Теория статистики
Задача 1
В результате 5%-го выборочного обследования (случайная бесповторная
выборка) фермерских хозяйств одной из областей были получены следующие данные
(табл. 1).
Таблица 1
Данные об удое коров и расхода корма
|
№ фермерского хозяйства
|
Удой от 1 коровы за год, ц
|
расход кормов на одну
корову за год, ц. кормовых единиц
|
|
1
|
33
|
40
|
|
2
|
32
|
38
|
|
3
|
35
|
39
|
|
4
|
28
|
43
|
|
5
|
39
|
41
|
|
6
|
45
|
44
|
|
7
|
35
|
40
|
|
8
|
32
|
38
|
|
9
|
36
|
39
|
|
10
|
35
|
39
|
|
11
|
40
|
42
|
|
12
|
43
|
42
|
|
13
|
44
|
43
|
|
14
|
43
|
43
|
|
15
|
44
|
43
|
|
16
|
40
|
40
|
|
17
|
37
|
40
|
|
18
|
34
|
37
|
|
19
|
36
|
37
|
|
20
|
39
|
41
|
|
21
|
35
|
40
|
|
22
|
37
|
40
|
|
23
|
38
|
41
|
|
24
|
40
|
41
|
|
25
|
45
|
41
|
Проведите статистический анализ полученных данных. Для этой цели:
I.1)
Постройте статистический ряд распределения фермерских хозяйств по удою от одной
коровы за год, образовав 4 группы с равными интервалами. Постройте график ряда
распределения.
) Рассчитайте характеристики ряда распределения фермерских хозяйств по
удою от одной коровы за год: среднюю арифметическую, среднее линейное
отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.
При расчете средней арифметической и среднего квадратического отклонения
примените способ моментов. Сделайте выводы.
II.1)
С вероятностью 0,954 определите ошибку выборки среднего удоя от одной коровы за
год и границы, в которых будет находиться средний удой от одной коровы за год в
генеральной совокупности.
) С вероятностью 0,954 определите ошибку доли фермерских хозяйств, у
которых удой от одной коровы за год превышает 40 центнеров молока, и границы, в
которых будет находиться эта доля в генеральной совокупности. Сделайте выводы.
III.1)
Методом аналитической группировки установите характер связи между расходом
кормов на одну корову и удоем от одной коровы за год . Результаты оформите в
таблице. Сделайте вывод.
) Измерьте тесноту корреляционной связи между расходом кормов на одну
корову и удоем от одной коровы за год эмпирическим корреляционным отношением.
Поясните его смысл.
) Вычислите параметры линейного уравнения связи между расходом кормов на
одну корову и удоем от одной коровы за год. Поясните смысл коэффициента
регрессии.
) Рассчитайте теоретическое корреляционное отношение, поясните сего
смысл.
) Сравните результаты анализа связи методом аналитической группировки и
регрессионно-корреляционным анализом. Сделайте выводы.
Решение:
I. 1)
Построение статистического ряда распределения
Для построения статистического интервального вариационного ряда,
характеризующего распределение фермерских хозяйств по удою от одной коровы за
год, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.
При построении ряда с равными интервалами величина интервала h определяется по формуле:
,
где
хmax и хmin -
наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности;
k- число
групп интервального ряда.
Число
групп k задано в условии задания. k
= 4, хmax = 45 ц., хmin = 28 ц.
Расчет
величины интервала:
ц.
Путем
последовательного прибавления величины интервала h = 4,25 ц.
к нижней границе, получаем следующие границы интервалов ряда распределения
(таблица 2).
Таблица 2
Границы групп интервального ряда
|
Номер группы
|
Нижняя граница, ц.
|
Верхняя граница, ц.
|
|
1
|
28,00
|
32,25
|
|
2
|
32,25
|
36,50
|
|
3
|
36,50
|
40,75
|
|
4
|
40,75
|
45,00
|
Для построения интервального ряда необходимо подсчитать количество
фермерских хозяйств, входящих в каждую группу (частоты групп).
Процесс группировки фермерских хозяйств о удою от одной коровы за год
представлен во вспомогательной таблице 3.
Таблица 3
Вспомогательная таблица для построения интервального ряда
распределения
|
Группы фермерских хозяйств
по величине удоя от 1 коровы, ц
|
№ фермерского хозяйства
|
Удой от 1 коровы за год, ц
|
расход кормов на одну
корову за год, ц. кормовых единиц
|
|
28,00-32,25
|
4
|
28
|
43
|
|
2
|
32
|
38
|
|
8
|
32
|
38
|
|
Всего
|
3
|
92
|
119
|
|
32,25-36,50
|
1
|
33
|
40
|
|
18
|
34
|
37
|
|
3
|
35
|
39
|
|
7
|
35
|
40
|
|
10
|
35
|
39
|
|
21
|
35
|
40
|
|
9
|
36
|
39
|
|
19
|
36
|
37
|
|
Всего
|
8
|
279
|
311
|
|
36,50-40,75
|
17
|
37
|
40
|
|
22
|
37
|
40
|
|
23
|
38
|
41
|
|
5
|
39
|
41
|
|
20
|
39
|
41
|
|
11
|
40
|
42
|
|
16
|
40
|
40
|
|
24
|
40
|
41
|
|
Всего
|
8
|
310
|
326
|
|
40,75-45,00
|
12
|
43
|
42
|
|
14
|
43
|
43
|
|
13
|
44
|
43
|
|
15
|
44
|
43
|
|
6
|
45
|
44
|
|
25
|
45
|
41
|
|
Всего
|
6
|
264
|
256
|
|
Итого
|
25
|
945
|
1012
|
На основе групповых итоговых строк «Всего» таблицы 3 формируется итоговая
таблица 4, представляющая интервальный ряд распределения фермерских хозяйств по
удою от одной коровы за год.
Таблица 4
Интервальный ряд распределения фермерских хозяйств по удою от одной
коровы за год
|
Номер группы
|
Группы фермерских хозяйств
по величине удоя от 1 коровы, ц.  Число фермерских хозяйств  Удой от
1 коровы за год, ц
|
|
|
|
1
|
28,00-32,25
|
3
|
92
|
|
2
|
32,25-36,50
|
8
|
279
|
|
3
|
36,50-40,75
|
8
|
310
|
|
4
|
40,75-45,00
|
6
|
264
|
|
Итого
|
-
|
25
|
945
|
Графически
ряд распределения изображают в виде гистограммы (рис. 1). Гистограмма -
столбиковая диаграмма. На оси абсцисс откладывают значение признака 
(интервалы) в виде прямоугольников. Высота
прямоугольников соответствует частоте 
.
Рисунок
1 - Гистограмма распределения фермерских хозяйств по удою от одной коровы за
год
Вывод.
Распределение фермерских хозяйств по удою от одной коровы за год не является
равномерным. Наибольшее количество фермерских хозяйств имеют удой от одной
коровы за год от 32,25 до 36,50 ц. молока (8 хозяйств) и от 36,50 до 40,75 ц.
молока (8 хозяйств).
I. 2) расчет
характеристик ряда распределения
Для
расчета среднего удоя от одной коровы за год в интервальном вариационном ряду
используется формуле средней арифметической взвешенной:
-
средний удой молока с одной коровы в выборочной совокупности фермерских
хозяйств;
-
середина j-го интервала;
-
частота j-го интервала (количество фермерских хозяйств в
группе).
Рассчитываем
середины интервалов:
Вспомогательные
промежуточные расчеты приведены в таблице 5.
