Адаптивная мультипликативная модель и расчет экспоненциальной скользящей средней
Задание 1
мультипликативная модель
аппроксимация
Приведены поквартальные данные (см.
табл.) о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных
единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому
кварталу первого года).
Кварталы
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
кредиты
|
39
|
50
|
59
|
38
|
42
|
54
|
66
|
40
|
45
|
58
|
69
|
42
|
50
|
62
|
74
|
46
|
Требуется:
. Построить адаптивную
мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв
параметры сглаживания α1 = 0,3; α2 =
0,6; α3 = 0,3.
. Оценить точность
построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.
. Оценить адекватность
построенной модели на основе исследования:
случайности остаточной компоненты по
критерию пиков;
независимости уровней ряда остатков
по d - критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому
коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0,32;
нормальности распределения
остаточной компоненты по R/S - критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.
. Построить точечный прогноз
на 4 шага вперед, то есть на 1 год.
. Отразить на графике
фактические, расчетные и прогнозные данные.
Решение:
) Построим таблицу начальных
параметров:
t
|
Ytф
|
t-tср
|
(t-tср)^2
|
Y-Yср
|
(Y-Yср)*(t-tср)
|
Ytр
|
1
|
39
|
-7,5
|
56,25
|
-13,125
|
98,4375
|
45,35
|
2
|
50
|
-6,5
|
42,25
|
-2,125
|
13,8125
|
46,26
|
3
|
59
|
-5,5
|
30,25
|
6,875
|
-37,8125
|
47,16
|
4
|
38
|
-4,5
|
20,25
|
-14,125
|
63,5625
|
48,06
|
5
|
42
|
-3,5
|
12,25
|
-10,125
|
35,4375
|
48,96
|
6
|
54
|
-2,5
|
6,25
|
1,875
|
-4,6875
|
49,87
|
7
|
66
|
-1,5
|
2,25
|
13,875
|
-20,8125
|
50,77
|
8
|
40
|
-0,5
|
0,25
|
-12,125
|
6,0625
|
51,67
|
9
|
45
|
0,5
|
0,25
|
-7,125
|
-3,5625
|
52,58
|
10
|
58
|
1,5
|
2,25
|
5,875
|
8,8125
|
53,48
|
11
|
69
|
2,5
|
6,25
|
16,875
|
42,1875
|
54,38
|
12
|
42
|
3,5
|
12,25
|
-10,125
|
-35,4375
|
55,29
|
13
|
50
|
4,5
|
20,25
|
-2,125
|
-9,5625
|
56,19
|
14
|
62
|
5,5
|
30,25
|
9,875
|
54,3125
|
57,09
|
15
|
74
|
6,5
|
42,25
|
21,875
|
142,1875
|
57,99
|
16
|
46
|
7,5
|
56,25
|
-6,125
|
-45,9375
|
58,90
|
8,5
|
52,125
|
|
340
|
|
307
|
|
Найдем b0:
=307/340 = 0,9
Найдем a0:
= Yтф - b0*tср
0 = 52,125 - 0,9*8,5 = 44,45
Тогда запишем вспомогательную
линейную модель:
Yt = 44,45 + 0,9*t
Используем полученную формулу для
заполнения Ytр в таблице начальных параметров.
