Действительные числа. Иррациональные и тригонометрический уравнения

Действительные числа. Иррациональные и тригонометрический уравнения

Содержание

Иррациональные уравнения

Числовая функция. Способы задания функции

Основные свойства функции

Графики функций. Простейшие преобразования графиков функцией

Обратная функция

Степенная функции, её свойства и графики

Показательная функция, её свойства и графики

Показательные неравенства

Логарифмы и их свойства

Логарифмические уравнения

Тригонометрические функции числового аргумента

Функция y sinx ее свойства и график

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Частные случаи тригонометрических уравнений

Тригонометрические уравнения

Аксиомы стереометрии и следствия из них

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых

Теорема о трех перпендикулярах

Алгебра

Действительные числа. Приближение действительных чисел конечными десятичными дробями.

Веще́ственное, или действи́тельное число - математическая абстракция <#"457111.files/image001.gif">, считается точным, тогда под погрешностью приближенного значения числовой величины (ошибкой) понимают разность между точным и приближенным значением числовой величины:  . Погрешность может принимать как положительное так и отрицательное значение. Величина называется известным приближением к точному значению числовой величины - любое число, которое используется вместо точного значения. Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что:  Относительная погрешность и её граница.

Качество приближения существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин, поэтому целесообразно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего вводится понятие относительной погрешности. Относительной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что: . Относительную погрешность часто выражают в процентах. Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения.

Иррациональные уравнения

Уравнение, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными. При решении иррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому, например, что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство при возведении в квадрат даёт верное равенство 1²= (-1) ², 1=1. Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы.

Возведём обе части этого уравнения в квадрат; После преобразований приходим к квадратному уравнению; и подставим.

Комплексные числа. Действия над комплексными числами.

Ко́мпле́ксные чи́сла - расширение множества вещественных чисел <#"457111.files/image009.gif">. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y - вещественные числа, i - мнимая единица <#"457111.files/image010.gif">

Деление

Числовая функция. Способы задания функции

В математике <#"457111.files/image012.gif"> или множества комплексных чисел <#"457111.files/image009.gif">.

Словесный: С помощью естественного языка Игрек равно целая часть от икс. Аналитический: С помощью аналитической формулы f (x) = x!

Графический С помощью графика  <#"457111.files/image014.gif">.

Табличный: С помощью таблицы значений

Основные свойства функции

1) Область определения функции и область значений функции. Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f (x) определена.

Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция. В элементарной математике <#"457111.files/image015.gif">Прямая линия - график линейной функции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Парабола - график функции квадратного трёхчлена у = ах² + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax² + bx +с =0

Гипербола - график функции . При а > О расположена в I и III четвертях, при а < 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а > 0) или у - х (а < 0).

Логарифмическая функция y = log_ax (a > 0)

Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком (рис. 19). Эта кривая называется синусоидой.

График функции y = cos x представлен на рис. 20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на /2.

Основные свойства функций. Монотонность, четность, нечетность, периодичность функций.

Область определения функции и область значений функции. Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f (x) определена.

Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике <#"457111.files/image024.gif">0) и рис.14 (n < 0). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:

.

Обратная функция

Обра́тная фу́нкция - функция <#"457111.files/image027.gif">является обратной к функции , если выполнены следующие тождества: для всех  для всех

Корень n-ой степени и его свойства.

Корнем n-ой степени из числа a называется такое число, n-ая степень которого равна a.

Определение: Арифметическим корнем n-ой степени из числа a называют неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.

Основные свойства корней:

Степень с произвольным действительным показателем и его свойства.

Пусть дано положительное число и произвольное действительное число . Число называется степенью, число  - основанием степени, число  - показателем степени.

По определению полагают:

.

.

, .

Если и  - положительные числа, и  - любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

.

.

.

.

.

     .

Степенная функции, её свойства и графики

Степенная функция комплексного переменного f (z) = zⁿ с целочисленным показателем определяется с помощью аналитического продолжения <#"457111.files/image050.gif">, . Рассматриваются такие случаи:

а). Если , то . Тогда , ; если число  - чётное, то и функция  - чётная (то есть при всех ); если число  - нечётное, то и функция  - нечётная (то есть при всех ).

Показательная функция, её свойства и графики

Показательная функция - математическая функция <#"457111.files/image062.gif">.

В вещественном случае основание степени  - некоторое неотрицательное вещественное число <#"457111.files/image064.gif">; ; .

Показательные уравнения.

Перейдем непосредственно к показательным уравнениям. Для того чтобы решить показательное уравнение необходимо воспользоваться следующей теоремой: Если степени равны и основания равны, положительны и отличны от единицы, то равны и их показатели степеней. Докажем эту теорему: Пусть a>1 и a^х=a^y.

Докажем, что в этом случае х=y. Допустим противное тому, что требуется доказать, т.е. допустим, что x>у или что x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a^х<a^y либо a^х>a^y. Оба эти результата противоречат условию теоремы. Следовательно, x=у, что и требовалось доказать.