Расчет
среднего удоя от одной коровы за год:
(ц. с 1
коровы)
Среднее
линейное отклонение характеризует
абсолютный размер колеблемости признака около средней. Рассчитаем взвешенное
среднее линейное отклонение.
(ц. с 1
коровы)
Дисперсия - сумма квадратов отклонений значений показателя от
среднего. Для интервального ряда рассчитываем взвешенную дисперсию:
Среднее
квадратическое отклонение также, как
и среднее линейное отклонение характеризует абсолютное отклонение признака от
среднего значения. Однако, является более точной характеристикой.
Рассчитывается, как корень квадратный из дисперсии:
(ц. с 1
коровы)
Вывод. Средний удой с одной коровы в выборочной совокупности
фермерских хозяйств составляет 37,27 ц. молока с одной коровы. Отклонение от
среднего удоя в ту или иную сторону составляет 4,12 ц. молока с одной коровы.
Наиболее характерные значения удоя в выборочной совокупности фермерских
хозяйств находятся в пределах от 33,15 до 41,38 ц. с одной коровы в год
(диапазон 
).
Таблица
5
Вспомогательные
расчеты для определения характеристик
ряда
распределения
Номер
группы Группы фермерских хозяйств по величине удоя от 1 коровы, ц Середина
интервала 
Число фермерских хозяйств
|
  
|
|
|
|
|
|
|
1
|
28,00-32,25
|
30,125
|
3
|
90,38
|
21,42
|
152,94
|
|
2
|
32,25-36,50
|
34,375
|
8
|
275,00
|
23,12
|
66,82
|
|
3
|
36,50-40,75
|
38,625
|
8
|
309,00
|
10,88
|
14,80
|
|
4
|
40,75-45,00
|
42,875
|
6
|
257,25
|
33,66
|
188,83
|
|
Итого
|
-
|
-
|
25
|
931,63
|
89,08
|
423,39
|
Коэффициент вариации (Vσ) - относительный показатель
вариации, который определяется как отношение среднего квадратического
отклонения к арифметической средней изучаемого показателя, выраженное в
процентах.
Чем
меньше коэффициент вариации, тем более типичной будет средняя величина. Совокупность
считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33,3%. В этом
случае средняя величина исследуемого признака может считаться типичной и
надежной характеристикой статистической совокупности.
Расчет
коэффициента вариации:
Вывод. Значение коэффициента вариации 
не превышает 33,3%, следовательно, вариация удоя
молока с одной коровы за год в исследуемой совокупности фермерских хозяйств
незначительна и совокупность по данному признаку однородна. Следовательно,
найденное среднее значение удоя 
ц.
является типичной и надежной характеристикой среднего в исследуемой
совокупности.
II. 1)
Определение ошибки выборки и границ для среднего
удоя в
генеральной совокупности
Значения
признаков единиц, отобранных из генеральной совокупности в выборочную, всегда
случайны, поэтому и статистические характеристики выборки случайны,
следовательно, и ошибки выборки также случайны. Ввиду этого принято вычислять
два вида ошибок - среднюю 
и предельную 
.
Средняя
ошибка выборки - это среднее квадратическое отклонение всех
возможных значений выборочной средней от генеральной средней, т.е. от своего
математического ожидания M[
].
Для
бесповторной выборки средняя ошибка выборочной
средней определяется по формуле:
где
- общая дисперсия выборочных значений признаков,
N - число единиц в генеральной совокупности,
n - число единиц в выборочной совокупности.
По
условию выборочная совокупность насчитывает 25 фермерских хозяйств, выборка 5%
механическая, следовательно, генеральная совокупность включает 500 фермерских
хозяйств 
.
Расчет
средней ошибки выборки:
(ц. в год
с 1 коровы)
Предельная
ошибка выборки 
определяет границы, в пределах которых будет
находиться генеральная средняя:
где
-
выборочная средняя;
-
генеральная средняя.
Предельная
ошибка выборки рассчитывается по формуле:
,
где
t - коэффициент доверия, зависящий от вероятности Р,
с которой можно гарантировать определенные размеры предельной ошибки
Значения
t вычислены заранее для различных доверительных
вероятностей Р и протабулированы (таблицы функции Лапласа). При
доверительной вероятности Р = 0,954 коэффициент доверия t
= 2,0.
Расчет
предельной ошибки выборки:
(ц. в год
с 1 коровы)
,27
- 1,60 
37,27 + 1,60
,66
38,87
Вывод.
На основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,954 можно
утверждать, что для генеральной совокупности фермерских хозяйств средняя
величина удоя одной коровы в год будет находится в пределах от 35,66 до 38,87
ц. молока.
II. 2)
Определение ошибки выборки для доли хозяйств и границ генеральной доли
Доля
единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством,
выражается формулой:
, где
m - число
единиц совокупности, обладающих заданным свойством;
n - общее число единиц в совокупности.
Число фермерских домохозяйств, у которых удой от одной коровы за год
превышает 40 центнеров молока (см. табл. 2):
m = 6
Рассчитываем долю фермерских домохозяйств в выборочной совокупности:
или 24%
Т.е.
в выборочной совокупности доля фермерских домохозяйств, у которых удой от одной
коровы за год превышает 40 центнеров молока составляет 24%.
Для
бесповторной выборки предельная ошибка выборки 
доли единиц,
обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле:
,
где w - доля единиц совокупности,
обладающих заданным свойством;
(1-w) - доля
единиц совокупности, не обладающих заданным свойством;
N - число единиц в генеральной совокупности;
n- число единиц в выборочной совокупности;
t - коэффициент доверия, зависящий от вероятности Р, с которой
можно гарантировать определенные размеры предельной ошибки.
Для Р = 0,954, t =
2,0.
Расчет предельной ошибки выборки для доли:
или
16,7%
Предельная
ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет
находиться генеральная доля р единиц, обладающих заданным свойством:
Определение
доверительного интервала генеральной доли:
,240
- 0,167 
0,240 + 0,167
,073
0,407 или 7,3% 40,7%
Вывод. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в генеральной совокупности
доля фермерских предприятий, у которых удой от одной коровы за год превышает 40
центнеров молока будет находиться в пределах от 7,3% до 40,7%.
III.
1) Установление связи между признаками методом аналитической группировки
При
использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд
распределения единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой
группы ряда определяется среднегрупповое значение 
результативного признака Y.
Если
с ростом значений фактора Х от группы к группе среднегрупповые значения систематически возрастают (или убывают), между
признаками X и Y имеет место корреляционная связь.
Факторный
признак Х - Расход кормов на одну корову за год, ц. кормовых единиц.
Результативный признак Y - Удой от 1 коровы за год, ц.
Построим
аналитическую группировку, образовав 4 группы с равными интервалами.
Определяем
число групп для факторного признака:
(ц.)
Рассчитываем
границы групп (табл.6):
Таблица
6
Границы
групп для признака «Расход кормов на одну корову за год»
|
Номер группы
|
Нижняя граница, ц.
|
Верхняя граница, ц.
|
|
1
|
37,00
|
38,75
|
|
2
|
38,75
|
40,50
|
|
3
|
40,50
|
42,25
|
|
4
|
42,25
|
44,00
|
Для расчета количества фермерских домохозяйств, входящих в каждую группу,
а также удоя молока строим вспомогательную таблицу 7.
На основе групповых строк «Всего» таблицы 7 строим аналитическую
группировку (таблица 8).
Таблица 7
Вспомогательная таблица для построения аналитической группировки
|
Группировка фермерских
домохозяйств по расходам на 1 корову за год, ц. кормовых единиц
|
№ фермерского хозяйства
|
Расход кормов на одну
корову за год, ц. кормовых единиц
|
Удой от 1 коровы за год, ц
|
|
37,00-38,75
|
18
|
37
|
34
|
|
19
|
37
|
36
|
|
2
|
38
|
32
|
|
8
|
38
|
32
|
|
Всего
|
4
|
150
|
134
|
|
38,75-40,50
|
3
|
39
|
35
|
|
9
|
39
|
36
|
|
10
|
39
|
35
|
|
1
|
40
|
33
|
|
7
|
40
|
35
|
|
16
|
40
|
40
|
|
17
|
40
|
37
|
|
21
|
40
|
35
|
|
22
|
40
|
37
|
|
Всего
|
9
|
357
|
323
|
|
40,50-42,25
|
5
|
41
|
39
|
|
20
|
41
|
39
|
|
23
|
41
|
38
|
|
24
|
41
|
40
|
|
25
|
41
|
45
|
|
11
|
42
|
40
|
|
12
|
42
|
43
|
|
Всего
|
7
|
289
|
284
|
|
42,25-44,00
|
4
|
43
|
28
|
|
13
|
43
|
44
|
|
14
|
43
|
43
|
|
15
|
43
|
44
|
|
6
|
44
|
45
|
|
Всего
|
5
|
216
|
204
|
|
Итого
|
25
|
1012
|
945
|
Таблица 8
Аналитическая группировка зависимости удоя молока от расходов
кормов на
одну корову
Номер группы Группировка фермерских домохозяйств по
расходам корма на 1 корову за год, ц. кормовых единиц X Число фермерских хозяйств Удой от 1 коровы за год, ц
|
Y
|
|
|
|
|
|
Всего
|
В среднем на одно хозяйство
|
|
1
|
37,00-38,75
|
4
|
134
|
33,50
|
|
2
|
38,75-40,50
|
9
|
323
|
35,89
|
|
3
|
40,50-42,25
|
7
|
284
|
40,57
|
|
4
|
42,25-44,00
|
5
|
204
|
40,80
|
|
Итого
|
-
|
25
|
945
|
 37,80
|
Вывод. Анализ столбцов 2 и 5 таблицы 8 показывает, что с увеличение расхода
корма на одну корову от группы к группе систематически возрастает и средняя
величина удоя молока с одной коровы по каждой группе фермерских хозяйств, что
свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми
признаками.
III.
2) Измерение тесноты корреляционной связи
Для
измерения тесноты связи между факторным и результативным признаками
рассчитывают показатели - эмпирический коэффициент детерминации 
и эмпирическое корреляционное отношение 
.
Эмпирический
коэффициент детерминации оценивает, насколько вариация результативного
признака Y объясняется вариацией фактора Х. Остальная часть
вариации Y объясняется вариацией прочих факторов. Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в
общей дисперсии по формуле:
,
где
- общая дисперсия признака Y;
-
межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.
Общая
дисперсия характеризует вариацию результативного признака,
сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов
(систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле:
,
где
yi - индивидуальные значения результативного признака;
- общая
средняя значений результативного признака;
n - число
единиц совокупности.
Рассчитываем общее среднее значение удоя молока с одной коровы в год по
формуле средней арифметической простой:
Для
расчета общей дисперсии строится таблица 9.
Расчет
общей дисперсии:
Нашли
дисперсию, которая характеризует вариацию удоя молока с одной коровы в год в
фермерских хозяйствах под влиянием всех факторов (как положенного в основу
группировки, так и случайных)..
Межгрупповая
дисперсия характеризует возникшую под влиянием факторного
признака Х колеблемость в величине исследуемого признака Y
(системную вариацию). Воздействие фактора Х на результативный признак Y
проявляется в отклонении групповых средних от общей
средней 
. Показатель вычисляется
по формуле:
, где
-
групповые средние;
- общая
средняя;
- число
единиц в j-ой группе;
k - число
групп.
Таблица
для расчета общей дисперсии
|
№ фермерского хозяйства
|
Удой от 1 коровы за год, ц
|
 
|
|
|
1
|
33
|
-4,8
|
23,04
|
|
2
|
32
|
-5,8
|
33,64
|
|
3
|
35
|
-2,8
|
7,84
|
|
4
|
28
|
-9,8
|
96,04
|
|
5
|
39
|
1,2
|
1,44
|
|
6
|
45
|
7,2
|
51,84
|
|
7
|
35
|
-2,8
|
7,84
|
|
8
|
32
|
-5,8
|
33,64
|
|
9
|
36
|
-1,8
|
3,24
|
|
10
|
35
|
-2,8
|
7,84
|
|
11
|
40
|
2,2
|
4,84
|
|
12
|
43
|
5,2
|
27,04
|
|
13
|
44
|
6,2
|
38,44
|
|
14
|
43
|
5,2
|
27,04
|
|
15
|
44
|
6,2
|
38,44
|
|
16
|
40
|
2,2
|
4,84
|
|
17
|
37
|
-0,8
|
0,64
|
|
18
|
34
|
-3,8
|
14,44
|
|
19
|
36
|
-1,8
|
3,24
|
|
20
|
39
|
1,2
|
1,44
|
|
21
|
35
|
-2,8
|
7,84
|
|
22
|
37
|
-0,8
|
0,64
|
|
23
|
38
|
0,2
|
0,04
|
|
24
|
40
|
2,2
|
4,84
|
|
25
|
45
|
7,2
|
51,84
|
|
Итого
|
945
|
-
|
492,00
|
Для
расчета межгрупповой дисперсии 
строим
вспомогательную таблицу 10. При этом используются групповые средние значения из
табл. 8.
Таблица
8
Вспомогательная
таблица для расчета межгрупповой дисперсии
Номер группы Группировка фермерских домохозяйств по
расходам корма на 1 корову за год, ц. кормовых единиц Число
фермерских хозяйств Среднее значение удоя молока с одной коровы в группе,
ц
Расчетная графа
|
|
|
|
|
|
1
|
37,00-38,75
|
4
|
33,50
|
73,96
|
|
2
|
38,75-40,50
|
9
|
35,89
|
32,87
|
|
3
|
40,50-42,25
|
7
|
40,57
|
53,77
|
|
4
|
42,25-44,00
|
40,80
|
45,00
|
|
Итого
|
-
|
25
|
37,80205,60
|
|
Расчет
межгрупповой дисперсии :
распределение выборка совокупность
группировка
Нашли дисперсию, которая характеризует вариацию
удоя молока на одну корову в год под влиянием только расходов корма без учета
влияния случайных факторов.
Расчет
эмпирического коэффициента детерминации :
(41,8%)
Вывод. 41,8 % вариации удоя молока с одной коровы происходит под влиянием
расходов кормов. Остальные 58,2% вариации удоя молока с одной коровы в год
объясняется влиянием прочих факторов.
Эмпирическое
корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и
результативным признаками и вычисляется как корень квадратный из эмпирического
коэффициента детерминации:
Значение
показателя изменяются в пределах 
. Чем
ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для
качественной оценки тесноты связи на основе служит
шкала Чэддока (табл. 9).
Таблица 9
Шкала Чэддока
|
0,1 - 0,30,3 - 0,50,5 - 0,70,7 - 0,90,9 - 0,99
|
|
|
|
|
|
|
Характеристика силы связи
|
Слабая
|
Умеренная
|
Заметная
|
Тесная
|
Весьма тесная
|
Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между удоем молока Y и расходами на корм Х
является весьма заметной.
