Методи виявлення оптимальних і неоптимальних режимів ліній зв’язку в інформаційних системах

Методи виявлення оптимальних і неоптимальних режимів ліній зв’язку в інформаційних системах

Методи виявлення оптимальних і неоптимальних режимів ліній зв’язку в інформаційних системах

Даниліна Г.В.,Доровський Д.В. к.т.н., доц.,Доровська І.О. аспірант

Розглядаються характеристики оптимального і неоптимального режимів. Головною метою є встановлення взаємозв’язків цих основних характеристик поміж собою, а також порівняльний аналіз цих характеристик для оптимального і неоптимального режимів. В результаті доказано теореми про взаємозв‘язки середньої тривалості обслуговування повідомлень і ймовірності того, що лінія буде зайнята, про взаємозв‘язки обсягів пам‘яті n* i n0 буферних пристроїв ліній зв‘язку, що функціонують в оптимальному і неоптимальному режимах, запропоновано відносно простий спосіб лінійної двупараметричної інтерполяції нормованої середньої тривалості обслуговування в оптимальному режимі.

Вступ. В роботі Б.С.Цибакова [1] приведені асимптотичні формули для ймовірності втрат пакетів. Ці асимптотичні формули показують, що вона зменшується за ступеневим законом в залежності від розміру буферу та за показовим законом в залежності від пропускної спроможності каналу.

В роботі В.С.Заборовського [2] розглядається вплив характеристик трафіку на мережеву продуктивність, застосування теорії сплесків для аналізу властивостей трафіку.

Метою даної роботи є встановлення взаємозв’язків основних характеристик режимів використання лінії зв’язку поміж собою, а також порівняльний аналіз цих характеристик для оптимального і неоптимального режимів. Для досягнення мети як вихідні дані використовуються відомі співвідношення для характеристик одноканальних систем масового обслуговування [3].

Постановка задачі. Основними характеристиками режиму використання лінії зв’язку є середня тривалість  обслуговування повідомлення в системі, ймовірність  того, що лінія буде зайнята обслуговуванням повідомлень, середня тривалість  обслуговування повідомлення без очікування в черзі, якщо лінія вільна і повідомлення зразу ж поступає на обслуговування, середня тривалість  очікування повідомленням обслуговування в черзі, коефіцієнт  використання лінії зв’язку, обсяг n пам’яті буферного пристрою, коефіцієнт V варіації тривалості обслуговування.

Обґрунтування і побудова математичної моделі. Сформулюємо встановлені закономірності у вигляді стверджень теорем.

Теорема 1. Середня тривалість  обслуговування повідомлення одноканальною лінією зв’язку і ймовірність P того, що лінія буде зайнята обслуговуванням повідомлення, пов’язані прямим і зворотнім перетворенням такого виду

де - середня тривалість очікування обслуговування повідомленням в черзі.

Доведення. Середня тривалість обслуговування визначається формулою

                                                                    (3)

де середня тривалість обслуговування повідомлення без очікування в черзі

                                                                                           (4)

-середня довжина повідомлення,

-середня пропускна здатність лінії зв’язку,

-середній коефіцієнт використання пропускної здатності лінії зв’язку.

Врахуємо, що, як показано раніше, ймовірність  того, що лінія буде зайнята обслуговуванням попереднього повідомлення, пов’язана з  співвідношенням

                                                                                 (5)

З (5) знайдемо, що .

Підставляючи значення  в формулу (3) отримаємо (1). розв’язуючи рівняння (1) відносно  отримаємо зворотне перетворення (2), що і треба було довести.

Наслідок 1. З граничного співвідношення  можна дати формальне визначення власної середньої тривалості обслуговування .

Тобто, власна середня тривалість обслуговування  є середня тривалість обслуговування у випадку коли лінія вільна і обслуговує тільки одне повідомлення.

Наслідок 2. З граничного співвідношення          можна визначити, що , тому для значень  справедлива нерівність .

