i.
Для расчета интенсивностей необходимо по графу передач построить матрицу вероятностей поступления заявок из одной СМО в другую. Такая матрица имеет название матрица переходов T [1].
Построим систему уравнений для расчета интенсивностей входных потоков:
Решаем систему, учитывая, что заявки/мин., получаем:
заявки/мин.
заявки/мин.
заявки/мин.
Для каждой СМО рассчитаем [1]:
3. Проверка стационарности сети
Сеть переходит в стационарный режим при условии: [1]
при S1 = 1;
при S2 = 7;
при S3 = 4.
Для того чтобы сеть была стационарна необходимо наличие в больнице: одного регистратора, семь врачей и четверо работников в лабораторию анализов.
4. Модель сети на языке моделирования GPSS
Язык GPSS позволяет очень легко строить модели, получать требуемые результаты и проводить их анализ. Модель может быть легко изменена, что позволяет быстро подбирать для СМО наилучшие характеристики и структуру [2].
В результате работы была построена модель сети следующего вида:
reg storage 1storage 7storage 4function rn1,D3
.4,vixod/.9,c_vrach/1,c_analiz(exponential(1,0,5))sis_reg queue q_regregq_regq2_reg(exponential(1,0,3))q2_regreg_vrach queue q_vrachvrachq_vrachq2_vrach(exponential(1,0,12))q2_vrachvrach,fn$perexod_analiz queue q_analizanalizq_analizq2_analiz(exponential(1,0,60))q2_analizanaliz,c_vrachdepart sis(364#24#60)1
start 1
5. Расчет характеристик сети
Для вычисления характеристик сети рассчитаем коэффициенты загрузки каждой СМО
[1]:
;
;
.
Учитывая то что СМО1 - одноканальная с ожиданием, а СМО2 и СМО3 - многоканальные с ожиданием, рассчитаем необходимые характеристики сети.
5.1 Среднее количество заявок в очередях сети
Среднее количество заявок в очереди СМО1 будет равно:
Для расчета среднего количества человек в очередях сети СМО1 и СМО2 необходимо сначала рассчитать P0 - вероятность отсутствия заявок в сети:
Среднее количество заявок в очереди СМО2 и СМО3 будет равно:
Тогда среднее количество заявок в очередях сети будет равно:
.
.2 Среднее время нахождения заявки в очередях сети
Зная, что для любой СМО среднее время пребывания заявки в очереди системы равно среднему числу заявок в этой очереди, деленному на интенсивность потока заявок, определим среднее время нахождения заявки в очередях каждой СМО:
Тогда среднее время нахождения заявки в очередях сети:
.
5.3 Среднее количество заявок в сети
Среднее количество заявок в СМО1:
;
Среднее количество заявок СМО2 и СМО3 при условии что :
;
Тогда среднее количество заявок в сети:
.
Зная, что для любой СМО среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок, определим среднее время нахождения заявки в каждой СМО:
;
;
Тогда среднее время нахождения заявки в сети:
.
6. Проверка адекватности модели
Для проверки адекватности модели необходимо сравнить расчетные и экспериментальные данные по любому статистическому критерию.
Проведем эксперимент из 10-ти опытов, результаты представим в виде таблицы 7.1, а так же рассчитаем средние значения и выборочные дисперсии для каждого из параметров, а результаты представим в виде таблицы 7.2
- среднее арифметическое значение параметра,
где n - количество опытов в эксперименте,- экспериментальное значение параметра,
- выборочная дисперсия параметра [1].
Таблица 6.1 - Экспериментальные данные
Номер экспериментаСреднее количество заявок в сетиСреднее время нахождения заявки в сетиСреднее количество заявок находящихся в очереди СМО1Среднее время нахождения заявки в очереди в СМО1Среднее количество заявок находящихся в очереди СМО2Среднее время нахождения заявки в очереди в СМО2Среднее количество заявок находящихся в очереди СМО3Среднее время нахождения заявки в очереди в СМО3115.73578.7290.8984.4943.7737.5521.46229.187215.64678.4890.8914.473.5447.0851.6131.925315.26376.3540.8864.4353.4326.8621.37527.603415.62178.1440.8854.4253.5377.0891.60232.3515.31376.7010.9024.5183.286.6051.56431.72615.85479.070.9334.6553.9457.8571.34827.215715.44779.4740.884.4263.6027.2121.72234.528816.02877.260.8794.3963.4536.9241.53430.764915.95580.0370.8874.4533.8847.81.61632.6241015.81179.9340.934.6383.9737.9361.50930.059
Выберем гипотезы для проверки адекватности:: экспериментальные средние совпадают с теоретическими ® модель адекватна;: расхождение велико ® модель неадекватна.
Проверим гипотезы по критерию Стьюдента:
Где - среднее арифметическое значение параметра,- количество опытов в эксперименте,- математическое ожидание параметра, рассчитанное теоретическим путем,
s - выборочное среднеквадратическое отклонение, .
Сравним tнабл с табличным значением и сделаем вывод. Гипотеза H0 принимается в случае, когда , при выбранном уровне значимости a [1].
Таблица 6.2 - Результаты проверки
ПараметрМ0tнаблtтабл (0.05,9)Проверка H015.71115.6670.2610.5332.228Принимается78.55678.4191.2990,3342.228Принимается0.90.8970.020.472.228Принимается4.54.4910.0890.3182.228Принимается3.6833.6420.2380.542.228Принимается7.3667.2920.4650.5022.228Принимается1.5281.5340.1150.1682.228Принимается30.56630.7932.3050.3112.228ПринимаетсяТак как все tнабл < tтабл, можно сделать вывод что построенная наша модель адекватна.
Все расчеты по проверки адекватности представлены в приложении А.
7. Аналитические расчеты
Для того чтобы рассчитать вероятность нахождения в сети ровно 10 заявок, необходимо рассчитать сумму всех возможных произведений вероятностей, при которых n1+n2+n3 = 10.
Вероятности будем считать по следующим формулам:
Тогда вероятность одного набора будет равна:
Вероятность нахождения в сети ровно 10 заявок равна:
Заключение
В результате выполнения проекта были закреплены теоретические знания по системам массового обслуживания, была смоделирована сеть СМО больницы, а именно, построена схема сети, рассчитаны интенсивности входных потоков, основные характеристики сети. Экспериментальные данные были получены из построенной модели сети на языке моделирования GPSS. Путем сравнения расчетных и экспериментальных данных по критерию Стьюдента была доказана адекватность сети. Таким образом, на уровне значимости a = 0,05 можно с полной уверенностью утверждать, что выводы, сделанные с помощью предложенной модели, применимы и к реальной модели.
Список использованных источников
1Салмина Н.Ю. Моделирование систем: Учебное пособие. - Томск: Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2003. - 197 с.
2Салмина Н.Ю. Язык моделирования GPSS: Учебное пособие к курсу «Моделирование систем». - Томск: Томск. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 2006. - 71 с.
Приложение А
Расчеты при проверке адекватности модели (MathCad)
Расчеты для проверки среднего количество заявок в сети:
Расчеты для проверки среднего времени нахождения заявки в сети:
Расчеты для проверки среднего количества заявок находящихся в очереди в СМО1:
Расчеты для проверки среднего времени нахождения заявки в очереди в СМО1:
Расчеты для проверки среднего количества заявок находящихся в очереди в СМО2:
Расчеты для проверки среднего времени нахождения заявки в очереди в СМО2:
,
Расчеты для проверки среднего количества заявок находящихся в очереди в СМО3:
Расчеты для проверки среднего времени нахождения заявки в очереди в СМО3: