Рис 1. Примеры выполнения действий на калькуляторе

Решение системы уравнений и неравенств.

Пусть надо решить графически систему из двух неравенств: >0, . Первый способ. Можно решить систему, последовательно строя область решений для каждого неравенства и взять затем пересечение этих областей. Для этого сначала нажать кнопку Добавить функцию, выбрать в диалоговом окне вместо опцию « <|=|>0 уравнение или неравенство», ввести в поле Формула одно из неравенств, выбрать способ штриховки и цвет области решений неравенства; аналогично для второго неравенства, но штриховку взять другую. При этом граничную линию придется строить отдельно. В результате построений наглядно будет видна область решений системы неравенств.

Второй способ (с помощью оператора логического умножения and). Надо нажать кнопку Добавить функцию, в диалоговом окне выбрать вместо опцию « <|=|>0 уравнение или неравенство», ввести в поле Формула выражение вида ( ^2>0) and( <= y ) и выбрать >0 вместо =0. В результате получится область решений системы (см. рис. 2). Но при этом граничная линия не отобразится. Ее для наглядности надо построить отдельно как обычно, причем на вкладке дополнительные свойства надо указать пределы изменения переменных.

Аналогичные построения выполняются и для других систем из уравнений и неравенств.

Рис.2. Решение системы неравенств с помощью логического умножения

Применения, связанные с темой «Теория пределов. Дифференцирование функций одной переменной».

Перечислим те действия в программе Advanced Grapher, которые можно использовать в учебном процессе по дисциплине «Математика» в техническом вузе. После знака \\ здесь и далее указаны соответствующие конкретные области применения.

1. Построение графиков функций, заданных явно уравнениями или , заданных неявно уравнением , заданных параметрическими уравнениями или уравнением в полярных координатах. Трассировка графиков функций. Построение (в виде ломаной, ломаной с узлами, отдельных точек, сглаженной кривой) графиков функций, заданных таблицей значений \\ Наглядное представление о способах задания функции и виде их графиков

2. Построение графиков функций и составление для них таблицы значений (с помощью кнопки Таблица значений). Построение графиков функций , заданных несколькими формулами (в закладке Дополнительные свойства при нажатии кнопки Добавить график указывать интервалы изменения переменной для каждой формулы) \\ Исследование области определения функции. Свойства основных элементарных функций. Преобразования графиков

3. Построение графиков функций , трассировка графиков, составление для них таблицы значений, близких к данной точке (с помощью кнопки Таблица значений). Увеличение окрестности исследуемой точки графика с помощью кнопки Выбрать интервал (повторить несколько раз) \\ Предел функции. Вычислительный эксперимент, связанный с понятием предела функции

4. Построение графиков функций и в окрестности точки , трассировка графиков, увеличение окрестности точки с помощью кнопки Выбрать интервал (повторить несколько раз). Аналогично для функций и т.д. \\ Эквивалентные бесконечно малые

5. Построение последовательности точек на оси Ox (нажать кнопку Добавить график таблицы, заполнить столбцы с клавиатуры или использовать команду Заполнить). Построение в виде отдельных точек графиков функций при натуральных n (с помощью кнопки Добавить график таблицы), трассировка графиков. Составление для таких функций таблицы значений при больших n (с помощью кнопки Таблица значений) \\ Понятие последовательности. Вычисление предела последовательности

6. Построение графика функции и составление таблицы значений этой функции при x, близких к нулю. Составление таблицы значений последовательности при больших n \\ Вычислительный эксперимент, связанный с первым и вторым замечательным пределом

7. Составление таблицы значений отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента близко к нулю (с помощью кнопки Таблица значений) \\ Вычислительный эксперимент, связанный с понятием производной в точке

8. Построение касательных и нормалей к графику функции (с помощью кнопки Касательная или нормаль). Увеличение окрестности исследуемой точки графика с помощью кнопки Выбрать интервал (повторить несколько раз) \\ Геометрический смысл производной. Вычислительный эксперимент, связанный с понятием касательной и дифференциала

9. Вычисление первой и второй производной, а также их значений в отдельных точках (с помощью кнопок Производная и Таблица значений) \\ Правила дифференцирования функций. Производные высших порядков

Построим, например, график функции (см. рис. 3). Нажмем кнопку Таблица значений и для построенной функции вычислим ее значения при с шагом 0.05.

Рис 3. Изучение первого замечательного предела

Применения, связанные с темой «Исследование функций с помощью производной».

1. Построение графиков функций , трассировка графиков. Вычисление производных (с помощью кнопки Производная) и построение графиков производных \\ Исследование функции на монотонность и экстремумы по виду графика и исследование поведения ее производной

2. Построение графиков функций и отыскание точек экстремума с помощью команды Экстремумы в диалоговом окне кнопки Исследование функции. Вычисление производной функции с помощью кнопки Производная и отыскание нулей производной с помощью команды Нули функции в диалоговом окне кнопки Исследование функции \\ Исследование функций на монотонность и экстремумы с помощью производной

3. Построение графиков функций и их касательных (с помощью кнопки Касательная или нормаль) в некоторых точках, трассировка графиков \\ Исследование функций на выпуклость и вогнутость, точки перегиба с помощью касательных

4. Вычисление второй производной функции (с помощью кнопки Производная) и отыскание нулей второй производной (с помощью кнопки Исследование функции) \\ Исследование функций на выпуклость, вогнутость, точки перегиба с помощью второй производной

5. Построение графиков функций и их наклонных и вертикальных асимптот, трассировка графиков. Увеличение исследуемых частей графика с помощью кнопки Выбрать интервал (повторить несколько раз) \\ Асимптоты кривых. Полное исследование функций и построение их графиков

6. Построение графика функции , отыскание точек пересечения графика с осью абсцисс (с помощью кнопки Исследование функции или кнопки Пересечения). Построение двух графиков функций и отыскание точек их пересечения (с помощью кнопки Пересечения). Дополнительные построения для отыскания нескольких первых приближений к корню уравнения вида методом хорд или методом касательных \\ Приближенное решение уравнений вида методом хорд или методом касательных. Отыскание (точное или приближенное) корней многочленов и нулей функций вида

Для примера построим график функции на промежутке от -10 до 10 (см. рис. 4). Исследуем ее на выпуклость и вогнутость. Нажмем кнопку Производная и построим график первой производной, получив также ее аналитическое выражение. Если в Списке функций выделить первую производную, и еще раз нажать кнопку Производная, то можно построить график второй производной от исходной функции и получить ее аналитическое выражение (замечу, что вид выражений для производных в программе Advanced Grapher не очень удобен). Теперь нажмем кнопку Исследование функции и в появившемся диалоговом окне в поле Y ( x ) выберем нужную из трех построенных функций (вторую производную). Найдем нули второй производной (на указанном промежутке), это -3, 0, 3. Знаки второй производной в соответствующих интервалах определяем по ее графику. Делаем окончательный вывод о промежутках выпуклости и вогнутости данной функции и наличии точек перегиба. С помощью кнопки Трассировка находим координаты точек перегиба, это (-3,-3), (0,2), (3,7). Или же нажмем кнопку Таблица значений, выберем в диалоговом окне нужную функцию из построенных функций и вычислим ее значения от -3 до 3 с шагом 3.

Рис 4. Построение графика функции и отыскание нулей ее второй производной

Применения, связанные с темой «Аналитическая геометрия на плоскости».

1. Задание и настройка подходящей декартовой или полярной системы координат на плоскости (кнопка Свойства документа). Построение кривых на плоскости, заданных явно уравнениями или , заданных неявно уравнением , заданных параметрическими уравнениями или уравнением в полярных координатах \\ Полярная система координат. Способы задания кривых на плоскости

2. Построение прямых на плоскости, заданных уравнением с угловым коэффициентом, общим уравнением (как график неявной функции ), параметрическими уравнениями, уравнением в полярных координатах, а также вертикальных прямых \\ Решение задач с использованием прямых на плоскости

3. Построение кривых второго порядка, заданных каноническими или неканоническими уравнениями (как функций, заданных неявно уравнением ). Построение осей эллипса, асимптот гиперболы, оси параболы, фокусов \\ Кривые второго порядка

4. Построение двух прямых на плоскости, отыскание точки пересечения двух прямых (с помощью кнопки Пересечения) \\ Графическое решение системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными

5. Построение области решений системы линейных неравенств с двумя переменными (двумя способами, описанными выше) \\ Графическое решение системы линейных неравенств с двумя переменными

Построим, например, кривую второго порядка, заданную уравнением

.

