Решение систем уравнений различными способами

Решение систем уравнений различными способами

Задание 1. Метод Гаусса

a.       В электронных таблицах MS Excel составить такую систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными, чтобы коэффициенты системы и свободные члены были целые числа от 0 до 10, полученные с помощью функции-генератора случайных чисел.

b.      Решить полученную систему уравнений методом исключений Гаусса с выбором главного элемента.

Решение

Составили систему пяти линейных уравнений с пятью неизвестными

Запишем расширенную прямоугольную матрицу коэффициентов системы

Алгоритм метода главных элементов состоит в следующем:

Среди элементов матрицы a_ij, j = 1, n выбираем наибольший по модулю а₂₃ = 10.

Матрицу М преобразуем: из каждой i-ой неглавной строки вычтем почленно главную строку, умноженную на m_t. В результате получится матрица, у которой все элементы главного столбца, за исключением самого главного элемента равны нулю.

m₁ = 0,9; m₃ = 0,6; m₄ = 0,1; m₅ = 0,2.

Получим новую матрицу M₁ с меньшим на единицу числом строк и столбцов, отбрасывая из полученной матрицы М главную строку и столбец.

Наибольший по модулю элемент а₃₁ = 8,8.

Получим новую матрицу M₂ с меньшим на единицу числом строк и столбцов, отбрасывая из полученной матрицы М₁ главную строку и столбец.

Наибольший по модулю элемент а₂₁ = -6,25.

Получим новую матрицу M₃ с меньшим на единицу числом строк и столбцов, отбрасывая из полученной матрицы М₂ главную строку и столбец.

Наибольший по модулю элемент а₁₁ = -5.

Объединим все главные строки, начиная с последней строки.

Полученная матрица, эквивалентная исходной.

,4167х₅ = 12,7465 х₅ = 2,5925;

х₄ = 1,9091 - 1,5455х₅            х₄ = 0,4195;

,25х₂ = 4,0341 + 0,25х₄ - 2,4205 х₅ х₂ = 0,3418;

,8х₁ = 4,5 - 2,2х₂ - 2,2х₄ - 2,7х₅        х₁ = -0,4744;

х₃ = 5 - 2х₁ - 8х₂ - 8х₄ - 3х₅ х₃ = -0,7919;

Ответ: х₁ = -0,4744; х₂ = 0,3418; х₃ = -0,7919; х₄ = 0,4195; х₅ = 2,5925.

Задание 2. Интерполяционный многочлен Ньютона

a.       В электронных таблицах MS Excel задать таблично функцию в точках 0, 1, 2, …, 10 так, чтобы ее значения были целые числа от 0 до 10, полученные с помощью функции-генератора случайных чисел.

b.      Для полученной функции построить интерполяционный многочлен Ньютона..         Вычислить значения полученного интерполяционного многочлена в точках

, 1, 2, …, 10.

Решение

Пусть для функции y = f (x) заданы значения y_i = f(x_i) для равностоящих значений независимых переменных:

_n = x₀ +nh, где h - шаг интерполяции.

Необходимо найти полином P_n (x) степени не выше n, принимающий в точках (узлах) x_i значения:

_n (x_i) = y_i, i=0,…, n.                         (1)

Интерполирующий полином ищется в виде:

Р_n(X) = a₀ + a₁(X - X₀) + a₂(X - X₀) (X - X₁) + … + a_n(X - X₀)… (X - X_n-1)       (2)

Задача построения многочлена сводится к определению коэффициентов а_i из условий:

P_n(x₀)=y₀,

P_n(x₁)=y₁,

. .

P_n(x_n)=y_n.

Найдем коэффициент а₁.

Для определения а₂, составим конечную разность второго порядка.

Аналогично можно найти другие коэффициенты. Общая формула имеет вид:

Подставляя эти выражения в формулу (2), получаем:

 (3)

где x_i, y_i - узлы интерполяции;- текущая переменная;- разность между двумя узлами интерполяции h - величина постоянная, т.е. узлы интерполяции равноотстоят друг от друга.

Этот многочлен называют интерполяционным полиномом Ньютона.

С помощью функции-генератора случайных чисел задаем таблицу значений функцию в точках 0, 1, 2, …, 10.

Составим таблицу конечных разностей функции.

Воспользуемся формулой (3)

После выполнения преобразований получим интерполяционный многочлен вида:

Вычислим значения полученного интерполяционного многочлена.

