Эконометрика

Эконометрика

Задача №1

Выборка случайной величины Х задана интервальным вариационным рядом (- i-тый интервал,  - частота).

Найти:

·        относительные частоты (частости) ;

·        накопленные частоты ;

·        накопленные частости .

Вычислить:

·        выборочную среднюю ;

·        смещенную оценку дисперсии Д;

·        несмещенную оценку дисперсии ;

·        среднее квадратическое отклонение σ;

·        коэффициент вариации V.

Построить:

·  гистограмму частот;

·        эмпирическую функцию распределения;

·        кумулятивную кривую.

Указать:

·  моду Мо;

·        медиану Ме.

Решение:

Определим объем выборки: = 10 + 14 + … + 6 = 100

Относительные частоты определим по формуле:

Определим значения накопленных частот .

Согласно определению, накопленная частота равна числу вариантов со значением Х меньше заданного значения х.

Определим накопленные частости  по формуле:

Все результаты расчетов представим в таблице:

Выборочная средняя определяется по формуле:

,

где - середина интервала .

Таким образом, находим:

= 14,8

Смещенная оценка дисперсии Д вычисляется по формуле:

Д =

=

=

262,40

Д = 43,36

Несмещенная оценка дисперсии определяется по формуле:

= 43,80

Для оценки среднего квадратического отклонения σ используется несмещенная дисперсия . Согласно определению имеем:

σ =

σ == 6,62

Коэффициент вариации V определим по формуле:

44,7%

Построим гистограмму частот.

Для построения гистограммы на оси абсцисс отложим отрезки частичных интервалов  варьирования и на этих отрезках как на основаниях построим прямоугольники с высотами, равными частотам соответствующих интервалов.

С помощью гистограммы определим моду, т.е. вариант, которому соответствует наибольшая частота: Мо = 12.

Согласно определению эмпирическая функция распределения:

для данного значения х представляет собой накопленную частость. Для интервального вариационного ряда имеем лишь значения функции распределения на концах интервала. Для графического изображения этой функции целесообразно ее доопределить, соединив точки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками прямой. Полученная таким образом ломанная совпадает с кумулятивной кривой (кумулятой).

С помощью кумуляты может приближенно найдена медиана как значение признака, для которого  = 0,5. Очевидно, Ме = 14.

Задача №2

Ежемесячный объем выпуска продукции завода является случайной величиной, распределенной по показательному закону. Имеются данные об объеме выпуска в течение шести месяцев.

Методом моментов найти точечную оценку параметра распределения.

Решение:

Показательный закон распределения

содержит только один параметр λ.

В случае одного параметра в теоретическом распределении для его определения достаточно составить одно уравнение. Следуя методу моментов, приравняем начальный теоретический момент первого порядка начальному эмпирическому моменту первого порядка: . Учитывая, что и , получаем . Известно, что математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра λ; следовательно

Это равенство является приближенным, т.к. его правая часть является случайной величиной. Таким образом, из указанного равенства получаем не точное значение λ, а его оценку:

Оценка параметра λ показательного распределения равна величине, обратной выборочной средней.

Следовательно,

Задача №3

Для поверки эффективности новой технологии отобраны две группы рабочих численностью и человек. В первой группе, где применялась новая технология, выборочная средняя выборки составила  изделий, во второй изделий. Установлено, что дисперсии выработки в группах равны соответственно и .

Требуется на уровне значимости α = 0,05 выяснить влияние новой технологии на среднюю производительность.

Решение:

Проверим гипотезу : , т.е средние выработки рабочих одинаковы по новой и старой технологиям. В качестве альтернативной (конкурирующей) гипотезы можно взять : или : .

В рассматриваемой задаче более естественна гипотеза , так как ее справедливость означает эффективность применения новой технологии.

Так как проверяется гипотеза о равенстве средних, то в качестве критерия проверки нулевой гипотезы следует принять случайную величину

и вычислить ее наблюдаемое значение:

При конкурирующей гипотезе :  критическое значение статистики t находим из условия:

.

По таблице значений функции Лапласа находим: .

Так как > , то гипотезу отвергаем. На 5%-ном уровне значимости можно сделать вывод о том, что новая технология позволяет повысить среднюю выработку рабочих.

Задача №4

Имеются данные (условные) о сменной добыче угля У (т) и уровне механизации работ Х (%), характеризующие процесс добычи угля в семи шахтах. Установлено, что между переменными Х и У существует степенная зависимость: . Требуется найти параметры этой зависимости.

Решение:

Нелинейное уравнение регрессии приведем к линейному, прологарифмировав обе его части:

Для определения неизвестных параметров уравнения и используем метод наименьших квадратов, согласно которому должна быть составлена система нормальных уравнений и найдено ее решение:

Для расчета необходимых сумм составим таблицу следующего вида:

Используя данные расчетной таблицы, составим систему нормальных уравнений:

Решим систему уравнений по формулам Крамера.

Следовательно:

Найдем .

Таким образом, окончательно получим:

Отобразим на графике фактические и выровненные уровни.

Задача №5

В таблице приведены данные, отражающие спрос на некоторый товар за семилетний период (усл. ед.). Найти уравнение тренда для временного ряда, полагая тренд линейным.

Решение:

Определим уравнение тренда для временного ряда, предполагая, что тренд линейный.

Для определения неизвестных параметров уравнения и используем метод наименьших квадратов, согласно которому должна быть составлена система нормальных уравнений и найдено ее решение:

,

Определим коэффициенты и свободные члены этой системы.

= 38 + 41 + … + 71 = 380

= 38∙1 + 41∙2 + … + 71∙7 = 1681

Следовательно, система нормальных уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений по формулам Крамера.

Следовательно:

Таким образом, уравнение тренда рассматриваемого временного ряда имеет вид:

Отобразим на графике фактические и выровненные уровни.

Список литературы

дисперсия вариация тренд уравнение

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 5-е, стер. - М.: Высш. шк., 2001. - 400с.: ил.

. Кремер Н.Ш. Эконометрика: учебник для вузов/Н.Ш. Кремер,

Б.А. Путко. - М.: Юнити, 2003. - 311с.

. Практикум по эконометрике: Учеб. Пособие/И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 192с.: ил.

. Эконометрика: Учебник/Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 344с.: ил.