Основы тригонометрии
ФЕДЕРАЛЬНАЯ
СЛУЖБА ВОЗДУШНОГО ТРАНСПОРТА РОССИИ
Красноярский
авиационный технический колледж
Хабаровский
филиал
Контрольная
работа
Предмет Математика
Вариант №7
Задание №1
Даны координаты вершин треугольника:
Найти:
)уравнение стороны АВ;
)уравнение высоты СВ;
)уравнение медианы СМ;
)угол А;
) площадь треугольника ABC.
А(2,5) , В(4,-4) , С(8,8)
Решение.
) Уравнение прямой проходящей через точки А (х,
у) и В (х, у) имеет вид:
Подставляя координаты точек A(2,5) и
В(4,-4) получим уравнение стороны АВ:
;
2)Уравнение прямой, проходящей через
данную точку в заданном направлении, имеет вид:
Высота CB
перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты СD,
воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Т.к. 
и 
-4,5 (решили
уравнение стороны АВ относительно у и нашли уравнение стороны АВ в виде
уравнения прямой с угловым коэффициентом 
, откуда -4,5), то КCB=
.
Подставив в уравнение указанное выше
координаты точки С (8,8) и найденный угловой коэффициент высоты, получим:
)Чтобы найти уравнение медианы АМ,
определим сначала координаты точки М, которая является серединой ВС, применяя
формулы деления отрезка на две равные части:
Следовательно,
М(1;2)
Подставив в уравнение прямой
координаты точек А и М, находим уравнение медианы:
) Найти угол А.
Известно, что тангенс угла 
между двумя
прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны К1 и К2, вычисляется
по формуле:
Искомый угол А образован прямыми АВ
и АС, необходимо найти их угловые коэффициенты:
Получаем:
)1.Найдем площадь треугольника ABC по формуле:
S
=1/2
.Длину стороны ВС находим по
формуле:
=
= 
=
.Уравнение прямой проходящей через
точки В (х, у) и С (х, у) имеет вид:
Подставляя координаты точек В(4,-4)
и С(8,8) , получим уравнение стороны ВС:
.Расстояние от точки F(x,y) до прямой
Ах+Ву+С=0 (ВС) находится по формуле:
d= 
Поэтому подставив координаты точки
А(2,5) и соответствующие значения коэффициентов А=12; B=-4; C= 64; из
общего уравнения прямой 
(ВС),
получим длину высоты AD:
=
Ответ: 
(ед2)
Задание№2
Дано уравнение кривой второго
порядка 
Определить вид кривой. Найти фокусы
и эксцентриситет. Сделать чертеж.
Решение:
Кривая является эллипсом, т.к.:
-каноническое уравнение эллипса.
- большая ось
- малая ось
- фокусное расстояние
-фокусы.
Форма эллипса (мера его сжатия)
характеризуется его эксцентриситетом:
Чертеж:
Задание№3
Дано уравнение директрисы параболы: у=-10
Составить уравнение параболы с вершиной в начале
координат. Сделать чертеж.
Решение.
Искомое уравнение параболы имеет вид:
По условию уравнение директрисы 
Отсюда следует, что ветви параболы
направлены в положительную сторону оси ОХ.
Тогда имеем: 
- уравнение
параболы.
- фокус.
Задание№4
Найти производные, пользуясь формулами
дифференцирования:
а) 
б)
Решение:
а)
б) 
Задание №5
Выполнить действия над комплексными
числами:
Решение:
)Упростим выражение:
Известно, что:
Тогда:
Ответ:
Задание №6
Исследовать данную функцию методами
дифференциального исчисления и построить их график.
)Находим область определения
области.
)Находим асимптоты:
а) Вертикальных асимптот нет.
б)
в)y=0
горизонтальная асимптота.
)
, отсюда следует, функция является
нечетной.
)
-точка пересечения графика функции с
осями координат.
)
Как мы видим, у возрастает на
всех промежутках
)
+
-
у выпуклая при 
у вогнутая при 
Точек перегиба нет.
Чертеж:
Задание №7
Вычислить определенный интеграл:
Решение:
кривая уравнение
дифференцирование
Пусть 
Найдем новые пределы интегрирования:
При 
При 
Вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями:
Решение:
)Необходимо узнать чему равен х и у:
)Формула Ньютона-Лейбница:
;
На основании этой формулы получим:
Ответ: