Математичні задачі енергетики

Міністерство освіти і науки України

Одеський національний політехнічний університет

Кафедра електропостачання та енергоменеджмента

Розрахункова графічна робота:

“МАТЕМЕТИЧНІ ЗАДАЧІ ЕНЕРГЕТИКИ”

Виконав студент III курсу

групи ЕС-113

Варіант №8

Панін В.О.

Керівник: Біляєв

Одеса 2013р.

Вступ

Дисципліна "Математичні задачі енергетики" є проміжною між курсами загальної і прикладної математики та теоретичних основ електротехніки з однієї сторони й дисциплінами спеціалізації з іншої.

Мета вивчення дисципліни - зв'язати зазначені загальнотеоретичні дисципліни із практичними їхніми застосуваннями у роботі фахівця й одержати конкретний математичний апарат для досліджень систем електропостачання. Зміст дисципліни орієнтований на найбільш характерні задачі аналізу систем електропостачання: розрахунки усталених режимів, кількісну оцінку надійності енергетичних об'єктів і систем, прогнозування попиту потужності й енергії у системі й окремих споживачах, розрахунок електричних навантажень. Розглядаються методи й алгоритми, велика частина з яких реалізується у вигляді програм для комп'ютерів.

Вивчення даної дисципліни вимагає відповідної підготовки студентів із математики і теоретичних основ електротехніки. З математики особливо важливі розділи матричної алгебри, алгебри комплексних чисел, методів рішення систем алгебраїчних рівнянь, основ теорії ймовірностей і математичної статистики. З курсу теоретичних основ електротехніки в першу чергу необхідні знання по основах теорії кіл.

У курсовій роботі розв’язуються задачі з основних розділів дисципліни:

-       математичні основи методів аналізу усталених режимів електроенергетичних систем (завдання 1);

-       кількісна оцінка надійності складних структур (завдання 2);

-       розрахунки характеристик режиму з використанням моделі систем випадкових величин (завдання 3).

Зміст зазначених завдань орієнтовано на обчислення за допомогою найпростіших розрахункових засобів і тільки в окремих випадках потрібно застосування комп'ютера.

Завдання 1

Від центра живлення А (вузол 4) по замкнутій мережі, схема заміщення якої приведена на рисунку, одержують електроенергію підстанції, що підключаються до вузлів 1, 2, 3. Напруга центра живлення U4, опори ділянок мережі Zj, j = 1...5 і розрахункові навантаження підстанцій Si, i = 1, 2, 3.

Потрібно розрахувати усталений режим для заданої ділянки мережі, тобто визначити напруги у вузлах приєднання навантажень, струми віток, потужності на початку і наприкінці кожної вітки і сумарні втрати потужності в мережі. Задачу варто розв’язати методом вузлових напруг.

Рис.1

Таблиця 1. Початкові данні

jZ1 = 60° jS1 = 45°

jZ2 = 58°  jS2 = 52°

jZ3 = 32°  jS3 = 60°

jZ4 = 44°

jZ5 = 52°

1. Формування системи нелінійних алгебраїчних рівнянь вузлових напруг у формі балансу струмів.

Система нелінійних алгебраїчних рівнянь вузлових напруг у формі балансу струмів у матричному виді:

(1)

напруга струм потужність трансформаторний

Yy- комплексна матриця вузлових провідностей порядку n=3

Uу - матриця-стовпець невідомих міжфазних напруг вузлів;(Uу) - матриця-стовпець нелінійних джерел струмів, залежних від напруг;б - матриця-стовпець взаємних провідностей між балансуючим і іншими вузлами;б - міжфазна напруга базисного вузла, що співпадає з балансуючим.

б=Uб=U4 ; d б = 0.

Знаходимо матрицю вузлових провідностей Yу:

.

При збігу базисного і балансуючого вузлів матриця Yу симетрична щодо головної діагоналі, кожен її діагональний елемент дорівнює сумі провідностей віток, зв'язаних з к-м вузлом, а кожен недіагональний елемент  дорівнює узятій зі знаком мінус сумі провідностей віток, що з'єднують i-й і j-й вузли схеми.

(2)

Підставимо в (1)  згідно (2),  а також  і , де  - матриці стовпці дійсних і мнимих складових напруг вузлів і джерел струмів.

