Теория вероятности
Задача 1
Вероятность появления события 
в
каждом из 
испытаний 
.
Найти вероятность того, что в испытаниях событие
появится:
а) ровно 
раз;
б) не более 
раз;
в) не меньше 
раз.
РЕШЕНИЕ
а) Вероятность того, что событие произойдет
ровно 2 раза из 5, найдем по формуле Бернулли.
где 
-
общее количество испытаний, 
- количество
появлений события , 
-
вероятность появления события , 
-
вероятность появления события 
.
б) Вероятность того, что событие произойдет не
более 2х раз равносильно сумме событий 
.
Вероятность указанных событий найдем по формуле
Бернулли.
б) Вероятность того, что событие произойдет не
меньше 4х раз равносильно сумме событий 
.
Вероятность указанных событий найдем по формуле
Бернулли.
Задача 2
Задана дискретная случайная величина 
.
Найти функцию распределения случайной величины .
Построить ее график. Найти 
.
РЕШЕНИЕ
Найдем функцию распределения
Построим график функции распределения.
Математическое ожидание дискретной случайной
величины найдем
по формуле
Дисперсию дискретной случайной величины найдем
по формуле
Найдем среднее квадратическое отклонение
.
Задача 3
Исходя из свойств интегральной функции
распределения 
, определить
неизвестные параметры. Найти плотность распределения 
.
Построить графики 
. Найти
.
РЕШЕНИЕ
Функция является
непрерывной по определению. Чтобы в точках 
не
было разрыва должны выполняться следующие условия:
Т.о. интегральная функция распределения равна
Найдем плотность распределения .
По свойству плотности вероятности:
.
Значит параметр 
найден
верно.
Построим графики функции распределения и
плотности распределения .
Математическое ожидание находим по формуле:
Найдем дисперсию:
Среднее квадратическое отклонение:
Задача 4
Непрерывная случайная величина распределена
по нормальному закону:
Найти функцию распределения, 
.
РЕШЕНИЕ
Найдем функцию распределения непрерывной
случайной величины.
Найдем параметр 
.
По определению функция распределения является непрерывной, следовательно,
должно выполняться следующее условие:
Тогда функция распределения приобретает вид:
Найдем вероятность попадания в интервал 
.
Задача 5
Исходя из свойств плотности распределения,
определить параметр 
, построить график .
Найти функцию распределения .
РЕШЕНИЕ
По свойству плотности распределения 
Плотность распределения имеет вид:
Построим график
Найдем функцию распределения по формуле:
событие дискретный
интегральный распределение