Р₁₀(0) = 4             Р₁₀(6) = 2,9994

Р₁₀(1) = 9             Р₁₀(7) = 3,9964

Р₁₀(2) = 2             Р₁₀(8) = 7,9875

Р₁₀(3) = 7             Р₁₀(9) = 4,8935

Р₁₀(4) = 9             Р₁₀(10) = 4,4251

Р₁₀(5) = 6

Задание 3. Численное интегрирование

Функция  определена на отрезке [-1; 5] (k - номер варианта).

·        используя метод интегрирования по частям, вычислить интеграл ;

·        используя метод прямоугольников вычислить этот же интеграл с точностью 0,1;

·        используя метод трапеций вычислить этот же интеграл с точностью 0,1.

Решение

Используя метод интегрирования по частям, вычислим интеграл

I » 2,412×10¹⁶

Для расчетов составим расчетную таблицу.

По формуле прямоугольников

Пусть f(х) = , тогда разобьем отрезок интегрирования на 20 частей, с шагом h= и составим таблицу, в которой найдены середины отрезков , i = 1, 2, …, 10 и значение функции в этих точках .

По формуле средних прямоугольников получим:

×(-0,0006 - 0,0122+ … +1,15E+15 + 2,13E+16= 0,3×(7,07E+16) » 2,121×10¹⁶

По формуле трапеции получим:

×(-0,0032 - 0,038+ … +1,15E+15 + 2,13E+16 = 0,3×(9,90E+16) » 2,969×10¹⁶

Ответ: интеграл равен:

,412×10¹⁶ - по методу интегрирования по частям;

,121×10¹⁶ - по методу прямоугольников;

,969×10¹⁶ - по методу трапеций.

Задание 4. Решение нелинейных уравнений

Функция  определена на отрезке [-1; 5] (k - номер варианта).

Найти один корень уравнения:

·        методом дихотомии;

·        методом касательных.

Решение

f(х) = ,

Для нахождения минимума и максимума функции необходимо вычислить 1-ую производную функции.

Так как в задании требуется найти только одни корень, то можно уменьшить заданный интервал до интервала, в котором будет находиться минимум и максимум функции.

Построим график первой производной на интервале [-1; 1] (рис. 1).

На интервале [-0,5; 0] производная меняет знак с «-» на «+», значит на этом интервале расположена точка минимума.

На интервале [0,5; 1] производная меняет знак с «+» на «-», значит на этом интервале расположена точка максимума.

Приравняем f ¢(x) нулю и вычислим корень уравнения. Так как е^8х > 0, то для нахождения точки экстремума надо решить уравнение 8sin3x + cos3x = 0.

Обозначим F(x) = 8sin3x + cos3x и решим уравнение методом дихотомии.

Метод дихотомии заключается в следующем.

. Задать интервал [а, b], на котором корень уравнения существует. Функция на границах данного интервала должна иметь разные знаки, т.е. F(a) F(b)<0.

2. Найти середину интервала по формуле

. Выбрать из полученных двух половин: [а, Х] и [Х, b] интервала [а, b] ту, на которой находится корень по условию F(a) F(X)<0.

Если данное условие выполняется, то корень находится на [а, Х], правую границу интервала [а, b] перенесем в середину интервала: b=Х. Перейти в п. 2.

Иначе: корень - на интервале [Х, b]; тогда левую границу интервала [а, b] перенесем в середину интервала: а=Х. Перейти в п. 2.

Зададим точность вычисления е = 0,1.

Рассмотрим интервал [-0,5; 0].

Вычислим значение функции на границах интервала.

F(a) = F (-0,5) = 8sin (-1,5) + 3cos (-1,5) = -7,77(b) = F(0) = 8sin(0) + 3cos(0) = 3

Функция на границах интервала имеет разные знаки, значит, решение лежит в указанном интервале.

Определяем середину отрезка  и вычисляем значение функции в этой точке F(Х) = F (-0,25) = 8sin (-0,75) + 3cos (-0,25) = -3,26 Функция на границах интервалов [a, c] и [c, b] имеет разные знаки, значит, в каждом из этих интервалов есть корень.

| F (-0,25)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(а) × F(Х) = -7,77×(-3,26) > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = -0,25.

Итерация 2.

F (-0,125) = -0,14 | F (-0,125)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(а) × F(Х) = -3,26×(-0,14) > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = -0,125.

Итерация 3.

F (-0,0625) = 1,46 | F (-0,0625)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = -0,14×1,46 < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = -0,0625.

Итерация 4.

F (-0,09375) = 0,66 | F (-0,09375)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = -0,14×0,66 < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = -0,09375.

Итерация 5.

F (-0,109375) = 0,26 | F (-0,109375)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = -1,4×0,26 < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = -0,09375.

Итерация 6.