Следовательно, центр эллипса находится в точке D (-1;1), оси эллипса параллельны координатным осям, и их тоже можно построить. Фокусы находятся в точках и ; для их построения используем кнопку Добавить график таблицы.

Рис.5. Построение кривой второго порядка

Применения, связанные с темой «Интегральное исчисление функций одной переменной».

1. Составление таблицы значений последовательности интегральных сумм функции (с помощью кнопки Добавить график таблицы или Таблица значений) \\ Вычислительный эксперимент, связанный с понятием определенного интеграла

2. Вычисление определенного интеграла от функции по данному отрезку (с помощью кнопки Интегрирование) \\ Определенный интеграл. Приближенное вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников, трапеций, парабол

3. Построение криволинейной трапеции, ограниченной на данном отрезке сверху и снизу двумя графиками функций вида (с помощью кнопки Интегрирование). Вычисление определенного интеграла от разности этих функций (с помощью кнопки Интегрирование). \\ Геометрический смысл определенного интеграла. Вычисление площади криволинейной трапеции

4. Построение области, ограниченной несколькими линиями. Построение криволинейного сектора в полярных координатах. Вычисление определенного интеграла (с помощью кнопки Интегрирование) \\ Вычисление площади плоской пластинки в декартовых или полярных координатах с помощью определенного интеграла

5. Построение кривой на плоскости, заданной параметрическими уравнениями, явным уравнением или уравнением в полярных координатах. Вычисление определенного интеграла (с помощью кнопки Интегрирование) \\ Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, явным уравнением или уравнением в полярных координатах

6. Вычисление определенного интеграла с переменным верхним пределом от функции , не интегрируемой в элементарных функциях, и составление таблицы значений первообразной (с помощью кнопок Интегрирование и Добавить график таблицы). Построение графика первообразной по таблице ее значений \\ Свойства некоторых специальных функций

7. Построение графика функции вида , трассировка графика. Составление таблицы значений для приращения ее первообразной (с помощью кнопки Добавить график таблицы или кнопки Таблица значений функции) \\ Вычислительный эксперимент, связанный с понятием несобственного интеграла по бесконечному промежутку или от неограниченной функции

Рассмотрим для примера интеграл , не выражающийся в элементарных функциях. Построим график подынтегральной функции на промежутке от -10 до 10 (см. рис. 6). Нажмем кнопку Интегрирование и в диалоговом окне выберем параметры: между какими из построенных функций следует заштриховать криволинейную трапецию, а также укажем промежуток интегрирования. Выполним сначала действие Добавить график, появится заштрихованная область. Затем еще раз нажмем кнопку Интегрирование, но теперь выполним действие Считать, появится итог – приближенное значение данного интеграла.

Рис. 6. Построение криволинейной трапеции и вычисление определенного интеграла

Применения, связанные с темой «Ряды»

1. Составление таблицы значений последовательности частичных сумм ряда при больших n (с помощью кнопки Добавить график таблицы или Таблица значений) \\ Вычислительный эксперимент, связанный с понятием сходимости ряда

2. Построение графика функции и ее многочленов Тейлора в окрестности данной точки. Составление таблицы для остатка ряда Тейлора \\ Разложение функций в ряд Тейлора. Применение рядов Тейлора в приближенных вычислениях

3. Вычисление коэффициентов ряда Тейлора данной функции двумя способами. (Первый способ: найти с помощью кнопки Производная аналитические выражения для производных первого, второго и т.д. порядков от данной функции и вычислить значения этих производных в точке с помощью кнопки Таблица значений. Второй способ: вычислить с помощью кнопки Вычисление функций значения в точке первой, второй и т.д. производных, найденных обычным путем.) \\ Составление ряда Тейлора. Разложение функций в ряд Тейлора

4. Построение графика функции и ее многочленов Тейлора в окрестности точки . Увеличение окрестности точки с помощью кнопки Выбрать интервал (повторить несколько раз). Аналогично для \\ Разложение в ряд Маклорена элементарных функций

5. Вычисление коэффициентов Эйлера-Фурье (вычисление определенных интегралов с помощью кнопки Интегрирование). Построение графика функции и частичных сумм ее ряда Фурье на данном промежутке \\ Составление рядов Фурье. Разложение функций в ряд Фурье

Для примера построим график функции и найдем несколько первых членов ее разложения в ряд Маклорена (см. рис. 7). С помощью программы Advanced Grapher удается найти аналитически только первую, вторую и третью производные способом, описанным ранее (четвертую производную в данном случае найти нельзя, так как получается слишком длинное выражение). Вычислим значения найденных производных в точке с помощью кнопки Трассировка или кнопки Таблица значений. Составим многочлен Тейлора третьей степени и построим его. Используя кнопку Выбрать интервал, можно увидеть, насколько этот многочлен близок к функции в окрестности точки .

