Аналитическое решение краевых задач математической физики

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. академика С.П. КОРОЛЕВА

Факультет информатики

Кафедра технической кибернетики

Расчётно-пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине «Уравнения математической физики»

Тема: «АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ»

Выполнил Самтеладзе Г. Н.

Руководитель работы Дегтярев А.А.

Задание

Процесс распространения электромагнитной волны в однородной среде (волноводе) описывает следующим дифференциальным уравнением:

где  - оператор Лапласа в радиально-симметричном случае;

 - комплексная амплитуда напряженности электрического поля;

- длина электромагнитной волны; ;  - показатель преломления среды;  и  - координаты цилиндрической системы.

Предполагается, что среда (волновод) ограничена идеально проводящей цилиндрической оболочкой радиуса  и длины (в соответствии с рисунком 1).

Рисунок 1 - Распространение электромагнитной волны в волноводе кругового сечения

Распределение амплитуды на входе в волновод задается условием:

При проведении расчетов использовались следующие значения параметров:

Замечание. Приведенное дифференциальное уравнение называется уравнением Шредингера. Оно является уравнением параболического типа. При решении задачи целесообразно воспринимать переменную z как некоторое подобие временной координаты.

дифференциальный сходимость электромагнитный фурье

Реферат

Объектом исследования является процесс распространения электромагнитной волны в волноводе.

Цель работы - изучить объект исследования, описанный дифференциальным уравнением.

В результате работы получено решение задачи в виде ряда Фурье, исследована его сходимость, получена оценка остатка, разработана компьютерная программа расчета решения задачи с требуемой точностью, кроме того обеспечен контроль погрешности численного интегрирования и проведено экспериментальное исследование качества полученной аналитической оценки остатка ряда.

Содержание

Введение

. Математическая постановка краевой задачи

. Аналитическое решение

. Исследование сходимости ряда аналитического решения

. Оценка остатка ряда

. Численный расчет решения

.1 Вычисление функций Бесселя

.2 Вычисление корней характеристического уравнения J₀(μ_m)=0

.3 Численное интегрирование

. Сравнение теоретической и практической оценок количества членов ряда Фурье

. Анализ погрешности вычислений

. Результаты работы программы

Заключение

Список использованных источников

Введение

Математическая физика изучает математические модели физических явлений. Она и её методы начали формироваться в XVIII веке при изучении колебаний струны и стержней, задач акустики, гидродинамики, аналитической механики. Идеи математической физики получили новое развитие в XIX веке в связи с задачами теплопроводности, диффузии, упругости, оптики, электродинамики, нелинейными волновыми процессами, теорией устойчивости движения.

Многие задачи классической математической физики сводятся к краевым задачам для дифференциальных уравнений - уравнений математической физики, которые совместно с соответствующими граничными (или начальными и граничными) условиями образуют математические модели рассматриваемых физических процессов.

Основными классами таких задач являются эллиптические, гиперболические, параболические задачи и задача Коши.

Основными математическими средствами исследования задач математической физики служит теория дифференциальных уравнений с частными производными, интегральных уравнений, теорий функций и функциональных пространств, функциональный анализ, приближенные методы и вычислительная математика.

1. Математическая постановка краевой задачи

Из условия задачи известно, что волновод ограничен проводящей оболочкой, поэтому на стенке волновода будет соблюдаться следующее граничное условие первого рода:

Таким образом, дополнив заданное дифференциальное уравнение граничными условиями, получаем модель процесса распространения электромагнитной волны в волноводе, которая будет выглядеть так:

(1.1)

2. Аналитическое решение

Для отыскания решения задачи используем метод Фурье. Будем полагать, что решение может быть представлено в виде произведения:

 (2.1)

Введем обозначение , тогда дифференциальное уравнение из системы (1.1) запишется в виде:

Учтем в соотношении (2.1), а затем преобразуем его:

Уравнение, определяющее функцию :

Произведем серию выкладок, позволяющих упростить вычисление:

Домножим это уравнение на r²V(r) и дополним его граничным условием, которое следует из граничного условия функции U(r,z):

(2.2)

Таким образом, получаем уравнение Бесселя 0-го порядка.

Для того чтобы прийти к стандартному виду уравнения Бесселя введем новую переменную:

 (2.3)

Продифференцируем (2.3) по r и получим:

(2.4)

Аналогично, продифференцировав (2.4) по r:

 (2.5)

Подставим (2.3)-(2.5) в уравнение из (2.2) и получим для определения  уравнение Бесселя 0-го порядка:

(2.6)

Подставим в (2.6) граничное условие:

- т.к. целый порядок (ограниченное решение)

 пусть

Уравнение имеет бесконечное множество вещественных корней: то есть имеет бесконечное множество собственных значений: которым соответствуют собственные функции:

Таким образом, получаем:

Решение предстанет в следующем виде:

(2.7)

Подставим в (2.7) начальное условие , в результате получим:

(2.8)

Отметим, что система собственных функций является ортогональной системой с весом r [1].

Из теоремы разложимости [1] находим коэффициент :

 (2.9)

Правомерно следующее:

Таким образом, решение можно представить следующим рядом Фурье-Бесселя:

(2.10)

3. Исследование сходимости ряда аналитического решения

Найдём мажоранту для ряда:

При увеличении аргумента функции Бесселя:

 (3.1)

Неравенство (3.1) подробно доказывается в пункте 4 на странице 11.

