Исследование функций. Производные
Задание 1
Исследовать функцию на непрерывность:
Решение:
Функция
f(x) - непрерывна в т х = а, если соблюдаются следующие
условия:
при
х = а функция f(x) имеет определенное значение b;
при
х → а функция имеет предел, тоже равный b;
При
нарушении хотя бы одного из этих условий функция называется разрывной в т х =
а.
- значит
в т х = 0 функция имеет разрыв.
- значит
в т х = 1 функция имеет разрыв.
Покажем
это на графике:
Задание 2
Найти производные функций:
Решение:
Производная
показательной функции вычисляется по формуле:
(ах)′
= ах ∙lna
Задание
3
Найти
производные первого и второго порядков функций
Решение:
Задание 4
Материальная
точка движется прямолинейно по закону . Найти
скорость и ускорение в момент времени t = 2c. (S -
выражено в метрах).
Решение:
Найдем скорость:
Найдем
ускорение
Ответ:
,
Задание 5
Найти экстремальные значения функции.
Решение:
Исследуем
функцию на наличие точек экстремума (точек максимума и минимума).
(-1;
7) и (1; 3) - точка подозрительная на экстремум.
Рассчитаем
значение производной справа и слева от критических точек.
Значит
на промежутке (; -1) и (1; ) функция
возрастает, на промежутке [-1; 1] функция убывает.
Занесем
для ясности полученные значения в таблицу:
х
|
(; -1)-1[-1; 1]1(1;
)
|
|
|
|
|
у′
|
+
|
0
|
-
|
0
|
+
|
у
|
т. maxт. min
|
|
|
|
|
(-1; 7) - точка максимума.
(1; 3) - точка минимума.
Исследовать функции и построить их графики.
;
Решение:
)
Область определения:
Функция
определена и непрерывна на всей числовой прямой т.к. f(x) -
многочлен.
)
Точки пересечения с осями координат: с осью ОХ т.е. у=0:
с осью ОХ
точек пересечения нет.
С
осью ОУ т.е. х=0:
- точка
пересечения с осою ОУ.
)
Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f(-x) = f(x),
то функция четная, если f(-x) = -f(x), то функция нечетная, при хD(y).
Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная. функция производная график точка
Функция
четная
)
Исследуем на наличие асимптот.
Вертикальных
асимптот нет т.к. нет точек разрыва.
Наклонные
асимптоты:
y = kx + b -
уравнение наклонной асимптоты.
, тогда
Значит и наклонных асимптот тоже нет.
) Исследуем функцию на наличие точек экстремума (точек максимума и
минимума), промежутки возрастания и убывания функции.
(0;
3) - точки подозрительные на экстремум.
Исследуем
поведение функции справа и слева от каждой критической точки.
Значит
на промежутке (; 0) функция убывает, а на промежутке [0; ) функция возрастает.
Занесем
полученные данные в таблицу:
х
|
(-; 0)0[0; )
|
|
|
у′
|
+
|
0
|
+
|
у
|
т. min
|
|
|
(0; 3) - точки минимума.
) Исследуем функцию на наличие точек перегиба, промежутки выпуклости и
вогнутости функции.
Точек
перегиба нет.
.
Область определения
Все
предусмотренной формулой функции операции, кроме деления, - т.е. операции
сложения и возведения в натуральную степень - выполняются при любых значениях
аргумента х, а деление возможно, если делитель не равен нулю. Поэтому данная
функция определена, если знаменатель задающей ее дроби не равен нулю: если , т.е. если . Таким
образом, .
2) Точки пересечения с осями координат:
С осью ОХ т.е.
у=0:
- точка
пересечения с осою ОХ.
С
осью ОУ т.е.
х=0:
- точка
пересечения с осою ОУ.
)
Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f(-x) = f(x),
то функция четная, если f(-x) = -f(x), то функция нечетная, при хD(y).
Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная.
Функция
ни четная ни нечетная
)
Исследуем на наличие асимптот.
Вертикальные асимптоты.
Поскольку
вертикальные асимптоты следует искать лишь в точках разрыва данной функции,
единственным «кандидатом» в нашей задаче является прямая .
-
вертикальная асимптота.
Покажем
это:
- точка
разрыва 2-го, значит - вертикальная асимптота.
Наклонные и горизонтальные асимптоты.
Уравнение
наклонной асимптоты графика функции имеет
вид ,
где
; .
В
частности, получается, что если , а при этом существует, по этим формулам находится
горизонтальная асимптота .
Выясним
наличие наклонных асимптот.
;
-
уравнение наклонной асимптоты.
.
Найдем экстремумы и интервалы монотонности. Действуем по следующей схеме.
Вычислим
первую производную данной функции:
Таким
образом, у нашей функции две критические точки:
Исследуем
знак производной слева и справа от каждой критической точки и от точки разрыва
х=-4.
Найдем
знак производной на каждом из интервалов. Для этого на интервале мы можем
выбрать удобную для вычислений точку и найти в ней знак производной; тот же
знак будет у нее на всем этом интервале.
Значит
на промежутке [-8; -4) и (-4; 0] функция убывает, а на промежутке (; -8) и (0;) функция
возрастает.
Занесем
полученные данные в таблицу:
х
|
(-; -8)-8[-8; -4)-4(-4; 0]0(0;)
|
|
|
|
|
|
|
у′
|
+
|
0
|
-
|
-0+
|
|
|
|
у
|
т. maxт. min
|
|
|
|
|
|
|
Найдем координаты точки максимума:
(-8;
-16) - точка максимума.
Найдем
координаты точки минимума:
(0;
0) - точка минимума.
6. Найдем интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
Для этого поступаем так.
Вычислим вторую производную данной функции:
Точек
перегиба нет.
Исследуем поведение функции справа и слева от точки х=-4
Список использованной литературы
1. Выгодский
М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: АСТ: Астрель, 2006 - 991 с.
. Зимина
О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. Под ред. А.И. Кирилова.
- 3-е изд., испр. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006 - 368 с.
. Выгодский
М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: АСТ: Астрель, 2007. - 509 с.
. Красс М.С.,
Чупрыков Б.П. Математика для экономистов. - СПб.: Питер 2007. - 464 с.