Применение графиков в решении уравнений
Применение графиков в решении уравнений.
I) Графическое решение квадратного
уравнения:
Рассмотрим
приведённое квадратное уравнение : x2+px+q=0;
Перепишем
его так:x2=-px-q.(1)
Построим
графики зависимостей:y=x2 и y=-px-q.
График
первой зависимости нам известен, это есть парабола; вторая зависимость-
линейная; её график есть прямая линия. Из уравнения (1) видно, что в том
случае, когда х является его решением, рдинаты точек обоих графиков равны
между собой. Значит, данному значению х соответствует одна и та же точка как на
параболе, так и на прямой, то есть парабола и прямая пересекаются в точке с
абциссой х.
Отсюда
следующий графический способ решения квадратного уравнения:чертим параболу
у=х2, чертим(по точкам) прямую у=-рх-q.
Если
прямая и парабола пересекаются, то абциссы точек пересечения являются корнями
квадратного уравнения. Этот способ удобен, если не требуется большой точности.
Примеры:
1.Решить
уравнение:4x2-12x+7=0
Представим
его в виде x2=3x-7/4.
Построим
параболу y=x2 и
прямую y=3x-7/4.
Рисунок
1.
Для построения прямой можно взять,
например, точки(0;-7/4) и (2;17/4).Парабола и прямая пересекаются в двух точках
с абциссами x1=0.8 и x2=2.2 (см. рисунок 1).
2.Решить
уравнение : x2-x+1=0.
Запишем
уравнение в виде: x2=x-1.
Построив
параболу у=х2 и прямую у=х-1, увидим, что они не пересекаются(рисунок 2), значит
уравнение не имеет корней.
Рисунок
2.
Проверим
это. Вычислим дискриминант:
А
поэтому уравнение не имеет корней.
3.
Решить уравнение: x2-2x+1=0
Рисунок
3.
Если
аккуратно начертить параболу у=х2 и прямую у=2х-1, то увидим, что они имеют
одну общую точку(прямая касается параболы, см. рисунок 3), х=1, у=1;уравнение
имеет один корень х=1(обязательно проверить это вычислением).
II) Системы уравнений.
Графиком
уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной
плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Графики
уравнений с двумя переменными весьма разнообразны. Например, графиком уравнения
2х+3у=15 является прямая, уравнения у=0.5х2 –2 –парабола, уравнения х2 +у2=4 –
окружность, и т.д..
Степень
целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого
уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными
представляет собой многочлен стандартного вида, а правая число 0, то степень
уравнения считают равной степени многочлена. Для того чтобы выяснить, какова
степень какого-либо уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным
уравнением, левая часть которого – многочлен стандартного вида, а правая- нуль.
Рассмотрим графический способ решения.
Пример1:решить систему ⌠ x2 +y2 =25 (1)
⌠y=-x2+2x+5
(2)
Построим
в одной системе координат графики уравнений(Рисунок4):
Построим
в одной системе координат графи)
х2 +у2=25 и у=-х2+2х+5
Координаты
любой точки построенной окружности являются решением уравнения 1, а координаты
любой точки параболы являются решением уравнения 2. Значит, координаты каждой
из точек пересечения окружности и параболы удовлетворяют как первому уравнению
системы, так и второму, т.е. являются решением рассматриваемой системы.
Используя рисунок, находим приближённые значения координат точек пересечения
графиков: А(-2,2; -4,5), В(0;5), С(2,2;4,5), D(4;-3).Следовательно, система
уравнений имеет четыре решения:
х1≈-2,2 , у1≈-4,5; х2≈0, у2≈5;
х3≈2,2 , у3≈4,5; х4≈4, у4≈-3.
Подставив
найденные значения в уравнения системы, можно убедиться, что второе и четвёртое
из этих решений являются точными, а первое и третье – приближёнными.
III) Тригонометрические уравнения:
Тригонометрические
уравнения решают как аналитически, так и графически. Рассмотрим графический
способ решения на примере.
Рисунок5.
Пример1:sinx+cosx=1.