III.
3) Расчет параметров линейного уравнения связи
Общий вид линейной модели парной регрессии:
, где
-
расчетные смоделированные значения результативного признака;
-
значение факторного признака;
-
свободный член;
-
коэффициент регрессии.
В
линейном уравнении коэффициент регрессии а1 показывает
направление связи между переменными и на сколько в среднем изменяется значение
результативного признака у, если фактор возрастет на единицу измерения.
Расчет
неизвестных параметров уравнения выполним с применением метода наименьших
квадратов (МНК), построив систему нормальных уравнений:
решая
систему относительно неизвестных параметров а0 и а1,
получим:
Расчет
необходимых сумм представлен в таблице 10.
Таблица
10
Вспомогательная
таблица для определения параметров модели регрессии
№
фермерского хозяйства Удой от 1 коровы за год, ц. 
Расход кормов на одну корову за год, ц. кормовых
единиц
|
  
|
|
|
|
|
|
|
1
|
33
|
40
|
1600
|
1320
|
1089
|
|
2
|
32
|
38
|
1444
|
1216
|
1024
|
|
3
|
35
|
39
|
1521
|
1365
|
1225
|
|
4
|
28
|
43
|
1849
|
1204
|
784
|
|
5
|
39
|
41
|
1681
|
1599
|
1521
|
|
6
|
45
|
44
|
1936
|
1980
|
2025
|
|
7
|
35
|
40
|
1600
|
1400
|
1225
|
|
8
|
32
|
38
|
1444
|
1216
|
1024
|
|
9
|
36
|
39
|
1521
|
1404
|
1296
|
|
10
|
35
|
39
|
1521
|
1365
|
1225
|
|
11
|
40
|
42
|
1764
|
1680
|
1600
|
|
12
|
43
|
42
|
1764
|
1806
|
1849
|
|
13
|
44
|
43
|
1849
|
1892
|
1936
|
|
14
|
43
|
43
|
1849
|
1849
|
1849
|
|
15
|
44
|
43
|
1849
|
1892
|
1936
|
|
16
|
40
|
40
|
1600
|
1600
|
1600
|
|
17
|
37
|
40
|
1600
|
1480
|
1369
|
|
18
|
34
|
37
|
1369
|
1258
|
1156
|
|
19
|
36
|
37
|
1369
|
1332
|
1296
|
|
20
|
39
|
41
|
1681
|
1599
|
1521
|
|
21
|
35
|
40
|
1600
|
1400
|
1225
|
|
22
|
37
|
40
|
1600
|
1480
|
1369
|
|
23
|
38
|
41
|
1681
|
1558
|
1444
|
|
24
|
40
|
41
|
1681
|
1640
|
1600
|
|
25
|
45
|
41
|
1681
|
1845
|
2025
|
|
Итого
|
945
|
1012
|
41054
|
38380
|
36213
|
|
Среднее
|
37,80
|
40,48
|
1642,16
|
1535,20
|
1448,52
|
Расчет параметров:
Линейное
уравнение регрессии имеет вид:
Вывод. Коэффициент регрессии а1 = 1,43
показывает, что с увеличением расхода корма на одну корову на 1 ц. в год удой
молока с одной коровы в год в среднем возрастает на 1,43 ц.
III. 4) Расчет
теоретического корреляционного отношения
Для
линейной связи, теоретическое корреляционное отношение - линейный коэффициент
панной корреляции. Рассчитывается по формуле:
,
где
- среднее квадратическое отклонение х и у,
которое рассчитывается по формулам:
Значение
коэффициента находится в интервале от -1 до 1. Чем ближе значение коэффициента
к 1 (по модулю) тем более тесная связь между признаками. Для качественной
оценки тесноты связи используется шкала Чаддока (табл. 9).
Если
ryx >
0, то связь между признаками прямая, т.е. с увеличением одного признака другой
тоже возрастает, и наоборот. Если ryx < 0, то
связь между признаками обратная, т.е. с увеличением одного признака другой тоже
снижается, и наоборот.
Расчет
средних квадратических отклонений:
Расчет
коэффициента парной корреляции:
Вывод. Линейный коэффициент парной корреляции говорит о
заметной связи между удоем молока Y и расходами на корм Х.
Т.е. проведенный корреляционно-регрессионный анализ подтверждает выводы,
сделанные на основе аналитической группировки.
Задача 2
Имеются данные об обеспеченности населения региона личным транспортом
(табл.11).
Таблица 11
Данные об обеспеченности населения региона личным транспортом
|
Год
|
Обеспеченность населения
личным автотранспортом (на 1000 чел. постоянного населения)
|
|
1983
|
45,0
|
|
1984
|
47,2
|
|
1985
|
48,9
|
|
1986
|
54,3
|
|
1987
|
56,8
|
|
1988
|
58,7
|
|
1989
|
63,4
|
|
1990
|
69,2
|
|
1991
|
70,1
|
|
1992
|
77,2
|
|
1993
|
92,6
|
|
1994
|
115,5
|
|
1995
|
132,9
|
|
1996
|
152,7
|
|
1997
|
174,3
|
Проанализируйте динамику обеспеченности населения региона личным
транспортом. С этой целью:
) Определите вид динамического ряда;
) Определите аналитические показатели динамики: абсолютный прирост, темп
роста и прироста (цепные и базисные), абсолютное содержание 1% прироста. Результаты
расчетов оформите в таблице. Покажите взаимосвязь цепных и базисных
показателей.
) Определите динамические средние за период: средний уровень ряда,
среднегодовой темп роста и прироста.
) Для определения общей тенденции обеспеченности населения региона личным
автотранспортом произведите аналитическое выравнивание и выразите общую
тенденцию соответствующим математическим уравнением.
) Определите теоретические уровни ряда динамики и нанесите их на график с
фактическими данными.
) Предполагая, что выявленная тенденция сохранится в будущем, определите
ожидаемую обеспеченность населения региона личным автотранспортом на ближайшие
5 лет. Сделайте выводы.
Решение:
) Определение вида динамического ряда
По способу выражения уровней ряд является рядом относительных
показателей, т.к. уровни обеспеченности населения автотранспортом получены, как
отношение двух абсолютных величин: количества автотранспортных средств и
численности постоянного населения, выраженные в промилле.
По способу получения - вторичный.
По времени отражаемому в ряду - интервальным, т.к. уровни характеризуют
величину явления в итоге за определенные периоды времени (годы). Интервалы
равные.
По признаку аддитивности ряд не является аддитивным, т.к. уровни ряда
нельзя суммировать и получить новый временной ряд.
) Определение аналитических показателей ряда динамики
Если каждый уровень ряда динамики сравнивается с начальным (базисным)
уровнем, то рассчитанный показатель называется базисным, а если с
предыдущим, то показатели называются цепными.
Абсолютный
прирост 
показывает
на сколько единиц данный уровень больше или меньше уровня принятого за базу
сравнения.
Формулы
для расчета:
где yi - уровень сравниваемого периода;
yi-1 -
уровень предыдущего периода;
y1 -
уровень первого периода (1983 год);
Темп роста показывает относительную скорость изменения ряда, т.е.
сколько процентов составляет данный уровень от уровня сравнения.
Формулы для расчета темпов роста:
Темп
прироста показывает, на сколько процентов данный уровень больше или
меньше уровня принятого за базу сравнения.