) Корректировка параметров от
уровня к уровню:
t
|
ytф
|
at
|
bt
|
Ft
|
ytр
|
Et
|
Отн. Погр.,%
|
0
|
-
|
44,45
|
0,902941
|
F-3,,,F0
|
-
|
-
|
|
1
|
39
|
45,37006
|
0,908077
|
0,859295
|
39,74558
|
-0,74558
|
1,91
|
2
|
50
|
46,25913
|
0,902375
|
1,081283
|
51,02427
|
-1,02427
|
2,05
|
3
|
59
|
46,88966
|
0,82082
|
1,265175
|
60,85607
|
-1,85607
|
3,15
|
4
|
38
|
47,96844
|
0,89821
|
0,78826
|
38,23181
|
-0,23181
|
0,61
|
5
|
42
|
48,86984
|
0,899165
|
0,859374
|
42,76627
|
-0,76627
|
1,82
|
6
|
54
|
49,82051
|
0,914617
|
1,082848
|
54,85901
|
-0,85901
|
1,59
|
7
|
66
|
51,16459
|
1,043457
|
1,280043
|
66,05234
|
-0,05234
|
0,08
|
8
|
40
|
51,76903
|
0,911751
|
0,778902
|
41,52618
|
-1,52618
|
3,82
|
9
|
45
|
52,58566
|
0,883216
|
0,857197
|
45,94974
|
-0,94974
|
2,11
|
10
|
58
|
53,49696
|
0,89164
|
1,083643
|
58,89456
|
-0,89456
|
1,54
|
11
|
69
|
54,24335
|
0,848066
|
1,275244
|
70,51938
|
-1,51938
|
2,20
|
12
|
42
|
54,74062
|
0,742825
|
0,771914
|
43,21615
|
-1,21615
|
2,90
|
13
|
50
|
56,3373
|
0,998981
|
0,875386
|
49,1485
|
0,851496
|
1,70
|
14
|
62
|
57,29971
|
0,988012
|
1,082675
|
63,1631
|
-1,1631
|
1,88
|
15
|
74
|
58,20984
|
0,964646
|
1,272855
|
75,46192
|
-1,46192
|
1,98
|
16
|
46
|
59,29979
|
1,002237
|
0,774197
|
46,54795
|
-0,54795
|
1,19
|
17
|
|
|
|
|
52,78754
|
|
30,52
|
18
|
|
|
|
|
65,28751
|
|
|
19
|
|
|
|
|
76,75575
|
|
20
|
|
|
|
|
46,68565
|
|
|
Найдем начальные сезонные коэффициенты:
= 0,5*(y1ф/y1р+ y5ф/y5р) =
0,5*(39/45,35+42/48,96) = 0,86;= 0,5*(y2ф/y2р+ y6ф/y6р) = 0,5*(50/46.26+54/49,87) = 1,08;
F-1 = 0,5*(y3ф/y3р+ y7ф/y7р) = 1,28;
Для построения мультипликативной
модели Хольта-Уинтерса используем формулы:
at = d1* ytф/Ft-L +
(1-α1)*(at-1+bt-1)= α3* (at - at-1) + (1-α3)* bt-1= α2* ytф/ at + (1 - α2)*Ft-Lр(τ) = (at + bt* τ)* Ft-L+τ
где at и bt - корректируемые
параметры модели,- коэффициент сезонности- период сезонности (L = 4)
α1 = 0,3; α2 = 0,6; α3 =
0,3 - параметры сглаживания или параметры корректировки.
) Для проверки качества
модели построим следующую таблицу:
t
|
Et
|
Точка поворота
|
E(t)^2
|
[E(t) - E(t-1)]
|
[E(t) - E(t-1)]^2
|
Et* E(t-1)
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
-0,75
|
0
|
0,56
|
-
|
-
|
-
|
2
|
-1,02
|
0
|
1,05
|
-0,28
|
0,08
|
0,76
|
3
|
-1,86
|
1
|
3,44
|
-0,83
|
0,69
|
1,90
|
4
|
-0,23
|
1
|
0,05
|
1,62
|
2,64
|
0,43
|
5
|
-0,77
|
0
|
0,59
|
-0,53
|
0,29
|
0,18
|
6
|
-0,86
|
1
|
0,74
|
-0,09
|
0,01
|
0,66
|
7
|
-0,05
|
1
|
0,00
|
0,81
|
0,65
|
0,04
|
8
|
-1,53
|
1
|
2,33
|
-1,47
|
2,17
|
0,08
|
9
|
-0,95
|
0
|
0,90
|
0,58
|
0,33
|
1,45
|
10
|
-0,89
|
1
|
0,80
|
0,06
|
0,00
|
0,85
|
11
|
-1,52
|
1
|
2,31
|
-0,62
|
0,39
|
1,36
|
12
|
-1,22
|
0
|
1,48
|
0,30
|
0,09
|
1,85
|
13
|
0,85
|
1
|
0,73
|
2,07
|
4,28
|
-1,04
|
14
|
-1,16
|
0
|
1,35
|
-2,01
|
4,06
|
-0,99
|
15
|
-1,46
|
1
|
2,14
|
-0,30
|
0,09
|
1,70
|
16
|
-0,55
|
-
|
0,30
|
0,91
|
0,84
|
0,80
|
сумма
|
-13,96
|
9
|
18,77
|
0,20
|
16,60
|
10,04
|
а) относительная погрешность ∑Et поделенное на фактическое значение Yt=30,52/16 *100 = 1,9 %
<5%
Следовательно, условие точности
выполнено.
