Исследование зависимости спроса на товар от его предложения

Курсовая работа

Исследование зависимости спроса на товар от его предложения

Введение

Математическая статистика - раздел математики, изучающий математические методы сбора, систематизации, обработки и интерпретации результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей. Математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (выборки). Во время статистических наблюдений для каждого объекта в ряде случаев можно измерить значение некоторых признаков. Таким образом, получается многомерная выборка. Если многомерную выборку отобрать по значению отдельного признака, то получится обычная обработка одномерной выборки. Смысл обработки многомерных выборок состоит в том, чтобы установить связь между признаками. В естественных науках часто речь идет о функциональной зависимости (связи), когда каждому значению одной переменной соответствует вполне определенное значение другой.

Математическая статистика распространена и востребована в самых различных сферах жизни общества. Она находит широкое применение как в научных дисциплинах (экономике, социологии, биологии, физики), так и на практике (в различных организациях и на предприятиях).

В данной курсовой работе будет исследована зависимость спроса на автомобили марки Toyota от их предложения на мировом рынке.

1. Теоретическая часть

Выборочный метод - статистический метод исследования общих свойств совокупности каких-либо объектов на основе изучения свойств лишь части этих объектов, взятых на выборку.

Генеральная совокупность, генеральная выборка - совокупность всех объектов, относительно которых учёный намерен делать выводы при изучении конкретной проблемы.

Выборочное среднее  - это среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Выборочная дисперсия  - это среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения.

Выборочным средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из выборочной дисперсии.

Выборочная ковариация - мера линейной зависимости двух случайных величин, зависящая от единиц измерения рассматриваемых величин.

Выборочным коэффициентом корреляции  случайных величин X и Y называют отношение ковариации к произведению средних квадратичных отклонений этих величин. Коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1.

Если  = 0, то X и Y - независимые случайные величины; если  = 1, то это строгая функциональная зависимость; +1 - возрастающая регрессия, -1 - убывающая регрессия.

Выборочный коэффициент корреляции показывает тесноту линейной связи между X и Y - чем ближе к единице абсолютное значение коэффициента, тем сильнее линейная связь между переменными.

Регрессия - зависимость среднего значения какой-либо величины Y от другой величины X. Понятие регрессии в некотором смысле обобщает понятие функциональной зависимости y = f(x). Только в случае регрессии одному и тому же значению xв различных случаях соответствуют различные значения у.

Регрессионный анализ заключается в определении аналитического выражения связи, в которой изменение одной величины (называемой зависимой или результативным признаком) обусловлено влиянием одной или нескольких независимых величин (факторов).

По форме зависимости различают:

·        Линейную регрессию, которая выражается уравнением прямой:

·        Нелинейную (параболическую):

Исследование линейной регрессии:

Определим коэффициенты линейной функции  методом наименьших квадратов. Для этого составим сумму:

Для того чтобы эта сумма была минимальной, необходимо, чтобы ее частные производные по параметрам A и B были равны нулю:

Раскрыв скобки, мы получим:

Выразим a и b:

Исследование параболической регрессии.

В этом случае уравнение регрессии Y на X имеет вид:

,

где a, b и c - неизвестные параметры.

Найдем такие a, b, c, при которых парабола наименее уклоняется от точек (X_i, Y_i). Сделаем это методом наименьших квадратов. Для того чтобы сумма квадратов отклонений

была наименьшей, необходимо, чтобы выполнялись три условия (по числу неизвестных коэффициентов)

После преобразований уравнения примут следующий вид:

(7)

Подставив соответствующие значения в полученные формулы, и решив систему уравнений, мы получим искомую функцию параболической регрессии.

Сумма отклонений значений  от теоретических значений линейной и параболических регрессий.

 (8)

 (9)

Эти формулы используются для линейной и параболической регрессий, затем сравнивают полученные результаты и находят наименьшее среди полученных результатов. Та регрессия, у которой будут наименьшие оценки, более точно отражает распределение точек на диаграмме рассеивания.

Поскольку выборка отобрана случайно, то нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупности r также отличен от нуля. Возникает необходимость при данном уровне значимости б проверить нулевую гипотезу  о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе .

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы применяют случайную величину

Величина T при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента с  степенями свободы. Поэтому вычисляется эмпирическое значение критерия и по таблице критических точек распределения Стьюдента по выбранному уровню значимости б и числу степеней свободы  находят критическую точку:

Если, то нулевую гипотезу отвергают, и выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, а X и Y коррелированы, т.е. связаны линейной зависимостью.