Получим ряд q>u,

4. Оценка остатка ряда

Чтобы выяснить, как усечение ряда влияет на точность решения исходной задачи, необходимо найти оценку остатка ряда:

 (4.1)

где  

Получаем:

(4.2)

Учтем, что:

Таким образом, достаточно оценить только

Для оценки данных коэффициентов необходимо рассчитать следующий интеграл:

(4.3)

Для расчета (4.3) воспользуемся формулой:

(4.4)

Имеет место следующее равенство [3]:

 (4.5)

Рассмотрим выражение (4.4). Опустим в правой части  на основании практических расчетов (см. таблицу 1). Таким образом, (4.4) можно заменить следующим выражением:

Если   то (4.5) принимает вид:

Таким образом, получаем следующее неравенство:

Неравенство проверено и подтверждено на практике (см. таблицу 1).

Таблица 1 - Cравнение интеграла и апроксимирующей формулы

Таким образом, получаем:

(4.6)

Асимптотическая формула для

Приближенная формула для нулей

Для  

Таким образом

 (4.7)

Неравенство (4.7) проверено и подтверждено на практике.

Подставим это выражение в формулу (4.6) и получим:

(4.8)

Подставив (4.8) в (4.2), получим следующее выражение:

В итоге получаем оценку:

 (4.9)

5. Численный расчет решения

.1 Вычисление функций Бесселя

Для вычисления значений функций Бесселя нулевого и первого порядков был использован алгоритм, позволяющий вычислить значение с точностью 10^-7:

Для функции Бесселя нулевого порядка:

(5.1)

(5.2)

Для функции Бесселя первого порядка:

 (5.3)

5.2 Вычисление корней характеристического уравнения J₀(μ_m)=0

Данное уравнение является трансцендентым и имеет бесконечное множество решений. Для нахождения этих корней воспользуемся методом секущих:

(5.5)

Для вычисления J₀(μ_m) используется алгоритм, описанный в пункте 4.1. Данный метод обладает сверхлинейной скоростью сходимости. В качестве критерия останова используется условие  в нашем случае  то есть обеспечивается точность вычисления равная двоичной точности представления вещественных чисел в памяти компьютера. Таким образом, этой погрешностью можно пренебречь.

Поскольку интеграл  не может быть вычислен аналитически, необходимо численно отыскать его значение. Для численного интегрирования использовались Квадратурная формула Гаусса-Кронрода, алгоритм вычисления взят из библиотеки ALGIB. Использование этого метода обеспечивает относительную погрешность

6. Сравнение теоретической и практической оценок количества членов ряда Фурье

Проведем сравнение теоретической оценки количества членов и оценки, полученной практическим путем. Результаты вынесем в таблицу 3.

Практическая оценка была рассчитана следующим образом: теоретическое значение оценки количества суммируемых членов уменьшалось и отслеживалось изменение разряда, на порядок меньшего обеспечиваемой погрешности.

Таблица 3 - Сравнение теоретической и практической оценок кол-ва членов ряда Фурье

7. Анализ погрешности вычислений

Помимо ошибок, возникающих при использовании численных методов, погрешность вычислений задается точностью представления действительного числа в памяти процессора ПК и составляет

Как видно из таблицы 3, для обеспечения погрешности, меньшей , при сложении необходимо суммировать 23 члена ряда. Погрешность при вычислении одного элемента ряда составляет менее . Соответственно, при сложении 23 членов ряда получаем следующую погрешность:  Таким образом, общая погрешность составляет:

8. Результаты работы программы

Разработанная программа позволяет строить графики зависимости напряженности от одного из аргументов, при фиксации второго. Также можно изменять количество складываемых членов ряда и менять масштаб изображения.

Приведем несколько графических результатов расчетов поля в волноводе.

Причем более интересным будет случай с фиксированием аргумента z:

Рисунок 1 - Интенсивность волны при z=0

Рисунок 2 - Интенсивность волны при z= 0,00001

Рисунок 3 - Интенсивность волны при z= 0,00002

Рисунок 4 - Интенсивность волны при z= 0,00003

Кроме того возможно фиксирование аргумента r, в таком случае будут иметь место следующие графики зависимости интенсивности волны от z:

Рисунок 5 - Интенсивность волны при r=0

Рисунок 6 - Интенсивность волны при r=0,000015

Рисунок 7 - Интенсивность волны при r=0,00001

Заключение

Объектом исследования в данной курсовой работе являлся процесс распространения электромагнитной волны в волноводе.

Вычисление амплитуды такой волны было произведено с достаточно малой погрешностью, а именно меньшей . В итоге пользователь в наглядном виде может наблюдать результаты работы программы, графически и аналитически реализующей решение данной задачи, а именно - кольца Ньютона.

В результате работы осуществлена математическая постановка краевой задачи для процесса распространения электромагнитной волны в волноводе, получено решение задачи в виде ряда Фурье, исследована сходимость найденного ряда, получена оценка остатка этого ряда, разработана компьютерная программа расчета решения задачи с требуемой точностью. Кроме того обеспечен контроль погрешности численного интегрирования и проведено экспериментальное исследование качества полученной аналитической оценки остатка ряда.

Список использованных источников

1.       Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики [Текст]: учебное пособие для университетов/ А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука, 1977.-735 с.

.        Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного [Текст]/ М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1973.-245 с.

.        Абрамовиц, М. Справочник по специальным функциям [Текст]/ М. Абрамовиц, И. Стиган. - М.: Наука - 1979.-832 с.