б) проверка случайности уровней:
Общее число поворотных точек p = 9
> q = 6,
Значит условие случайности уровней
ряда остатков выполнено.
Проверка независимости уровней ряда
остатков (отсутствия автокорреляции):
в) по d-критерию Дарбина-Уотсона:
= =
16,60/18,77 = 0,88
<d< 1 значит
присутствует автокорреляция
г) проверка по первому коэффициенту автокорреляции r(1):
r(1) = =
10,04/18,77 = 0,53 > 0,32
значит имеется зависимость уровней ряда.
д) проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению
осуществляем по RS-критерию:
RS = (Emax - Emin)/S
где Emax = 0,85, Emin = -1,86,
= =
= (0,85 - (-1,86))/1,12 = 2,42не попадает в интервал 3,00 - 4,21,
значит уровни ряда остатков не подчиняются нормальному распределению
Таким образом можно сказать об неудовлетворительном качестве
выбранной модели.
) Для моделирования трендсезонных рядов можно использовать
соответствующие модели в программе VSTAT:
Задание 2
Даны цены (открытия, максимальная,
минимальная и закрытия) за 14 дней. (см. таблица) Интервал сглаживания принять
равным пяти дням. Рассчитать:
экспоненциальную скользящую среднюю;
момент;
скорость изменения цен;
индекс относительной силы;
%R, %К и %D.
Расчеты проводить для всех дней, для
которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.
Решение:
. Данные об котировках акций
Сбербанка взяли из сайта finam.ru (экспорт котировок, выбираем ММВБ акции и
организацию.)
<TICKER>,<PER>,<DATE>,<TIME>,<OPEN>,<HIGH>,<LOW>,<CLOSE>,D,20130211,000000,107.0100000,108.4500000,107.0000000,107.0400000,D,20130212,000000,106.5800000,109.2400000,106.5600000,108.4800000,D,20130213,000000,109.1700000,109.3400000,107.8000000,108.8000000,D,20130214,000000,108.6600000,111.5000000,107.2700000,107.6200000,D,20130215,000000,107.8200000,107.9800000,105.0500000,105.0800000,D,20130218,000000,105.1500000,106.3800000,104.3800000,106.2300000,D,20130219,000000,106.1400000,108.7300000,105.9400000,108.7300000,D,20130220,000000,108.8800000,109.0000000,107.0000000,107.8200000,D,20130221,000000,106.3100000,106.8900000,105.4900000,106.7400000,D,20130222,000000,107.0600000,107.4800000,105.9500000,106.1200000,D,20130225,000000,106.3500000,107.0000000,105.6100000,106.6100000,D,20130226,000000,105.3400000,105.3700000,103.4400000,104.1400000
SBER,D,20130227,000000,104.4100000,104.7600000,102.8500000,103.4500000,D,20130228,000000,104.3000000,104.8000000,103.5300000,104.5700000
. Все рассчеты будем делать с
помощью Excel
Список литературы
1. Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические
методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие. - М.:Вузовский
учебник, 2007.
. Финансовая математика: математическое моделирование
финансовых рынков: Учебное пособие / Под. ред. В.А. Половникова и А.И.
Пилипенко. - М.:Вузовский учебник, 2004.
. Экономико-математические методы и прикладные модели. 2-е
изд., перераб. и доп. - М.:ЮНИТИ-ДАНА,2000.
. Лукашин Ю.П. Финансовая математика. - М.: МЭСИ,2000.
. Уотшем Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в
финансах: Пер. с англ./Под ред. М.Р. Ефимовой. - М.:ЮНИТИ,1999.