Формулы
для расчета темпов прироста:
Абсолютное
содержание 1% прироста А1% показывает, на сколько единиц в
абсолютном выражении увеличился (уменьшился) показатель при увеличении
(уменьшении) на 1% по сравнению с предыдущим уровнем. Рассчитывается только по
цепным показателям по формуле:
Результаты
расчетов показателей динамики представлены в таблице 11.
Вывод. Расчет показывает, что динамика обеспеченности
населения личным транспортом носит положительный характер. Ежегодно происходит
увеличение количества автотранспортных средств на 1000 человек постоянного
населения. Причем динамика носит ускоренный характер.
Наибольший
абсолютный прирост наблюдается в 1997 году по сравнению с 1996 годом,
количество автотранспортных средств на 1000 человек постоянного населения
выросло на 21,6 единиц.
Наибольший
относительный прирост наблюдается в 1994 году по сравнению с 1993 годом,
количество автотранспортных средств на 1000 человек постоянного населения
выросло на 24,7%.
В
целом за исследуемый период обеспеченность населения транспортными средствами
выросла на 129,3 ед. на 1000 человек или на 297,3%, т.е. в 3,873 раза.
Таблица
11
Расчет
аналитических показателей ряда динамики
|
Год
|
Обеспеченность населения
личным автотранспортом (на 1000 чел. постоянного населения)
|
Абсолютный прироста,
ед./1000 чел.
|
Темп роста, %
|
Темп прироста, %
|
Абсолютной содержание 1%
прироста, ед. / 1000 чел.
|
|
|
цепной
|
базисный
|
цепной
|
базисный
|
цепной
|
базисный
|
|
|
1983
|
45,0
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
|
1984
|
47,2
|
2,2
|
2,2
|
104,9
|
104,9
|
4,9
|
4,9
|
0,45
|
|
1985
|
48,9
|
1,7
|
3,9
|
103,6
|
108,7
|
3,6
|
8,7
|
0,472
|
|
1986
|
54,3
|
5,4
|
9,3
|
111,0
|
120,7
|
11,0
|
20,7
|
0,489
|
|
1987
|
56,8
|
2,5
|
11,8
|
104,6
|
126,2
|
4,6
|
0,543
|
|
1988
|
58,7
|
1,9
|
13,7
|
103,3
|
130,4
|
3,3
|
30,4
|
0,568
|
|
1989
|
63,4
|
4,7
|
18,4
|
108,0
|
140,9
|
8,0
|
40,9
|
0,587
|
|
1990
|
69,2
|
5,8
|
24,2
|
109,1
|
153,8
|
9,1
|
53,8
|
0,634
|
|
1991
|
70,1
|
0,9
|
25,1
|
101,3
|
155,8
|
1,3
|
55,8
|
0,692
|
|
1992
|
77,2
|
7,1
|
32,2
|
110,1
|
171,6
|
10,1
|
71,6
|
0,701
|
|
1993
|
92,6
|
15,4
|
47,6
|
119,9
|
205,8
|
19,9
|
105,8
|
0,772
|
|
1994
|
115,5
|
22,9
|
70,5
|
124,7
|
256,7
|
24,7
|
156,7
|
0,926
|
|
1995
|
132,9
|
17,4
|
87,9
|
115,1
|
295,3
|
15,1
|
195,3
|
1,155
|
|
1996
|
152,7
|
19,8
|
107,7
|
114,9
|
339,3
|
14,9
|
239,3
|
1,329
|
|
1997
|
174,3
|
21,6
|
129,3
|
114,1
|
387,3
|
14,1
|
287,3
|
1,527
|
Взаимосвязь цепных и базисных показателей.
Если суммировать цепные абсолютный приросты, то получим базисный абсолютный
прирост:
,2
+ 1,7 = 3,9
,2
+ 1,7 + 5,4 = 9,3
,2
+ 1,7 + 5,4 + 2,5 = 11,8
,2
+ 1,7 + 5,4 + 2,5 + 1,9 = 13,7 и т.д.
Если
перемножить цепные темпы роста (выраженные в коэффициентах), то получим
базисный темп роста:
1,049 × 1,036 == 1,087
,049 × 1,036 × 1,110 = 1,207
,049 × 1,036 × 1,110 ×
1,046 = 1,262
,049 × 1,036 × 1,110 ×
1,046 × 1,033 = 1,304 и т.д.
)
Определение динамических средних
Поскольку
ряд динамики интервальный, то среднее значение будем находить по формуле
средней арифметической простой:
(ед./1000
чел.)
Среднегодовой
абсолютный прирост показывает, на сколько единиц в среднем ежегодно возрастал
или снижался показатель:
(ед./1000
человек)
Среднегодовой
темп роста показывает среднюю скорость изменения ряда:
Среднегодовой
темп прироста показывает, на сколько процентов в среднем ежегодно возрастал или
снижался показатель:
Вывод. В среднем за рассматриваемый 15-ти летний период
ежегодная обеспеченность автотранспортными средствами составила 105 единиц на
1000 человек постоянного населения. В среднем ежегодно показатель возрастал на
9,2 единицы или на 10,2%.
)
Проведение аналитического выравнивания
Построим
график временного ряда (рисунок 2).
Визуально
по графику временного ряда можно предположить наличие показательной тенденции
развития.
Показательное
уравнение тренда имеет вид:
, где
-
теоретические уровни ряда динамики;
а0,
а1 - параметры уравнения
тренда.
Рисунок
2 - Временной ряд
Проведем
линеаризацию уравнения тренда путем логарифмирования обеих частей уравнения:
Тогда
параметры уравнения можно определить методом наименьших квадратов, решив
систему уравнений:
Вспомогательные
расчеты представлены в таблице 12.
Таблица
12
Вспомогательная
таблица для определения параметров уравнения тренда
|
Год
|
t
|
yt
|
lgyt
|
t2
|
tlgyt
|
|
|
1983
|
1
|
45,0
|
1,65
|
1
|
1,65
|
39,12
|
|
1984
|
2
|
47,2
|
1,67
|
4
|
3,35
|
43,03
|
|
1985
|
3
|
48,9
|
1,69
|
9
|
5,07
|
47,33
|
|
1986
|
4
|
54,3
|
1,73
|
16
|
6,94
|
52,06
|
|
1987
|
5
|
56,8
|
1,75
|
25
|
8,77
|
57,25
|
|
1988
|
6
|
58,7
|
1,77
|
36
|
10,61
|
62,97
|
|
1989
|
7
|
63,4
|
1,80
|
49
|
12,61
|
69,26
|
|
1990
|
8
|
69,2
|
1,84
|
64
|
14,72
|
76,18
|
|
1991
|
9
|
70,1
|
1,85
|
81
|
16,61
|
83,79
|
|
1992
|
10
|
77,2
|
1,89
|
100
|
18,88
|
92,16
|
|
1993
|
11
|
92,6
|
1,97
|
121
|
21,63
|
101,36
|
|
1994
|
12
|
115,5
|
2,06
|
144
|
24,75
|
111,49
|
|
1995
|
13
|
132,9
|
2,12
|
169
|
27,61
|
122,62
|
|
1996
|
14
|
152,7
|
2,18
|
196
|
30,57
|
134,87
|
|
1997
|
15
|
174,3
|
2,24
|
225
|
33,62
|
148,34
|
|
Итого
|
120
|
1258,8
|
28,23
|
1240
|
237,40
|
|
Показательное
уравнение тренда имеет вид:
)
Определение теоретических уровней ряда динамики
Теоретические
уровни ряда динамики получаем путем последовательной подстановки t =
1, 2, …, 15 в уравнение тренда: 
. Расчет
теоретических уровней представлен в последнем столбце таблицы 12.