Наслідок 3. З нерівності  слідує, що власна середня тривалість обслуговування тобто повинні бути

Наслідок 4. З співвідношення (2) можна формально визначити значення середньої затримки в обслуговуванні повідомлення .

В табл.1 наведені результати розрахунків  в залежності від .

Табл. 1. Результати розрахунків функцій і

На рис. 1 показано графік залежності  від . Аналізуючи дані табл. 1 і графік рис. 1 можна зробити висновок, що необхідність забезпечення мінімуму середніх витрат приводить до суттєвого збільшення імовірності  того, що лінія буде зайнята, коефіцієнту  використання пропускної здатності лінії, середньої тривалості  очікування повідомленням обслуговування в черзі (зірочкою позначені параметри оптимального режиму).

Рис. 1. Графік залежності

Перейдемо до розгляду взаємозв’язків між обсягами пам’яті буферних пристроїв для оптимального і неоптимального режимів.

Теорема 2. Обсяги пам’яті буферних пристроїв при роботі лінії зв’язку в оптимальному і неоптимальному режимах пов’язані співвідношенням

,                                                          (6)

де  - обсяг пам’яті буферного пристрою в оптимальному режимі,

 - обсяг пам’яті буферного пристрою в неоптимальному режимі,

 - середній коефіцієнт використання пропускної здатності лінії зв’язку в неоптимальному режимі,

 - коефіцієнт збільшення обсягів пам’яті буферного пристрою в оптимальному режимі.

Доведення. Середнє число  повідомлень, що чекають в черзі обслуговування, пов’язано з  співвідношенням .

Очевидно, що обсяг пам’яті буферного пристрою в середньому повинен бути рівним  для того, щоб не було втрат повідомлень.

Врахуємо те, що в оптимальному режимі середній коефіцієнт використання лінії зв’язку збільшується до значення . Тому обсяг пам‘яті n* буферного пристрою лінії, що функціонує в оптимальному режимі, повинен бути збільшеним до значення

Коефіцієнт збільшення обсягу пам’яті буферного пристрою лінії, що функціонує в оптимальному режимі,

З цього співвідношення отримаємо (6), що і треба було довести.

Наслідок 1. При

Тому при малих  має місце особливо велика різниця в обсягах пам’яті буферних пристроїв.

Наслідок 2. При

Тому при великих ~1 обсяг пам’яті  буферного пристрою лінії зв’язку, що функціонує в оптимальному режимі, повинен бути приблизно вдвічі більшим обсягу пам’яті .

На рис. 2. показано графік залежності  Можна зробити з аналізу цього графіку головний висновок про те, що оптимальний режим роботи лінії зв’язку потребує більших ніж вдвічі обсягів пам’яті буферних пристроїв порівняно з неоптимальними режимами.

Рис. 2. Графік залежності

Розглянемо як впливає коефіцієнт варіації  тривалості обслуговування повідомлень без очікування в черзі на середню тривалість обслуговування в режимах, що порівнюються. Припустимо, що математичне сподівання  і дисперсія s2 тривалості обслуговування відомі.

Теорема 3. Якщо коефіцієнт варіації розподілу тривалості обслуговування повідомлення, що не чекає обслуговування в черзі, підкоряється умові  тоді в неоптимальному режимі обслуговування повідомлення для середньої тривалості обслуговування повідомлення справедлива складна нерівність

                                                                   (7)

Доведення. В 1951 р. Кендал у роботі [ ] довів, що математичне сподівання часу перебування повідомлень в одноканальній системі

                                                                      (8)

Введемо, як і раніше, власну характеристику одноканальної лінії зв’язку - середню тривалість обслуговування  повідомлення, що не затримується в черзі, а зразу ж поступає на обслуговування

Підставимо значення  і  в формулу (8), після необхідних проміжних перетворень отримаємо

Аналіз граничних співвідношень

                                                                               (10)

показує, що для  справедлива складна нерівність (7), що і треба було довести.

Наслідок 1. Так як  з порівняння співвідношень (9) і (10) можна зробити висновок, що при  середня тривалість обслуговування скорочується на величину

Наслідок 2. Максимальне значення  має місце при  бо

Цей випадок характеризує детерміновану тривалість обслуговування.