Также доказывается теорема и для случая, когда 0<a<1. Замечание. Из равенства a^х=a^y не обязательно следует что x=у. Из равенства 1^х=1^y также не обязательно вытекает равенство x=у. Самым простым показательным уравнением является уравнения вида a^х=a^y, где a>0 и a≠1.

Показательные неравенства

Неравенства вида (или меньше) при а (х) >0 и решаются на основании свойств показательной функции: для 0 < а (х) < 1 при сравнении f (x) и g (x) знак неравенства меняется, а при а (х) > 1 - сохраняется. Самый сложный случай при а (х) < 0. Здесь можно дать только общее указание: определить, при каких значениях х показатели f (x) и g (x) будут целыми числами, и выбрать из них те, которые удовлетворяют условию. Наконец, если исходное неравенство будет выполняться при а (х) = 0 или а (х) = 1 (например, когда неравенства нестрогие), то нужно рассмотреть и эти случаи.

Логарифмы и их свойства

Логарифм числа b по основанию a (от греч.  <#"457111.files/image067.gif">. Из определения следует, что записи и равносильны. Пример: , потому что . Свойства

Основное логарифмическое тождество:

Логарифмическая функция, её свойства и графики.

Логарифмической функцией называется функция вида f (x) = log_ax, определённая при

Область определения:

Область значения:

График любой логарифмической функции проходит через точку (1; 0)

Производная логарифмической функции равна:

Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение log_a х = b (где а > 0, а 1). Его решение x = a^b.

Решение уравнений на основании определения логарифма, например, уравнение log_a х = b (а > 0, а 1) имеет решение х = а^b.

Метод потенцирования. Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их:

если log_a f (х) = log_a g (х), то f (х) = g (х), f (х) >0, g (х) >0, а > 0, а 1.

Метод приведения логарифмического уравнения к квадратному.

Метод логарифмирования обеих частей уравнения.

Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию.

Логарифмические неравенства.

Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим: log_a f (х) > log_a g (х).

При решении логарифмических неравенств следует учитывать общие свойства неравенств, свойство монотонности логарифмической функции и область ее определения. Неравенство log_a f (х) > log_a g (х) равносильно системе f (x) > g (x) > 0 при a > 1 и системе 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1.

Радианное измерение углов и дуг. Синус, косинус, тангенс, котангенс.

Градусная мера. Здесь единицей измерения является градус (обозначение ) - это поворот луча на 1/360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360. Один градус состоит из 60 минут (их обозначение ‘); одна минута - соответственно из 60 секунд (обозначаются “).

Радианная мера. Как мы знаем из планиметрии (см. параграф "Длина дуги" в разделе "Геометрическое место точек. Круг и окружность"), длина дуги l, радиус r и соответствующий центральный угол  связаны соотношением: = l / r.

Эта формула лежит в основе определения радианной меры измерения углов. Так, если l = r, то = 1, и мы говорим, что угол равен 1 радиану, что обозначается: = 1 рад. Таким образом, мы имеем следующее определение радианной меры измерения:

Радиан есть центральный угол, у которого длина дуги и радиус равны (AmB = AO, рис.1). Итак, радианная мера измерения угла есть отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключённой между сторонами этого угла, к радиусу дуги.

Тригонометрические функции острых углов можно определить как отношение длин сторон прямоугольного треугольника.

Синус:

Косинус:

Тангенс:

Котангенс:

Тригонометрические функции числового аргумента

Определение.

Формулы сложения. Формулы двойного и половинного аргумента.

Двойного.

;  

(; .

Тригонометрические функции и их графики. Основные свойства тригонометрических функций.

Тригонометрические функции - вид элементарных функций <#"457111.files/image097.gif">

5. Точки пересечения с осями координат:

с осью Ох: sinx = 0; х = pn, nÎZ;

с осью Oy: если х = 0, то у = 0,6. Промежутки знакопостоянства:

sinx > 0, если xÎ (2pn; p + 2pn), nÎZ;

sinx < 0, если хÎ (p + 2pn; 2p+pn), nÎZ.

Знаки синуса в четвертях

у > 0 для углов а первой и второй четвертей.

у < 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Промежутки монотонноти:

y = sinx возрастает на каждом из промежутков [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],

nÎz и убывает на каждом из промежутков [p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn], nÎz.

8. Точки экстремума и экстремумы функции:

x_max = p/2 + 2pn, nÎz; y_max = 1;

y_max = - p/2 + 2pn, nÎz; y_min = - 1.

Свойства функции у = cosx и ее график:

Свойства:

1. D (y) = R.

2. Е (у) = [-1; 1].

3. Функция у = cosx - четная, так как по определению косинуса тригонометрического угла cos (-a) = x/R = cosa на тригонометрическом круге (рис)

4. Т = 2p - наименьший положительный период. Действительно,

cos (x+2pn) = cosx.

5. Точки пересечения с осями координат:

с осью Ох: cosx = 0;

х = p/2 + pn, nÎZ;

с осью Оу: если х = 0,то у = 1.

6. Промежутки знакопостоянства:

cosx > 0, если хÎ (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nÎZ;

cosx < 0, если хÎ (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nÎZ.