Показательный
тренд представлен на рисунке 3.
Рисунок 3 - Фактические временной ряд и аналитическое выравнивание по
показательной функции
Рисунок 3 показывает, что показательное уравнение тренда довольно точно
описывает динамику обеспеченности населения региона личным автотранспортом.
) Прогнозирование на ближайшие 5 лет
k = 1, t = 16 (1998
год), 
(ед./1000 чел.)
k = 2, t = 17 (1999
год), 
(ед./1000 чел.)
k = 3, t = 18 (2000
год), 
(ед./1000 чел.)
k = 4, t = 19
(2001год), 
(ед./1000 чел.)
k = 5, t = 20 (2002
год), 
(ед./1000 чел.)
Задача 3
Посевные площади и урожайность картофеля по 3 фермерским хозяйствам за
два года характеризуется следующими данными (таблица 13).
Таблица 13
Данные о посевных площадях и урожайности картофеля
|
Фермерские хозяйства
|
Засеяно картофелем, га
|
Урожайность, ц/га
|
|
базисный год
|
отчетный год
|
базисный год
|
отчетный год
|
|
1
|
5,1
|
2,7
|
129
|
136
|
|
2
|
14,4
|
13
|
107
|
127
|
|
3
|
1,1
|
5,3
|
58
|
74
|
Определить:
1) Изменение размера посевных площадей и урожайность картофеля по каждому
хозяйству. Указать вид использованных индексов. Сделать выводы.
) Изменение валового сбора картофеля (в % и абсолютном выражении) в
отчетном году по сравнению с базисным в целом по хозяйствам, а также за счет:
а) изменения размера посевной площади;
б) изменения урожайности картофеля.
Проверить увязку полученных результатов с систему.
Указать вид использованных индексов. Сделать выводы.
) Общие индексы посевных площадей и урожайности по форме, отличной от
агрегатной. Указать вид использованных индексов.
Решение:
) Определение изменения размера площадей и урожайность
картофеля по каждому хозяйству
Для характеристики изменения показателей по каждому хозяйству использую индивидуальные
индексы, которые рассчитываются как отношение показателя в отчетном году к
показателю в базисном году.
Расчет относительного изменения размера площадей:
Хозяйство
1: 
Хозяйство
2: 
Хозяйство
3: 
Вывод. Размер посевных площадей картофеля а первом
фермерском хозяйстве снизился на 47,1%, во втором фермерском хозяйстве - на
9,7%. размер посевных площадей третьего фермерского хозяйства вырос в 4,818 раза.
Расчет
изменения урожайности по каждому хозяйству:
Хозяйство
1: 
Хозяйство
2: 
Хозяйство
3: 
Вывод. Урожайность картофеля на всех фермерских хозяйствах в отчетном году по
сравнению с базисным годом увеличилась: в первом хозяйстве - на 5,4%, АО втором
хозяйстве - на 18,7%, в третьем хозяйстве - на 27,6%.
) Определение изменения валового сбора картофеля
Для расчета относительного изменения валового сбора картофеля в целом по
трем хозяйствам в отчетном году по сравнению с базисным годом рассчитываем
общий индекс валового сбора. Вспомогательные расчеты приведены в таблице 14.
Расчет
абсолютного изменения валового сбора картофеля в целом по трем хозяйствам в
отчетном году по сравнению с базисным годом:
(ц.)
Таблица
14
Вспомогательная
таблица для расчета изменения валового сбора
|
Фермерские хозяйства
|
Засеяно картофелем, га
|
Урожайность, ц/га
|
Валовой сбор, ц
|
Расчетная графа
|
|
базисный год
|
отчетный год
|
базисный год
|
отчетный год
|
базисный год
|
отчетный год
|
|
|
|
q0
|
q1
|
z0
|
z1
|
q0z0
|
q1z1
|
q1z0
|
|
1
|
5,1
|
2,7
|
129
|
136
|
657,9
|
367,2
|
348,3
|
14,4
|
13
|
107
|
127
|
1540,8
|
1651
|
1391,0
|
|
3
|
1,1
|
5,3
|
58
|
74
|
63,8
|
392,2
|
307,4
|
|
Итого
|
|
|
|
|
2262,5
|
2410,4
|
2046,7
|
Для определения относительного изменения валового сбора по всем
фермерских хозяйствам в отчетном году по сравнению с базисным годом за счет
изменения размера посевных площадей рассчитывают общий индекс размера посевных
площадей.
Расчет индекса размера посевных площадей в агрегатной форме:
Расчет
абсолютного изменения валового сбора по всем фермерских хозяйствам в отчетном
году по сравнению с базисным годом за счет изменения посевных площадей:
(ц.)
Для
определения изменения валового сбора по всем фермерских хозяйствам в отчетном
году по сравнению с базисным годом рассчитывают общий индекс урожайности.
Расчет
общего индекса урожайности картофеля в агрегатной форме:
Расчет
абсолютного изменения валового сбора по всем фермерских хозяйствам в отчетном
году по сравнению с базисным годом за счет изменения урожайности картофеля:
(ц.)
Взаимосвязь
индексов:
1,065 = 0,905× 1,178
Взаимосвязь
абсолютных приростов:
,9
= -215,8 + 363,7
Вывод. В отчетном году по сравнению с базисным годом валовой сбор картофеля
вырос на 147,9 ц. или на 6,5%. Это произошло за счет влияния двух факторов:
изменения размера посевных площадей и изменения урожайности картофеля. За счет
изменения размера посевных площадей валовой сбор картофеля в отчетном году по
сравнению с базисным годом снизился на 215,8 ц. или на 9,5%. За счет изменения
урожайности картофеля валовой сбор вырос на 363,7 ц. или на 17,8%.
) Определение индексов посевных площадей и урожайности
Общий индекс посевных площадей в агрегатной форме имеет вид:
.
Из
индивидуальных индексов посевных площадей выразим посевную площадь отчетного
года:
Подставив
выражение в числитель индекса в агрегатной форме получим средний
арифметический взвешенный индекс:
Проверка:
Общий
индекс урожайности в агрегатной форме имеет вид:
Из
индивидуальных индексов урожайности выразим урожайность базисного года:
Подставив
выражение в знаменатель индекса в агрегатной форме получим средний
гармонический взвешенный индекс:
Проверка:
Задача 4
Имеются следующие данные о работе текстильной фабрике (таблица 15).
Таблица 15
Данные о работе текстильной фабрике
|
Тип оборудования
|
Выработка ткани, тыс. м
|
Отработано рабочими,
тыс.чел.-час.
|
|
базисный
|
отчетный
|
базисный
|
отчетный
|
|
Станки-автоматы
|
175
|
290
|
12
|
18
|
|
Станки-полуавтоматы
|
140
|
145
|
14
|
15
|
Определить:
1) Изменение производительности труда рабочих, работающих на оборудовании
разного типа и в целом по текстильной фабрике.
) Какое влияние на изменение средней производительности труда оказало
изменение:
а) производительности труда рабочих, работающих на оборудовании разного
типа;
б) удельного веса затрат труда рабочих, работающих на оборудовании с
разной производительностью.
) Изменение общего количества выработанной на фабрике ткани и в том числе
за счет изменения:
а) общих затрат труда;
б) средней производительности труда рабочих;
в) производительности труда рабочих, работающих на оборудовании разного
типа;
г) удельного веса затрат труда рабочих, работающих на оборудовании
разного типа.
Проверьте увязку полученных результатов в систему. Сделайте выводы.
