Исследование функций. Производные

Исследование функций. Производные

Задание 1

Исследовать функцию на непрерывность:

Решение:

Функция f(x) - непрерывна в т х = а, если соблюдаются следующие условия:

при х = а функция f(x) имеет определенное значение b;

при х → а функция имеет предел, тоже равный b;

При нарушении хотя бы одного из этих условий функция называется разрывной в т х = а.

 - значит в т х = 0 функция имеет разрыв.

 - значит в т х = 1 функция имеет разрыв.

Покажем это на графике:

Задание 2

Найти производные функций:

Решение:

Производная показательной функции вычисляется по формуле:

(а^х)′ = а^х ∙lna

Задание 3

Найти производные первого и второго порядков функций

Решение:

Задание 4

Материальная точка движется прямолинейно по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t = 2c. (S - выражено в метрах).

Решение:

Найдем скорость:

Найдем ускорение

Ответ: ,

Задание 5

Найти экстремальные значения функции.

Решение:

Исследуем функцию на наличие точек экстремума (точек максимума и минимума).

(-1; 7) и (1; 3) - точка подозрительная на экстремум.

Рассчитаем значение производной справа и слева от критических точек.

Значит на промежутке (; -1) и (1; ) функция возрастает, на промежутке [-1; 1] функция убывает.

Занесем для ясности полученные значения в таблицу:

(-1; 7) - точка максимума.

(1; 3) - точка минимума.

Исследовать функции и построить их графики.

;

Решение:

) Область определения:

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой т.к. f(x) - многочлен.

) Точки пересечения с осями координат: с осью ОХ т.е. у=0:

с осью ОХ точек пересечения нет.

С осью ОУ т.е. х=0:

- точка пересечения с осою ОУ.

) Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x), то функция нечетная, при хD(y). Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная. функция производная график точка

Функция четная

) Исследуем на наличие асимптот.

Вертикальных асимптот нет т.к. нет точек разрыва.

Наклонные асимптоты:

y = kx + b - уравнение наклонной асимптоты.

, тогда

Значит и наклонных асимптот тоже нет.

) Исследуем функцию на наличие точек экстремума (точек максимума и минимума), промежутки возрастания и убывания функции.

(0; 3) - точки подозрительные на экстремум.

Исследуем поведение функции справа и слева от каждой критической точки.

Значит на промежутке (; 0) функция убывает, а на промежутке [0; ) функция возрастает.

Занесем полученные данные в таблицу:

(0; 3) - точки минимума.

) Исследуем функцию на наличие точек перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости функции.

Точек перегиба нет.

. Область определения

Все предусмотренной формулой функции операции, кроме деления, - т.е. операции сложения и возведения в натуральную степень - выполняются при любых значениях аргумента х, а деление возможно, если делитель не равен нулю. Поэтому данная функция определена, если знаменатель задающей ее дроби не равен нулю: если , т.е. если . Таким образом, .

2) Точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ т.е.

у=0:

 - точка пересечения с осою ОХ.

С осью ОУ т.е.

х=0:

 - точка пересечения с осою ОУ.

) Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f(-x) = f(x), то функция четная, если f(-x) = -f(x), то функция нечетная, при хD(y). Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная.

Функция ни четная ни нечетная

) Исследуем на наличие асимптот.

Вертикальные асимптоты.

Поскольку вертикальные асимптоты следует искать лишь в точках разрыва данной функции, единственным «кандидатом» в нашей задаче является прямая .

 - вертикальная асимптота.

Покажем это:

 - точка разрыва 2-го, значит  - вертикальная асимптота.

Наклонные и горизонтальные асимптоты.

Уравнение наклонной асимптоты графика функции  имеет вид ,

где ; .

В частности, получается, что если , а при этом существует, по этим формулам находится горизонтальная асимптота .

Выясним наличие наклонных асимптот.

;

 - уравнение наклонной асимптоты.

. Найдем экстремумы и интервалы монотонности. Действуем по следующей схеме.

Вычислим первую производную данной функции:

Таким образом, у нашей функции две критические точки:

Исследуем знак производной слева и справа от каждой критической точки и от точки разрыва х=-4.

Найдем знак производной на каждом из интервалов. Для этого на интервале мы можем выбрать удобную для вычислений точку и найти в ней знак производной; тот же знак будет у нее на всем этом интервале.

Значит на промежутке [-8; -4) и (-4; 0] функция убывает, а на промежутке (; -8) и (0;) функция возрастает.

Занесем полученные данные в таблицу:

Найдем координаты точки максимума:

(-8; -16) - точка максимума.

Найдем координаты точки минимума:

(0; 0) - точка минимума.

6. Найдем интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

Для этого поступаем так.

Вычислим вторую производную данной функции:

Точек перегиба нет.

Исследуем поведение функции справа и слева от точки х=-4

Список использованной литературы

1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: АСТ: Астрель, 2006 - 991 с.

. Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Под ред. А.И. Кирилова. - 3-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006 - 368 с.

. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: АСТ: Астрель, 2007. - 509 с.

. Красс М.С., Чупрыков Б.П. Математика для экономистов. - СПб.: Питер 2007. - 464 с.