Рис. 7. Приближение функции ее многочленом Тейлора

Применения, связанные с темой «Теория вероятностей и математическая статистика»

1. Построение многоугольника распределения дискретной случайной величины в виде ломаной с узлами (с помощью кнопки Добавить график таблицы) \\ Дискретные случайные величины

2. Построение графика функции распределения, нахождение ее производной, т.е. плотности распределения, с помощью кнопки Производная. Построение графика плотности распределения . Вычисление определенного интеграла от плотности (с помощью кнопки Интегрирование) \\ Функция распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины. Вычисление вероятности попадания непрерывной случайной величины в интервал

3. Построение графика плотности распределения . Построение фигуры под кривой распределения (с помощью кнопки Интегрирование). Вычисление математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины (с помощью кнопки Интегрирование) \\ Числовые характеристики непрерывных случайных величин

4. Построение графиков плотности нормального распределения при разных значениях параметров. Вычисление определенного интеграла от плотности нормального распределения (с помощью кнопки Интегрирование) \\ Нормально распределенная случайная величина, вычисление вероятности ее попадания в интервал

5. Составление таблицы значений для функции Лапласа или приведенной функции Лапласа (с помощью кнопки Интегрирование) и построение по этой таблице графика (с помощью кнопки Добавить график таблицы) \\ Свойства функции Лапласа и приведенной функции Лапласа

6. Внесение в таблицу значений случайной величины , полученных последовательно в результате проведения N опытов, и нахождение оценок числовых характеристик случайной величины (использовать кнопку Добавить график таблицы и команду info в появляющемся диалоговом окне). Аналогично для значений системы двух случайных величин \\ Точечные оценки числовых характеристик случайной величины и системы двух случайных величин

7. Внесение в таблицу имеющихся экспериментальных значений двух зависимых случайных величин X и Y (использовать кнопку Добавить график таблицы). Нахождение (с помощью кнопки Регрессионный анализ) уравнения регрессии и построение линии регрессии вида (можно выбрать линейную, квадратичную или иную зависимость между случайными величинами, а также лучшую) \\ Линия регрессии. Регрессионный анализ

8. Генерация случайных чисел (нажать кнопку Вычисление функций, ввести в поле Формула функцию random (1) и вычислять ее значение при ) \\ Статистическое моделирование случайных событий и случайных величин

Пусть, например, даны координаты точек попадания в прямоугольную мишень при 6 выстрелах, т.е. выборка значений системы случайных величин в 1-ом, 2-ом, … , 6-ом опытах. Нажмем кнопку Добавить график таблицы и заполним ее (см. рис. 8). Построим соответствующий график в виде отдельных точек плоскости. Нажмем кнопку info в диалоговом окне этой таблицы. Получим значение выборочного среднего (в графе Среднее аримф.) и значение несмещенного выборочного среднего квадратического отклонения (в графе Станд. откл.) для случайных величин X и Y.

Рис.8. Точечные оценки числовых характеристик случайных величин

Заключение.

Итак, мы рассмотрели многочисленные примеры того, как изучение различных разделов математики может сопровождаться графическими иллюстрациями, вычислительными экспериментами, таблицами, расчетами, выполненными с помощью программы Advanced Grapher. Так, при изучении дифференциальных уравнений можно строить поле направлений и интегральные кривые, при изучении дифференциального и интегрального исчисления функций нескольких переменных можно строить линии уровня, области определения функций двух переменных, области интегрирования при вычислении двойных интегралов и т.д. Считаю, что в вузах преподавателям стоит широко использовать программу Advanced Grapher на лекциях, практических и лабораторных занятиях по математике, а также при разработке тем студенческих научных и курсовых работ. Это будет способствовать тому, чтобы студенты успешно применяли математические методы при изучении различных специальных дисциплин, а после окончания вуза – в своей практической и научной деятельности.

Список литература