенств:
Ответ: ( 0; 1 )
·
Иррациональное
неравенство, содержащее два знака иррациональности:
Решить неравенство
Решение.
Ответ:
·
Решение иррациональных
неравенств заменой:
Решить неравенство
Решение.
Пусть =
t, тогда = , t > 0
Сделаем
обратную замену:
возведем в квадрат обе части
неравенства
Ответ:
Решение
иррациональных неравенств смешанного вида:
·
Иррациональные показательные
неравенства:
а) Решить неравенство
Решение.
,
т.к.
y = 0,8t
, то
0,5x(x – 3) <
2,
0,5x2 –
1,5x – 2 < 0,
x2 – 3x
– 4 < 0,
f(x) = x2
– 3x – 4,
ОДЗ,
+ – +
Нули функции: x1 =
4; x2 = – 1. –1
4 x
Ответ: х
б) Решить неравенство 4– 2 < 2– 32
Решение.
4– 2 < 2– 32,
ОДЗ: x > 0
2– 2 2
< 2 24
– 25, выполним группировку слагаемых
2(2– 2) – 24(2–2) < 0,
(2– 2) (2– 24)
< 0, учитывая правило знаков и ОДЗ данное неравенство равносильно 2-м
системам:
или
т.к.
y = 2t , то т.к. y = 2t ,
то
Ответ:
х
·
Решение иррациональных
логарифмических неравенств:
Решить
неравенство
Решение.
уч. ОДЗ данное нер-во равносильно
системе нер-ств
Ответ:
V. Вывод
Реферат
помог мне научиться решать иррациональные уравнения и неравенства следующих
типов: стандартные, показательные, содержащие знак модуля, логарифмические,
повышенного уровня.
Примеры
взяты и подробно разобраны не только из школьной программы, но и из
вступительных экзаменов в школу А.Н. Колмогорова при МГУ, из сборника задач по
математике под редакцией М.И. Сканави.
Этот
материал может быть интересен и полезен выпуск – никам школ и абитуриентам
технических вузов.
VI. Список литературы
1)
Алгебра и начала анализа.
Под редакцией А.Н. Колмогорова
2)
3000 конкурсных задач по
математике. Авторы: Е.Д. Куланин, В.П. Норин
3)
Справочные материалы по
математике. Авторы: В.А. Гусев, А.Г. Мордкович
4)
Сборник задач по математике. Под
редакцией М.И. Сканави
5)
Справочный материал