 .                  (3)

Система рівнянь (3) у розгорнутому виді:

=

Одержуємо:

 (4)

Підставляємо в (4) значення активних і реактивних складових провідностей, активних і реактивних потужностей вузлів, що розраховуються по вихідним даним завдання за формулами: ,

Складемо направлений граф:

Рис.2

Складаємо першу матрицю з’єднань:

Транспонована матриця з’єднань:

Складемо матрицю вузлових провідностей Yb:

Провідності віток:

Матриця провідностей віток:

Знаходимо матрицю вузлових провідностей Yy:

Матриця вузлових провідностей:

Розділяємо Yy на матрицы активних Gy і реактивних By складових вузлових провідностей:

Складаємо матрицю-стовбець Ykb взаємних провідностей віток між балансуючим і іншими вузлами:

Розділяємо Ykb на матрицы активних gkb і реактивних bkb складових:

 і

Потужності в вузлах:

Розв’язок системи нелінійних рівнянь вузлових напруг у формі балансу струмів з використанням методу Гаусса на кожному кроці ітераційного процесу (зовнішньої ітерації).

Розв’язок системи рівнянь (4) здійснюється:

Задаємося початковим наближенням невідомих напруг вузлів на нульовому кроці зовнішньої ітерації.

Підставляємо ці складові напруг у праві частини рівнянь (4) і обчислюємо числові значення правих частин. Тоді рівняння вузлових напруг перетворюються в систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

Вирішуємо систему лінеаризованих рівнянь методом Гаусса зі зворотним ходом. У результаті виконання кроків прямого ходу виключаємо послідовно  з другого і наступного рівнянь систйми (4)  із третього і наступного рівнянь і т.д. поки не приведемо систему (4) до еквівалентної системи з верхньою трикутною матрицею коефіцієнтів:

          (5)

Із системи рівнянь (5) послідовно визначаємо значення невідомих  (зворотний хід).

Переходимо до другого кроку зовнішньої ітерації, тобто визначаємо праві частини системи (4) при значеннях складових вузлових напруг, рівних їхнім першим наближенням. Вирішуючи систему лінеаризованих рівнянь, з тією ж матрицею , знаходимо друге наближення складових напруг .

Перше наближення метода Гаусса:

Таблиця 5. Початкові значення напруг

Права частина линеариз. рівнянь

Прямий хід метода Гаусса

Таблиця 6. Результат розрахунку зворотнім методом Гауса

Розв’язок системи нелінійних алгебраїчних рівнянь вузлових напруг у формі балансу струмів методом Гаусса-Зейделя.

Таблиця 7. Опори і провідності віток.

Таблиця 8. Вузлові провідності

Таблиця 9.Провідності віток від базисного вузла до кожного

Таблиця 10. Початкові значення напруг

Таблиця 11. Потужності у вузлах

Таблиця 15. Рішення системи нелінійних рівнянь вузлових напруг методом Гаусса - Зейделя

Загалом весь ітераційний процес зійшовся за 40 ітерацій. Це набагато більше ніж у методі Гаусса, але при рішенні методом Гаусса проводиться більш складні розрахунки, котрі потребують більше часу, а в разі розрахунку на ЕВМ ускладнюється алгоритм, як наслідок маємо більш високі вимоги до швидкості процесора та об`єму оперативної пам`яті.

Формування системи нелінійних рівнянь вузлових напруг у формі балансу потужностей.

Перед формуванням системи рівнянь вузлових напруг у формі балансу потужностей варто перетворити схему заміщення, приведену в завданні, звівши її до схеми із двома незалежними вузлами.

. Розносимо навантаження вузла 2 у вузли 1 і 3:

 ,                    .

Перевірка: .

. Розраховуємо значення потужностей навантажень у вузлах 1 і 3 з урахуванням навантаження вузла 2:

;                        .

. Складаємо послідовно вітки 2 і 5: ; знаходимо провідність еквівалентної вітки 2-5  і результуючу провідність між вузлами 1 і 3:

. Перейменовуємо: вузол 3 у вузол 2, вузол 4 у вузол 3, вітку 4 у вітку 3, а еквівалентну вітку між вузлами 1 і 3 у вітку 2. Тоді на рис. 2: ; ;  ;;

Рис.3

Система нелінійних алгебраїчних рівнянь вузлових напруг у формі балансу потужностей, записана у виразах для небалансів потужностей у вузлах, має вигляд:

;

;      (6)

.

Якщо в якості невідомих при розв’язку рівнянь (6) використовуються модулі й фази напруг у вузлах , то після вираження  через і , k=1…n, підстановки в (6) активних і реактивних складових провідностей вузлів, активних і реактивних потужностей у вузлах, напруги базисного вузла і при рівняння нулю окремо дійсних і мнимих частин комплексів, одержуємо систему трансцендентних рівнянь вузлових напруг у формі балансу потужностей.

 (7)

Перетворення схеми заміщення:

Потужності в вузлах:

. Розносимо навантаження вузла 2 у вузли 1 і 3:

 ,                    .