Решение:
) Расчет изменения производительности труда рабочих
Рассчитываем относительное изменение производительности труда рабочих,
работающих различном оборудовании:
Станки-автоматы:
Станки
полуавтоматы: 
Рассчитываем
абсолютное изменение производительности труда рабочих, работающих различном
оборудовании:
Станки-автоматы:
(тыс.м.)
Станки
полуавтоматы: 
(тыс.м.)
Средняя
часовая производительность труда рассчитывается оп формуле:
, где
Т - затраты рабочего времени (чел.-час.)
Рассчитываем
среднюю производительность труда в базисном периоде:
(тыс.м.)
Рассчитываем
среднюю производительность труда в отчетном периоде:
(тыс.м.)
Рассчитываем
общее относительное изменение средней производительности труда в отчетном
периоде по сравнению с базисным периодом:
Абсолютное
изменение средней производительности:
Вывод. Выработка ткани рабочими, работающими на
станках-автоматах в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом выросла
на 115 тыс.м. или на 65,7%, а рабочими, работающими на станках-полуавтоматах -
на 5 тыс.м. или на 3,6%.
Средняя производительность рабочих в отчетном периоде составила 224,09
тыс.м., в базисном - 156,15 тыс.м. Средняя производительность труда всех
рабочих текстильной фабрики выросла в отчетном периоде по сравнению с базисным
периодом на 67,94 тыс.м. или на 43,5%.
) Расчет влияния на изменение средней производительности труда факторов
Выразим среднюю производительность труда через относительный показатель
структуры:
, где
wi
- производительность труда работников на станке i;
di - удельный вес затрат
времени на станке i в общем объеме затрат:
Расчет
удельного веса затрат времени представлен в таблице 16:
Таблица
16
Расчет удельного веса затрат времени в общем объеме времени,
отработанными рабочими
|
Тип оборудования
|
Отработано рабочими,
тыс.чел.-час.
|
Удельный вес затрат
времени, в долях
|
|
базисный
|
отчетный
|
базисный
|
отчетный
|
|
Станки-автоматы
|
12
|
18
|
0,462
|
0,545
|
|
Станки-полуавтоматы
|
14
|
15
|
0,538
|
0,455
|
|
Итого
|
26
|
33
|
1,000
|
1,000
|
Индекс производительности труда фиксированного состава характеризует влияние изменения индивидуальной
производительности труда по отдельным единицам совокупности на динамику средней
производительности труда:
Вспомогательные
расчеты представлены в таблице 17.
Таблица
17
Вспомогательная таблица для расчета показателей динамики средней
производительности труда
|
Тип оборудования
|
Выработка ткани, тыс. м
|
Удельный вес затрат
времени, в долях
|
Расчетные графы
|
|
базисный
|
отчетный
|
базисный
|
отчетный
|
|
|
w0
|
w1
|
d0
|
d1
|
w0d0
|
w1d1
|
w0d1
|
|
Станки-автоматы
|
175
|
290
|
0,462
|
0,545
|
80,77
|
158,18
|
95,45
|
|
Станки-полуавтоматы
|
140
|
145
|
0,538
|
0,455
|
75,38
|
65,91
|
63,64
|
|
Итого
|
|
|
1,000
|
1,000
|
156,15
|
224,09
|
159,09
|
Расчет
индекса средней производительности труда фиксированного состава: 
. Расчет
абсолютного изменения средней производительности труда за счет изменения
производительности труда рабочих на отдельных типах оборудования:
(тыс.м.)
Индекс
структурных сдвигов характеризует
влияние структурных сдвигов в общих затратах труда по совокупности
производственных единиц - увеличения (уменьшения) доли трудовых затрат
производственных единиц с разным уровнем производительности на динамику средней
производительности труда:
Расчет
абсолютного изменения за счет структурного фактора:
= 159,09
- 154,15 = 2,94 (тыс.м.)
Взаимосвязь
индексов:
1,435 = 1,409 × 1,019
Взаимосвязь
абсолютных приростов:
,94
= 65,00 + 2,94
Вывод. Средняя производительность труда в отчетном периоде по сравнению с
базисным периодом выросла на 67,94 тыс.м. или на 43,5%. За счет изменения
производительности труда рабочих, работающих на оборудовании разного типа
средняя производительность выросла на 65 тыс.м. или на 40,9%, а за счет
изменения удельного веса затрат труда рабочих, работающих на оборудовании с
разной производительностью средняя производительность выросла на 2,94 тыс.м.
или на 1,9%.
) Расчет изменения общего количества выработанной на фабрике ткани
Общее количество выработанной ткани можно представить в виде
мультипликативной зависимости от производительности труда и затрат труда
(двухфакторная модель):
Рассчитываем
общее количество выработанной ткани в отчетном и базисном периодах:
(м)
(м)
Относительное
изменение общего количества выработанной ткани в отчетном периоде по сравнению
с базисным периодом за счет влияния двух факторов:
Абсолютное
изменение общего количества выработанной ткани в отчетном периоде по сравнению
с базисным периодом за счет влияния двух факторов:
(м)
Относительное
изменение общего количества выработанной ткани в отчетном периоде по сравнению
с базисным периодом за счет изменения средней производительности труда:
Абсолютное
изменение общего количества выработанной ткани в отчетном периоде по сравнению
с базисным периодом за счет изменения средней производительности труда:
(м)
Относительное
изменение общего количества выработанной ткани в отчетном периоде по сравнению
с базисным периодом за счет изменения затрат труда:
Абсолютное
изменение общего количества выработанной ткани в отчетном периоде по сравнению
с базисным периодом за счет изменения затрат труда:
(м)
Взаимосвязь
индексов:
1.821 = 1.409
× 1.293
Взаимосвязь
абсолютных приростов:
=
2145 + 1190
Вывод. Общее количество выработанной ткани в отчетном
периоде по сравнению с базисным периодом выросло на 3335 м или на 82,1%. За
счет изменения средней производительности труда общее количество выработанной
ткани выросло на 2145 м или на 40,9%, а за счет изменения затрат труда общее
количество выработанной ткани выросло на 1190 м или на 29,3%.
Общую
выработку ткани можно представить в виде трехфакторной модели:
Тогда
системы взаимосвязанных индексов и приростов будет иметь вид:
(м)
(м)
(м)
(м)
Таблица 18
Вспомогательная таблица расчетов
|
Тип оборудования
|
Выработка ткани, тыс. м
|
Отработано рабочими,
тыс.чел.-час.
|
Удельный вес затрат
времени, в долях
|
Общее количество
выработанной ткани, м
|
Расчетные графы
|
|
базисный
|
отчетный
|
базисный
|
отчетный
|
базисный
|
отчетный
|
базисный
|
отчетный
|
|
|
w0
|
w1
|
Т0
|
Т1
|
d0
|
d1
|
Т0d0w0
|
T1d1w1
|
T1d0w0
|
T1d1w0
|
|
Станки-автоматы
|
175
|
290
|
12
|
18
|
0,462
|
0,545
|
2100
|
5220
|
2665,38
|
3150
|
|
Станки-полуавтоматы
|
140
|
145
|
14
|
15
|
0,538
|
0,455
|
1960
|
2175
|
2487,69
|
2100
|
|
Итого
|
-
|
-
|
 26 331,0001,000406073955153,085250,00
|
|
|
|
|
|
|
|
Взаимосвязь индексов:
1,821 = 1,269 × 1,019 ×
1,409
Взаимосвязь
абсолютных приростов:
=
1093,08 + 96,92 + 2145
Вывод. Общее количество выработанной ткани в отчетном
периоде по сравнению с базисным периодом выросло на 3335 м или на 82,1%. За
счет изменения общих затрат труда количество выработанной ткани выросло на
1093,08 м. или на 26,9%, за счет изменения удельного веса затрат труда рабочих,
работающих на оборудовании разного типа количество выработанной ткани выросло
на 96,92 м. или на 1,9%, за счет изменения производительности труда рабочих,
работающих на оборудовании разного типа количество выработанной ткани выросло
на 2145 м. или на 40,9%.