Если _, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу и говорят, что выборочный коэффициент корреляции незначим, а X и Y некоррелированные, т.е. не связаны линейной зависимостью.

2. Постановка задачи

Дана выборка, состоящая из 20 пар чисел - предложение на товар,  - спрос на товар. Задача состоит в изучении характера зависимости между признаками X и Y. Для этого в данной курсовой работе необходимо:

1.       Провести статистический анализ данных для переменных X и Y. Найти выборочные средние, дисперсии и среднеквадратические отклонения для X и Y по отдельности.

2.       Найти ковариацию Cov (X, Y).

.        Найти коэффициент корреляции X и Y.

.        Найти по выборке уравнение линейной регрессии (Y как функцию X) по методу наименьших квадратов.

6.       Построить графики, изображающие данные выборки и найденные функции регрессии.

.        Проверить гипотезу о значимости выборочного коэффициента корреляции при заданном уровне значимости альфа = 0.001.

.        Найти и сравнить значения сумм отклонений данных точек от линий регрессии. Проанализировать полученные результаты и сделать выводы.

3. Выполнение задачи

Исходные данные

Итак, нам даны выборки , где  - предложение на товар (в миллионах рублей), а  - спрос на товар (в миллионах рублей). Представим Y, как функцию от X. Точное представление Y=f(X), как правило, невозможно, поэтому Y» f (X). Вид этой зависимости и требуется найти.

Построим график рассеивания точек выборки:

Статистический анализ данных для переменных X и Y

Найдем выборочные средние для X и Y по формуле (1):

Найдем выборочные дисперсии для X и Y по формуле (2) и (3):

Найдем выборочные средне квадратические отклонения для X и Y по формуле (4):

Ковариация Cov (X, Y)

Найдем выборочную ковариацию для переменных X и Y по формуле(5):

Коэффициент корреляции X и Y

Найдем выборочный коэффициент корреляции для переменных X и Y по формуле (6):

Нахождение параметров a и b методом наименьших квадратов

Найдем коэффициенты a и b для уравнения линейной регрессии.

Для нахождения коэффициентов a и b методом наименьших квадратов были посчитаны следующие необходимые параметры:

Тогда коэффициенты  и  соответственно равны:

Таким образом, получаем уравнение линейной регрессии:

Построим график линейной регрессии:

Нахождение параметров a, b и c методом наименьших квадратов

Найдем коэффициенты a, b и c для уравнения параболической регрессии по формулам (7):

Для нахождения коэффициентов a, b и c методом наименьших квадратов были посчитаны следующие необходимые параметры:

Для того чтобы найти коэффициенты a, b и c мы заходим в Excel и с помощью функции Поиск Решений находим их:

Следовательно, уравнение параболической регрессии для нашей выборки имеет вид:

Графическое сравнение линейной и квадратичной зависимостей

Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции при заданном уровне значимости

Для того чтобы при заданном уровне значимости a проверить нулевую гипотезу Н₀: r = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H₁: r ≠ 0. Таким образом, при принятии нулевой гипотезы Х и Y некоррелированы, то есть не связаны линейной зависимостью, а при отклонении Н₀ они коррелированыдля этого вычислим  и :

Получаем:

Поскольку, то предложенную гипотезу Ho необходимо отвергнуть, корреляция есть.

Нахождение и сравнение сумм квадратов отклонений от линии регрессии

По формуле (8) высчитываем сумму квадратов отклонений для линейной регрессии:

По формуле (9) высчитываем сумму квадратов отклонений для параболической регрессии:

Поскольку , то можно сказать, что линейная регрессия более точно отражает распределение точек на диаграмме рассеивания.

Заключение

В данной курсовой работе были вычислены основные числовые характеристики выборок по X и Y.

По выборке проведено исследование корреляционной зависимости изменения спроса на товар (Y) от изменения его цены (X). Найдены ковариация и коэффициент корреляции.

Были изучены две регрессии: линейная и параболическая, из полученных данных мы нашли два коэффициента  для определения лучшей регрессии. Так как , то можно сказать, что линейная регрессия лучше приближает данные, чем параболическая.

Список литературы

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. -1998;

2. Гриценко С.А., Маркова И.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методическое пособие. Часть 1. Дубна, 2003;

3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник. М. - 2004;