Построим графики функций y=sinx u y=1-cosx.(рисунок 5)
Из графика видно, что уравнение
имеет 2 решения: х=2πп,где пЄZ и х=π/2+2πk,где kЄZ(Обязательно
проверить это вычислениями). Рисунок 6.
Применение графиков в решении неравенств.
1)Неравенства
с модулем.
Пример1.
Решить
неравенство |x-1|+|x+1|<4.
На
интеграле(-1;-∞) по определению модуля имеем
|х-1|=-х+1,|х+1|=-х-1, и, следовательно, на этом интеграле неравенство
равносиьно линейному неравенству –2х<4,которое справедливо при х>-2.
Таким образом, в множество решений входит интеграл(-2;-1).На отрезке [-1,1]
исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2<4.Поэтому
все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество
решний.
На
интеграле (1;+∞) опять получаем линейное неравенство 2х<4,
справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество
решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству
удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.
Однако
тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих
геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики функций: y=f(x)=|x-1|+|x+1| и y=4.
Рисунок
7.
На интеграле (-2;2) график функции y=f(x) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что
неравенство f(x)<4
справедливо. Ответ:(-2;2)
II)Неравенства с
параметрами.
Решение
неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило,
задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.
Например,
неравенство√а+х+√а-х>4, содержащее параметр а, естественно,
требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство √1+х
+ √1-х>1.
Что
значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не
одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые
получаются, если придавать параметру а конкретные числовые значения. Второе же
из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается
из него при значении а=1.
Таким
образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при
каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений
параметров найти все решения.
Пример1:
Решить
неравенство|х-а|+|х+а|<b, a<>0.
Для
решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8
и 9 построены графики функций.
Y=f(x)=|x-a|+|x+a| u y=b.
Очевидно,
что при b<=2|a| прямая y=b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y=|x-a|+|x+a| и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет
решений (рисунок 8). Если же b>2|a|, то прямая y=b пересекает график функции y=f(x) в двух
точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) и неравенство в этом случае
справедливо при –b/2<x<b/2,так как при этих значениях переменной
кривая y=|x+a|+|x-a| расположена под прямой y=b.
Если b>2|a|, то x €(-b/2;b/2).
III) Тригонометрические неравенства:
При
решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используется
периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках.
Простейшие тригонометрические неравенства. Функция sin x имеет
положительный период 2π. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a,
sin x<a, sin
x<=a.
Достаточно
решить сначала на каком-либо отрезке лдины 2π. Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных
на этом отрезке решений числа вида 2πп,
пЄZ.
Пример 1: Решить неравенство sin x>-1/2.(рисунок 10)
Сначала
решим это неравенство на отрезке[-π/2;3π/2]. Рассмотрим его левую
часть – отрезок [-π/2;3π/2].Здесь уравнение sin x=-1/2
имеет одно решение х=-π/6; а функция sin x
монотонно возрастает. Значит, если –π/2<=x<= -π/6, то sin x<=sin(-π/6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями
неравенства не являются. Если же –π/6<х<=π/2 то sin x>sin(-π/6) = –1/2. Все эти значения х не
являются решениями неравенства.
На
оставшемся отрезке [π/2;3π/2] функция sin x
монотонно убывает и уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7π/6. Следовательно, если
π/2<=x<7π/, то sin x>sin(7π/6)=-1/2, т.е. все эти значения х
являются решениями неравенства. Для x
Є[7π/6;3π/2] имеем sin x<= sin(7π/6)=-1/2,
эти значения х решениями не являются . Таким образом, множество всех решений
данного неравенства на отрезке [-π/2;3π/2] есть интеграл
(-π/6;7π/6).
В
силу периодичности функции sin x с периодом 2π значения х из любого интеграла вида: (-π/6+2πn;7π/6
+2πn),nЄZ, также являются решениями неравенства.
Никакие другие значения х решениями этого неравенства не являются .
Ответ:
-π/6+2πn<x<7π/6+2πn, где nЄZ.
Рисунок
10.
Список литературы
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://www.ed.vseved.ru/