Наслідок 3. При  як слідує з граничного співвідношення (10),

Цей випадок характеризує добре відомий експоненціальний розподіл тривалості обслуговування, у якому затримка обслуговування максимальна.

З наслідків 1-3 можна зробити головний висновок про те, що при експоненціальному розподілі тривалості обслуговування затримка повідомлення в системі обслуговування найбільша. При  мають місце менші затримки.

Теорема 4. Якщо коефіцієнт варіації           розподілу тривалості обслуговування повідомлення, що не чекає обслуговування в черзі, підкоряється умові     тоді в оптимальному режимі обслуговування повідомлення для середньої тривалості обслуговування повідомлення справедлива складна нерівність

                                                            (11)

Доведення. Доведення ствердження цієї теореми виконується аналогічно доведенню попередньої теореми з урахуванням того, що

,

Наслідок 1. Так як , з порівняння лівої і правої границь нерівності (11) слідує, що скорочення середнього часу обслуговування повідомлення режимі буде відносно більшим.

Наслідок 2. Максимальне значення , як і раніш, має місце при , бо

Наслідок 3. При , як і раніш,  тобто затримка повідомлення максимальна.

З Наслідків 1-3 можна зробити головний висновок про те, що варіація розподілу тривалості обслуговування в оптимальному режимі приблизно однаково впливає на середню тривалість обслуговування, що і в неоптимальному режимі. При цьому суттєво змінюються порядки величин затримки.

Для аналізу впливу коефіцієнта варіації розподілу на скорочення середньої тривалості обслуговування зручно використовувати нормовану по  залежність  від  і .

Ця залежність дозволяє робити аналіз впливу варіації закону розподілу тривалості обслуговування повідомлення в системі на середню тривалість обслуговування в оптимальному режимі. На рис.3. показано графіки залежності  при  Можна помітити, що при  суттєво зростає затримка повідомлення в черзі на обслуговування і вона може в кілька разів перевищувати .

Рис. 3. Графік залежності

Для більш деталізованих розрахунків в  побудовано табл. 2.

Табл. 2. Результати розрахунків функції  при

За допомогою цієї таблиці зручно виконувати лінійну двупараметричну інтерполяцію  при любих значеннях  і .

Висновки

лінія зв’язок режим тривалість

Таким чином, в даній роботі виконано порівняльний аналіз основних характеристик оптимального і неоптимального режимів, доказано теореми про взаємозв‘язки середньої тривалості Т0 обслуговування повідомлень і ймовірності Р0 того, що лінія буде зайнята, про взаємозв‘язки обсягів пам‘яті n* i n0 буферних пристроїв ліній зв‘язку, що функціонують в оптимальному і неоптимальному режимах, про вплив коефіцієнту варіації  розподілу тривалості обслуговування на середню тривалість обслуговування Т0 повідомлення в оптимальному і неоптимальному режимах, а також середню затримку Т01 повідомлення в черзі на обслуговування, запропоновано відносно простий спосіб лінійної двупараметричної інтерполяції нормованої середньої тривалості обслуговування  в оптимальному режимі за допомогою даних табл.2. Показано, що дані табл.2 дозволяють лінійну двупараметричну інтерполяцію  (,) з достатньою для інженерних розрахунків точністю.

Література

1.       Цыбаков Б.С. Модель телетрафика на основе самоподобного случайного процесса.// Радиотехника-№5, c. 24-31, 1999г.

2.       В.С.Заборовський «Протяжні стохастичні і динамічні процеси в комп’ютерних мережах: моделі, методи аналізу для систем захисту інформації»,(http://www.neva.ru/~conference).

.        Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977. - 488 с.

.        Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы: Пер. с фр. - М.: Наука, 1990. - 488 с.

.        Зайченко Ю.П. Задачи проектирования структуры распределенных вычислительных сетей // Автоматика. - 1981. - № 3. - С. 35-44.