F (-0,1171875) = 0,06 | F (-0,1171875)| < 0,1.

Точность достигнута.

Корень уравнения Х = -0,1171875.

f_min (-0,1171875) = -0,135

Ответ: x = -0,1171875; f_min (-0,1171875) = -0,135

Точку максимум определяем на интервале [0,5; 1].

Вычислим значение функции на границах интервала.

F(a) = F (0,5) = 8sin (1,5) + 3cos (1,5) = 8,19(b) = F(1) = 8sin(3) + 3cos(3) = -1,84

Итерация 1.

F (0,75) = 4,34 | F (0,75)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = 8,19×4,34 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 0,75.

Итерация 2.

F (0,875) = 1,34 | F (0,875)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = 4,34×1,34 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 2,75.

Итерация 3.

F (0,9375) = -0,25 | F (0,9375)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = 1,34×(-0,25) < 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [а, X]. Отсюда b = 0,9375.

Итерация 4.

F (0, 90625) = 0, 55 | F (2, 9375)| > 0, 1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = 1,34×0,55 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 0,90625.

Итерация 5.

F (0,92875) = 0,15 | F(092875)| > 0,1.

Точность не достигнута.

F(a) × F(Х) = 0,55×0,15 > 0.

Следовательно, корень находится на промежутке [X, b]. Отсюда a = 0,921875.

Итерация 6.

F (0,9296875) = -0,05 | F (0,9296875)| < 0,1.

Точность достигнута.

Корень уравнения Х = 0,9296875.

Вычисли 2-ую производную f ¢¢= 20cos (3,03125) + 99sin (3,03125) = -8,98 < 0, значит это точка максимума.

f_mах (0,9296875) = 586,447

Ответ: x = 0,9296875; f_mах (0,9296875) = 586,447

Найти один корень уравнения:

Для нахождения экстремума методом касательных надо решить уравнение

F ¢(x) = 24cos3x - 9sin3x

Если х₀ - начальное приближение корня уравнения f(x) = 0, то последовательные приближения находят по формуле:

Минимум лежит в пределах [-0,5; 0].

Итерация 1.

Вычисляем значения функций в точке х₀ = 0.

F(х₀) = 8sin(0) + 3cos(0) = 3

F '(х₀) = 24

 х₁= 0 - 0,333 = -0,333

Итерация 2.

Вычисляем значения функций в точке х₁= -0.125.

F(х₁) = -0,1387

 х₂= -0,125 + 0,0058 = -0,1192

Итерация 3.

Вычисляем значения функций в точке х₂= -0,1192.

F(х₂) = 0,0094

F ' (-0,1192) = 25,6320

Точность достигнута.

f_min (-0,1192) = -0,135

Максимум лежит в пределах [0,5; 1].

Итерация 1.

Вычисляем значения функций в точке х₀ = 1.

F(х₀) = 1,8410

F '(х₀) = 25,0299

 х₁= 1 - 0,0736 = 0,9264

Итерация 2.

Вычисляем значения функций в точке х₁= 0,9264.

F(х₁) = 0,0297

 х₂= 0,9264 + 0,0012 = 0,9276

Итерация 3.

Вычисляем значения функций в точке х₂= 0,9276.

F(х₂) = -0,0007

Точность достигнута.

f_mах (0,9276) = 586,540

Ответ: 293,156 по методу дихотомии;

,203 по методу касательных

Задание 5. Метод Рунге - Кутта четвертого порядка

гаусс интерполяционный многочлен нелинейный

Методом Рунге - Кутта найти решение на отрезке [a, b] дифференциального уравнений вида  при заданных начальных условиях с указанным шагом h

Решение

Метод Рунге - Кутта описывается системой следующих соотношений:

y_i+1 = y_i + Dy_i или y_i+1 = y_i +

где k₁ = h×f(x_i, y_i)

Из начальных условий имеем х₀ = 0, у₀ = 1, h = 0,01. Найдем первое приближение

у₁= у₀ + Dу₀, где

 = 0,1×= 0,1

 = 0,1×= 0,10488

 = 0,1×= 0,10512

 = 0,1×= 0,11001

Следовательно,

и у₁= 0 + 0,105 = 0,105.

Дальнейшее решение уравнения представлено в таблице.

Таким образом, окончательно имеем у ¢(2) = 1,5.

Литература

гаусс интерполяционный многочлен нелинейный

1. Поршнев С.В. Вычислительная математика. - СПб.: Питер, 2004. - 320 с.: ил.

2.      Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Бином, 2004. - 631 с.

.        Лапчик М.П. Численные методы. - М.: Академия, 2005

.        Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.М. Кремера. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2007