Основы тригонометрических вычислений
Содержание
Введение
. Стадии развития тригонометрии
. Основы тригонометрии
.1 Свойства функции синус
.2 Свойства функции косинус
.3 Свойства функции тангенс
.4 Свойства функции котангенс
. Стандартные тождества
.1 Теорема синусов
.2 Теорема косинусов
.3 Теорема тангенсов
. Формула Эйлера
. Решение простых тригонометрических уравнений
. Тригонометрические формулы
. Сферическая тригонометрия
. Применение тригонометрических вычислений
Список используемых источников
Введение
Тригонометрия
(от греч. <#"815747.files/image001.gif"> <#"815747.files/image002.gif"> радиан). В XVIII веке Леонард Эйлер
<#"815747.files/image003.gif"> (если величина угла положительна, то откладываем
против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения
построенной стороны угла с окружностью обозначим A. Тогда:
· Синус
<#"815747.files/image003.gif"> определяется как ордината
<#"815747.files/image004.gif">
Синус
1. Область определения функции - множество всех действительных
чисел: 
.
2. Множество значений - промежуток [−1; 1]: 
= [−1;1].
. Функция 
является нечётной: 
.
. Функция периодическая, наименьший положительный период равен 
: 
.
. График функции пересекает ось Ох при 
.
. Промежутки знакопостоянства: 
при 
и 
при 
.
. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении
аргумента: 
. Функция 
возрастает при 
, и убывает при 
.
. Функция имеет минимум при 
и максимум при 
.
2.2 Свойства
функции косинус
Косинус
1. Область определения функции - множество всех действительных
чисел: 
.
2. Множество значений - промежуток [−1; 1]: = [−1;1].
. Функция 
является чётной: 
.
. Функция периодическая, наименьший положительный период равен : 
.
. График функции пересекает ось Ох при 
.
. Промежутки знакопостоянства: при 
и при 
. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении
аргумента: 
. Функция 
возрастает при 
и убывает при 
. Функция имеет минимум при 
и максимум при 
1. 2.3 Свойства функции тангенс
Тангенс
1. Область определения функции - множество всех действительных
чисел: 
, кроме чисел 
2. Множество значений - множество всех действительных чисел: 
. Функция 
является нечётной: 
.
. Функция периодическая, наименьший положительный период равен 
: 
.
. График функции пересекает ось Ох при .
. Промежутки знакопостоянства: при 
и при 
.
. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении
аргумента из области определения: 
. Функция 
возрастает при 
.
2.4 Свойства
функции котангенс
Котангенс
1. Область определения функции - множество всех действительных
чисел: 
кроме чисел 
2. Множество значений - множество всех действительных чисел: 
. Функция 
является нечётной: 
. Функция периодическая, наименьший положительный период равен : 
. График функции пересекает ось Ох при 
. Промежутки знакопостоянства: при и при 
. Функция непрерывна и имеет производную при любом значении
аргумента из области определения: 
. Функция 
убывает при 
3.
Стандартные тождества
Тождества - это равенства, справедливые при любых значениях входящих в
них переменных.
Формулы
преобразования суммы углов.
Треугольник со сторонами a, b, c и соответственно противоположные углами
A, B, C. В следующих тождествах, A, B и C являются углами треугольника; a, b, c
- длины сторон треугольника, лежащие напротив соответствующих углов.
3.1 Теорема
синусов
Стороны
треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для произвольного
треугольника
<#"815747.files/image069.gif">
где
- радиус окружности, описанной вокруг
<#"815747.files/image071.gif">
.2 Теорема
косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон
минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для
плоского треугольника со сторонами 
и углом 
, противолежащим стороне 
,
.3 Теорема
тангенсов
4. Формула
Эйлера
Формула
Эйлера утверждает, что для любого действительного числа <#"815747.files/image078.gif"> выполнено следующее равенство:
где
- основание натурального логарифма
<#"815747.files/image081.gif"> - мнимая единица.
Формула
Эйлера предоставляет связь между математическим анализом
<#"815747.files/image082.gif">
Вышеуказанные уравнения могут быть получены путем сложения или вычитания
формул Эйлера:
с последующим решением относительно синуса или косинуса.
Также эти формулы могут служить определением тригонометрических функций
комплексной переменной. Например, выполняя подстановку x = iy, получаем:
5.
Решение простых тригонометрических уравнений
Если 
- вещественных решений нет.
Если 
- решением является число вида 
Если - вещественных решений нет.
Если - решением является число вида 
Решением является число вида 
Решением является число вида 
6. Тригонометрические формулы
Основные тригонометрические тождества.
sin² α + cos² α = 1α · ctg α = 1
tg α = sin α ÷ cos αα = cos α ÷ sin α
1 + tg² α = 1 ÷ cos² α
1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α
Формулы сложения.
(α + β) = sin α · cos β + sin β · cos α
sin (α - β) = sin α · cos β - sin β · cos α
cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β
tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α · tg β)
tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α · tg β)
ctg (α + β) = (ctg α · ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
ctg (α - β) = (ctg α · ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)
Формулы двойного угла.
cos 2α = cos² α - sin² α
cos 2α = 2cos² α - 12α = 1 - 2sin² α
sin 2α = 2sin α · cos α
tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)
Формулы тройного угла.
sin 3α = 3sin α - 4sin³ α3α = 4cos³ α - 3cos α3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)
Формулы понижения степени.
sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
sin³ α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4
cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
sin² α · cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8
sin³ α · cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32
Переход от произведения к сумме.
α · cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
sin α · sin β = ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
cos α · cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))
Переход от суммы к произведению.
7.
Сферическая тригонометрия
Важным
частным разделом тригонометрии, используемым в астрономии, геодезии, навигации
и других отраслях, является сферическая тригонометрия, рассматривающая свойства
углов между большими кругами на сфере и дуг этих больших кругов. Геометрия
сферы существенно отличается от евклидовой планиметрии; так, сумма углов
сферического треугольника, вообще говоря, отличается от 180°, треугольник может
состоять из трёх прямых углов. В сферической тригонометрии длины сторон
треугольника (дуги больших кругов сферы) выражаются посредством центральных углов,
соответствующих этим дугам. Поэтому, например, сферическая теорема синусов
<#"815747.files/image102.gif">
и
существуют две теоремы косинусов
<#"815747.files/image103.gif">
Пример
применения тригонометрии
Секстант
- навигационный
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%B3%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F>
измерительный инструмент, используемый для измерения высоты светила над
горизонтом с целью определения географических координат
<http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%8B>
той местности, в которой производится измерение.
Список используемых источников
1.Инженерная математика: Джон Берд - Москва, Додэка XXI, 2008
г.- 544 с. 2.Сферическая тригонометрия: П. Кранц - Санкт-Петербург, ЛКИ, 2007
г.- 100 с.
.Аджиева А. Тригонометрические уравнения//математика.
Приложение к газете «Первое сентября» №33,2011 г.
.Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. 10-11. Учебное
пособие для 10-11 классов средней школы. М.Просвещение,1998.-335 с.: ил