 (кВт)

 (кВт)

Перевірка:

Розраховуємо значення потужностей навантажень у вузлах 1 і 3 з урахуванням навантаження вузла 2:

(кВт)

 (кВт)

Складаємо послідовно вітки 2 і 5: ; знаходимо провідність еквівалентної вітки 2-5  і результуючу провідність між вузлами 1 і 3:

=0.09-0.072j (См)

Перейменовуємо: вузол 3 у вузол 2, вузол 4 у вузол 3, вітку 4 у вітку 3, а еквівалентну вітку між вузлами 1 і 3 у вітку 2. Тоді на рис. 2: ; ;  ;;  

Розраховуємо небаланси активних і реактивних потужностей на нульовому шазі

Розв’язок системи нелінійних рівнянь вузлових напруг у формі балансу потужностей методом Ньютона.

Розв’язок системи трансцендентних рівнянь (7) методом Ньютона передбачає ітераційний процес, на кожному р-м кроці якого, р=1,2…вирішується щодо поправок  до шуканих невідомих лінеаризована система рівнянь (8). У системі (8) ліворуч знаходиться квадратна матриця перших похідних функцій небалансів потужностей у вузлах по модулях і фазам невідомих напруг U1 , U2 (матриця Якобі). Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь (8) методом Гаусса дозволяє одержати нові (уточнені) значення шуканих невідомих по формулах (9). Ітераційний процес продовжується доти, поки небаланси (нев’язки) у (7) не стануть менше необхідної точності e , e = 0,001 МВт, Мвар. Для формування лінеаризованої системи рівнянь (8) необхідно одержати вирази для перших похідних функцій небалансів активних і реактивних потужностей у вузлах по модулях і фазам невідомих напруг. Ці вирази одержуються у такому вигляді:

(7а)

У ці вирази слід підставляти знайдені чисельні значення активних і реактивних складових вузлових провідностей зі знаком плюс.

 (8)

                  (9)

Задаємося початковим (нульовим) наближенням невідомих. Рекомендується прийняти .

Розраховуємо небаланси активних і реактивних потужностей на нульовому кроці (праві частини в системі (8) згідно (7) і порівнюємо їх із заданою точністю.

Підставляємо початкові наближення невідомих у вирази (7а) для похідних і розраховуємо нульове наближення елементів матриці Якобі. На цьому закінчується формування лінеаризованої системи рівнянь. Її варто записати в матричній формі (8).

Підставляємо початкові наближення невідомих у вирази для похідних і розраховуємо нульове наближення елементів матриці Якобі.

Таблиця 16. Розрахунки методом Ньютона

Процес зійшовся на 3 кроці ітерацій.

ЗАВДАННЯ 2

Для структурної схеми надійності, приведеної на рис.5, визначити показники надійності системи на виході: частоту відмов, середній час відновлення, середній час безвідмовної роботи, імовірність відмов за рік, коефіцієнти готовності  і змушеного простою  (середні імовірності працездатного й відмовного станів системи). Показники надійності елементів системи - частоти відмов  і середні часи відновлення  приведені в таблиці 3.1. Відмови елементів розглядаються як незалежні події. Випадкова величина - наробіток на відмову підкоряється експоненціальному закону розподілу ймовірностей.

Рисунок 5 - Структурна схема надійності

Таблиця 3.1 - Показники надійності елементів схеми надійності

Виконується поетапне еквівалентування структури об'єднанням послідовно і паралельно з'єднаних елементів.

З’єднуємо послідовно 1 і 4 вітки:

Частота відмов системи:

Середній час відновлення системи:

Коефіцієнт змушеного простою:

Коефіцієнт готовності

Розглянемо двополюсний зв’язний нероздільний граф. Перевіряємо, чи можливо надійність системи визначити по надійності її мінімальних перетинів.

Рисунок 6 - Двополюсний зв’язний нероздільний граф

годин

годин

Визначимо сукупність мінімальних перетинів, утворених цим графом. Складаємо матрицю безпосередніх зв’язків вершин і ребер графу.

Таблиця 3.2 - Визначення перетинів

Вибираємо мінімальні перетини з множини отриманих перетинів. Для цього всі перетини представляємо в порядку зростання числа елементів.

Таблиця 3.3 - Вибір мінімальних перетинів

1

2

3

4

5

6

7

Перетини

14,3

3,7,8,9,5, 7,10,12

14,5,9

3,8,5,10,11

3,7,5,9,10,12

7,8,9

14,5,8,10,12

Продовження таблиці 3.3

Уточнюємо, чи не містяться в перетинах з великим числом елементів перетини з меншим числом елементів. Якщо містяться, то перетини з великим числом елементів виключаються, тобто виключаємо перетини 5 та 8 ( в ньому містяться перетини 9 та 11 відповідно ).

Таблиця 3.4 - Мінімальні перетини

Продовження таблиці 3.4

Перетини, які містять більше 3-х елементів вважаємо абсолютно надійними.

Рисунок 7 - Схема заміщення структури надійності

Знайдемо показники надійності перетинів, для паралельно з’єднаних елементів і показники надійності для всієї системи по послідовно з’єднаних мінімальних перетинах.

Розглянемо перетин №1:

Розглянемо перетин №2:

Розглянемо перетин №3:

Розглянемо перетин №4:

Розглянемо перетин №5:

Частота відмов системи

Середній час відновлення системи

Коефіцієнт змушеного простою

Коефіцієнт готовності

Середній час безвідмовної роботи

Імовірність відмови системи за рік

Висновок: В цьому завданні розраховуємо показники надійності системи, очевидно що надійність системи електропостачання досить велика, значною часткою це обумовлено тим, що у розгалуженій системі при виходу з ладу одного чи декількох елементів їх навантаження беруть на себе інші і система загалом залишається роботоспособною.[5]

. ЗАВДАННЯ 3

Від трансформаторної підстанції на промисловому підприємстві одержують електроенергію чотири ділянки цеху. Закони розподілу випадкових величин - навантажень ділянок з параметрами .

Кореляційний зв’язок між випадковими величинами ( навантаженнями ділянок ) характеризується матрицею коефіцієнтів кореляції .

Визначити максимальні активні потужності ділянок, імовірність перевищення яких .

Визначити максимальну активну потужність трансформаторної підстанції, імовірність перевищення якої , врахувавши, що закон розподілу потужності підстанції також нормальний.

Порівняти максимальну потужність підстанції із сумою максимальних потужностей ділянок. Як зміниться співвідношення між цими потужностями, якщо вважати, що кореляційний зв’язок між навантаженнями ділянок відсутній?

Визначити ймовірність перебування значень активної потужності в заданому інтервалі потужностей.

Таблиця 4.1 - Вихідні дані

Матриця коефіцієнтів кореляції

Рисунок 8 - Трансформаторна підстанція

Імовірність події перевищення активної потужності максимальної потужності

Випадкова величина  підчиняється нормальному закону розподілення імовірності.

 - це число знаходимо по стандартним нормальним таблицям.

По таблицям стандартного нормального закону розподілу імовірностей.

,

де  - кратність розсіювання:

Тоді

Знайдемо максимальну активну потужність навантаження кожної ділянки трансформаторної підстанції.

Знайдемо дійсну максимальну потужність трансформаторної підстанції.

Математичне очікування:

Коефіцієнт кореляції

де - кореляційний момент

Дисперсія із врахуванням кореляційних моментів:

Знайдемо максимальну активну потужність трансформаторної підстанції, імовірність перевищення якої g , враховуючи, що закон розподілу потужності підстанції нормальний.

Коефіцієнт одночасності:

Проведемо розрахунок без врахування кореляційних зв’язків.

Коефіцієнт одночасності:

Імовірність попадання випадкової величини  в заданий інтервал:

Висновок: в третьому завданні ми розраховуємо потужність трансформаторної підстанції і її окремих ділянок, максимальна активна потужність трансформаторної підстанції складається з суми максимальних активних потужностей навантажень ділянок, також залежить від імовірністі того, скільки електроприймачів увімкнено у даний момент, або який закон розподілу потужності підстанції. Закон розподілу навантаження між електроприймачами залежить від багатьох факторів: технологічного процесу, доби року, часу суток. Залежність розподілу потужності між електроприймачами проявляється через кореляційний зв'язок між навантаженнями ділянок та визначається матрицею коефіцієнтів кореляції.

Список використаних джерел

1.  Идельчик В.И. Электрические системы и сети. - М.: Энергоатомиздат, 1989. - 542 с.

2.  Надежность систем электроснабжения /В.В.Зорин и др. - К.:
Вища шк., 1984.-192 с.

3.  Невольніченко В.М., Бесараб А.Н. Методичні вказівки та завдання до курсової роботи з дисципліни «Математичні задачі енергетики» . - Одеса., ОНПУ., 2004. - 31 с.

4.      Перхач В.С. Математичні задачі електроенергетики. - Л.: Вища шк., 1989. - 464 с.

.        Расчеты и анализ режимов работы сетей /Под ред.
В.А.Веникова. - М.: Энергия, 1974. - 336 с.

6.  Электроэнергетические системы в примерах и иллюстрациях
/Под ред. В.А.Веникова. - М.: Энергоиздат, 1983. - 504 с.