Задача 5
Имеются следующие данные о работе авторемонтных мастерских за 2 года
работы (таблица 19):
Таблица 19
Данные о работе авторемонтных мастерских
|
Группы ремонтируемых частей
|
Выполнено ремонтов (штук)
|
Время одного ремонта (час)
|
Оплата за один час работы
(руб.)
|
|
отчетный
|
базисный
|
отчетный
|
базисный
|
отчетный
|
базисный
|
|
Моторы
|
2000
|
1500
|
15
|
10
|
8
|
7
|
|
Корпуса
|
2500
|
2200
|
3
|
3
|
5
|
5
|
|
Шасси
|
4000
|
3000
|
7
|
6
|
6
|
5
|
Построить индексную факторную модель изменения стоимости выполненных
ремонтов за счет указанных признаков-факторов. Определить прирост стоимости
выполненных ремонтов за счет указанных факторов (в % и абсолютном выражении).
Проверить увязку полученных результатов в систему. Сделать выводы.
Решение:
Введем обозначения:
a - количество выполненных ремонтов;
b - время одного ремонта;
c -
оплата за один час работы;
d - стоимость выполненных ремонтов.
Взаимосвязь показателей выражается мультипликативной зависимостью:
d = abc
Если показатель является результатом взаимодействия нескольких факторов,
то абсолютное изменение этого показателя можно представить, как сумму
абсолютных изменений этого показателя за счет изменения каждого фактора в
отдельности (как сумму факторных изолированных приростов).
Таблица 20
Вспомогательная таблица для расчета изменений стоимости выполненных
ремонтов
|
Группы ремонтируемых частей
|
Выполнено ремонтов (штук)
|
Время одного ремонта (час)
|
Оплата за один час работы
(руб.)
|
Стоимость выполненных
ремонтов (руб.)
|
Расчетные графы
|
|
отчетный
|
базисный
|
отчетный
|
базисный
|
базисный
|
отчетный
|
базисный
|
|
|
|
a1
|
a0
|
b1
|
b0
|
c1
|
c0
|
d1
|
d0
|
a1b0c0
|
a1b1c0
|
|
Моторы
|
2000
|
1500
|
15
|
10
|
8
|
7
|
240000
|
105000
|
140000
|
210000
|
|
Корпуса
|
2500
|
2200
|
3
|
3
|
5
|
5
|
37500
|
33000
|
37500
|
37500
|
|
Шасси
|
4000
|
3000
|
7
|
6
|
6
|
5
|
168000
|
90000
|
120000
|
140000
|
|
Итого
|
|
|
|
|
|
|
445500
|
228000
|
297500
|
387500
|
Для расчета факторных изолированных приростов будем использовать способ
цепных подстановок.
Расчет абсолютного изменения стоимости выполненных ремонтов в отчетном
периоде по сравнению с базисным периодом за счет влияния всех факторов:
(руб.)
Расчет
относительного изменения стоимости выполненных работ в отчетном периоде по
сравнению с базисным периодом за счет влияния всех факторов:
или
195,4%
Расчет
абсолютного изменения стоимости выполненных ремонтов в отчетном периоде по
сравнению с базисным периодом за счет изменения количества ремонтов:
(руб.)
Расчет
относительного изменения стоимости выполненных ремонтов в отчетном периоде по
сравнению с базисным периодом за счет изменения количества ремонтов:
или
130,5%
Расчет
абсолютного изменения стоимости выполненных ремонтов в отчетном периоде по
сравнению с базисным периодом за счет изменения продолжительности одного
ремонта:
(руб.)
Расчет
относительного изменения стоимости выполненных ремонтов в отчетном периоде по
сравнению с базисным периодом за счет изменения продолжительности одного
ремонта:
или
130,3%
Расчет
абсолютного изменения стоимости выполненных ремонтов в отчетном периоде по
сравнению с базисным периодом за счет изменения часовой оплаты труда:
(руб.)
Расчет
относительного изменения стоимости выполненных ремонтов в отчетном периоде по
сравнению с базисным периодом за счет изменения часовой оплаты труда:
или
115,0%
Взаимосвязь
индексов:
Id = Ia × Ib × Ic
1.954 = 1.305 × 1.303 ×
1.150
Взаимосвязь
абсолютных приростов:
Δd = Δd(a) + Δd(b) + Δd(c)
217500
= 69500 + 90000 + 58 000
Вывод. В целом в отчетном периоде по сравнению с базисным
периодом общая стоимость ремонтов выросла на 217500 руб. или на 95,4%. За счет
изменения количества ремонтов стоимость выросла на 69500 руб. или на 30,5%. За
счет продолжительности ремонтов стоимость выросла на 90000 руб. или на 30,3%.
За счет изменения часовой оплаты труда стоимость ремонтов выросла на 58000 руб.
или на 15%.
Задача 6
Используя данные (таблица 21) определить средине по каждому признаку.
Формулы записать, используя буквенные обозначения признаков. Указать какие виды
средних применялись.
Таблица 21
Данные о рабочих
|
Бригады
|
Число рабочих в бригаде,
чел.
|
Число часов отработанных
одним рабочим
|
Выработка изделий одним
рабочим, шт.
|
Затраты сырья на одно изделия,
кг.
|
Заработная плата 1
рабочего, руб.
|
|
№
|
k
|
z
|
а
|
с
|
р
|
|
1
|
20
|
7,7
|
3
|
110
|
11200
|
|
2
|
15
|
7,5
|
2
|
105
|
11500
|
|
3
|
25
|
8
|
4
|
90
|
11800
|
Решение:
Для расчета среднего числа рабочих в бригаде используем формулу средней
арифметической простой:
(чел.)
Для
расчета среднего числа часов, отработанных одним рабочим используем формулу
средней арифметической взвешенной (весом является число рабочих в бригаде):
(часов)
Для
расчета средней выработки изделий одним рабочим используем формулу средней
арифметической взвешенной (весом является число рабочих в бригаде):
(шт.)
Для
расчета средних затрат сырья на одно изделие используем формулу средней
арифметической взвешенной (весом является количество произведенных изделий
всеми рабочими в бригаде):
(кг)
Для
расчета средней заработной платы на одного рабочего используем формулу средней
арифметической взвешенной (весом является число рабочих в бригаде):
(руб.)
Список использованной литературы
1. В. М.
Осинцева. Статистика: учебное пособие. Тюмень: Издательство Тюменского
государственного университета, 2011. 388 с.
. Гусаров
В.М. Статистика: Учеб. пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. - 463 с.
3. С.А. Бардасов, В.И. Лукина. Теория статистики: Учебное пособие.
Издание 2-е, исправленное и дополненное. Тюмень: Издательство Тюменского
государственного университета, 2008. 268 с.
4. Статистика:
Учеб.пособие / И.Е. Теслюк, В.А. Тарловская, И.Н. Терлиженко и др. - 2-е изд. -
Мн.: Ураджай, 2004. - 360 с.
5. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Г.Л. Громыко. - 2-е
изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М, 2006 - 476 с.