Доказывается это на тригонометрическом круге (рис). Знаки косинуса в четвертях:

x > 0 для углов a первой и четвертой четвертей.

x < 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. Промежутки монотонноти:

y = cosx возрастает на каждом из промежутков [-p + 2pn; 2pn],

nÎz и убывает на каждом из промежутков [2pn; p + 2pn], nÎz.

Свойства функции у = tgx и ее график: свойства -

1. D (y) = (xÎR, x ¹ p/2 + pn, nÎZ).

2. E (y) =R.

3. Функция y = tgx - нечетная

4. Т = p - наименьший положительный период.

5. Промежутки знакопостоянства:

tgx > 0 при хÎ (pn; p/2 + pn;), nÎZ;

tgx < 0 при xÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.

Знаки тангенса по четвертям смотри на рисунке.

6. Промежутки монотонности:

y = tgx возрастает на каждом из промежутков

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

nÎz.

7. Точки экстремума и экстремумы функции:

нет.

8. x = p/2 + pn, nÎz - вертикальные асимптоты

Свойства функции у = ctgx и ее график:

Свойства:

1. D (y) = (xÎR, x ¹ pn, nÎZ). 2. E (y) =R.

3. Функция y = ctgx - нечетная.

4. Т = p - наименьший положительный период.

5. Промежутки знакопостоянства:

ctgx > 0 при хÎ (pn; p/2 + pn;), nÎZ;

ctgx < 0 при хÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.

Знаки котангенса по четвертям смотри на рисунке.

7. Точек экстремума и экстремумов у функции у = ctgx нет.

8. Графиком функции у = ctgx является тангенсоида, полученная сдвигом графика y= tgx вдоль оси Ох влево на p/2 и умножением на (-1) (рис)

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) - математические функции <#"457111.files/image101.gif">

Функция y=arcsinX, её свойства и графики.

Арксинусом числа m называется такой угол x, для которогоФункция y = sinx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей.  (функция является нечётной <#"457111.files/image105.gif">

Функция y=arccosX, её свойства и графики.

Арккосинусом числа m называется такой угол x, для которого

Функция y = cosx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arccosx является строго убывающей. cos (arccosx) = x при  arccos (cosy) = y при  D (arccosx) = [− 1; 1], (область определения), E (arccosx) = [0; π]. (область значений). Свойства функции arccos (функция центрально-симметрична относительно точки

Функция y=arctgX, её свойства и графики.

Арктангенсом числа m называется такой угол α, для которого  Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.

при

     при

Свойства функции arctg

,

.

Функция y=arcctg, её свойства и графики.

Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого  

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.

Функция является строго убывающей. при  при 0 < y < π  Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки  при любых x.

.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Определение. Уравнения вада sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x - переменная, aR, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Частные случаи тригонометрических уравнений

Определение. Уравнения вада sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x - переменная, aR, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Тригонометрические уравнения

Аксиомы стереометрии и следствия из них

Основные фигуры в пространстве: точки, прямые и плоскости. Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

Замечание. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Две прямые, заданные уравнениями

или

пересекаются в точке.

Параллельность прямой и плоскости.

Определение 2.3 Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая a параллельна плоскости α, то пишут a || α. Теорема 2.4 Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая вне плоскости параллельна какой-нибудь прямой на плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости. Доказательство Пусть b  α, a || b и a  α (чертеж 2.2.1). Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна α, тогда прямая a пересекает плоскость α в некоторой точке A. Причем A  b, так как a || b. Согласно признаку скрещивающихся прямых прямые a и b скрещивающиеся. Мы пришли к противоречию. Теорема 2.5 Если плоскость β проходит через прямую a, параллельную плоскости α, и пересекает эту плоскость по прямой b, то b || a. Доказательство Действительно, прямые a и b не являются скрещивающимися, так как они лежат в плоскости β. Кроме того, эти прямые не имеют общих точек, так как a || α. Определение 2.4 Прямую b иногда называют следом плоскости β на плоскости α.

Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых

Прямые называются скрещивающимися при выполнении следующего условия: Если представить, что одна из прямых принадлежит произвольной плоскости, то другая прямая будет пересекать эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой. Иными словами, две прямые в трёхмерном евклидовом пространстве скрещиваются, если не существует плоскости, их содержащей. Проще говоря, две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, но не являющиеся параллельными.

Теорема (1): Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Теорема (2): Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Теорема (3): Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Параллельность прямых. Свойства параллельных плоскостей.

Параллельными (иногда - равнобежными) прямыми называются прямые <#"457111.files/image155.gif"> <#"457111.files/image156.gif"> <#"457111.files/image157.gif"> AB - перпендикуляр к плоскости α.

AC - наклонная, CB - проекция.

С - основание наклонной, B - основание перпендикуляра.

Угол между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Двугранный угол.

Двугранный угол - пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая прямая - ребром. Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. У всякого многогранника, правильного или неправильного, выпуклого или вогнутого, есть двугранный угол на каждом ребре.

Перпендикулярность двух плоскостей.

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ.

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости <http://schools.keldysh.ru/sch1905/Geom_perpendikularnost/prpl.htm>, то эти плоскости перпендикулярны.