Решение задачи коммивояжера с помощью алгоритма Дейкстры

Решение задачи коммивояжера с помощью алгоритма Дейкстры

Введение

В 1859 г. У. Гамильтон придумал игру «Кругосветное путешествие», состоящую в отыскании такого пути, проходящего через все вершины (города, пункты назначения) графа, чтобы посетить каждую вершину однократно и возвратиться в исходную. Пути, обладающие таким свойством, называются гамильтоновыми циклами.

Задача о гамильтоновых циклах в графе получила различные обобщения. Одно из этих обобщений - задача коммивояжера, имеющая ряд применений в исследовании операций, в частности при решении некоторых транспортных проблем.

Задача коммивояжёра актуально и по сей день т.к. люди ищут кратчайшие пути и затраты на эти кратчайшие пути.

Цель курсового проекта: Решение задачи коммивояжера с помощью алгоритма Дейкстры.

Задачи курсового проекта:

) Составить математическую модель;

) Разработать схему алгоритма;

) Составить программный код;

) Провести анализ полученных результатов.

1. Постановка задачи

Определить длину (Q) кратчайшего маршрута (L) коммивояжера.

Расстояния (Q_ij) между шестью городами представлены в таблице 1.

Таблица 1 - Условие задачи

В ходе выполнения курсового проекта требуется написать программу, выполняющую решение аналогичных задач линейного программирования с помощью алгоритма Дейкстры.

2. Этапы решения задачи

.1 Математическая модель

Построим математическую модель:

n - число городов.

X_{i j} , i, j=1..N - матрица затрат, где C_{i j} - затраты на переход из i-го города в j-й.

X_{i j} - матрица переходов с компонентами:

X_{i j} = -1, если коммивояжер совершает переход из i-го города в j-й,

X_{i j} = 0, если не совершает перехода,

где i, j = 1..N и i¹j.

Критерий:

 ,    (1)

где С_ij - матрица стоимости переходов,

Ограничения:

, i = 1..N (2)

, j = 1..N          (3)

U_i - U_j + N × X_{i j} £ N-1, i, j = 1..N, i ¹ j.       (4)

, k= 1..N,t=k-1 (5)

Условие (2) означает, что коммивояжер из каждого города выезжает только один раз; условие (3) - въезжает в каждый город только один раз; условие (4) - обеспечивает замкнутость маршрута, содержащего N городов, и не содержащего замкнутых внутренних петель; условие (5) - принцип треугольника: ранее выбранный путь оказался длиннее предыдущего.

.2 Разработка алгоритма

Задача коммивояжера является одной из знаменитых задач теории комбинаторики. Она была поставлена в 1934 году, и об неё, как об Великую теорему Ферма обламывали зубы лучшие математики. В своей области (оптимизации дискретных задач) задача коммивояжера служит своеобразным полигоном, на котором испытываются всё новые методы. В данном курсовом проекте реализуется задача коммивояжера методом алгоритма Дейкстры.

В 1959 г. Голландский математик Дейкстра предложил алгоритм, который решает задачу коммивояжёра для любой матрицы исходный данных: симметричной, несимметричный и смешанной (отсутствуют некоторые ребра графа).

Суть задачи состоит в том, чтобы найти кратчайший замкнутый путь обхода нескольких городов и вернуться обратно в исходный город, при этом выполняя две проверки:

)        Длина найденного ребра графа должна быть меньше или равна симметричному ребру графа. В противном случае выбирается симметричное ребро

)        треугольника: ранее выбранный путь оказался длиннее предыдущего.

.3 Описание программы

Для начала вычислений необходимо ввести количество городов.

На рисунке 1 показан этап выбора количества городов.

программа задача коммивояжер тестирование

Рисунок 1 - Выбор количества городов

После ввода данных, необходимо нажать кнопку «Enter». После этого программа составит матрицу городов, после чего нам надо ввести с какого города будем стартовать, и заканчивать, и произведет расчет длины пути и порядок обхода городов. Когда программа завершит свой расчет, то в блоке ответа появятся данные конечного результата.

Рисунок 2 - Консоль программы после расчета данных

2.4 Тестирование программы

Определить длину (Q) кратчайшего маршрута (L) коммивояжера. Расстояния (Q_IJ) между шестью городами представлены в таблице 1.

Пройдем алгоритм вручную.

Начинаем движение с первого города в нашей таблице (Рисунок 3).

Рисунок 3 - Первый шаг расчета

После этого, мы движемся во второй город, выбирая из доступных, с минимальным расстоянием (Рисунок 4).

Рисунок 4 - Второй шаг расчета

Таким образом, проделываем следующие шаги до последнего города.

Условия примера представляют собой симметричную задачу.

После выполненного расчета мы видим, что ответ удовлетворяет условиям. Так же в программе проводилось несколько других тестирований, ответы были положительны.

2.5 Анализ полученных результатов

После успешного тестирования программы, в качестве исходных данных использовались параметры, заданные в курсовом проектировании. Результаты расчета приведены в следующем рисунке 5:

Рисунок 5 - Основная форма программы после вывода конечных данных

Ответ: длина маршрута равна 52, порядок обхода городов:

→3→2→5→6→4→1

При выполнение ручных расчётов результаты получились положительными.

Заключение

В ходе выполнения курсового проекта были решены следующие задачи:

1)  Построена математическая модель;

2)      Описан алгоритм задачи;

)        Разработан программный код на языке программирования C++;

)        Решена поставленная задача с помощью разработанной программы;

)        Проанализированы результаты;

Таким образом, можно считать, что цель курсового проекта достигнута.

Приложение 1

Код программы «Решение задачи коммивояжера с помощью алгоритма Дейкстры»

//

#include <vcl.h>

#include <tchar.h>

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

//main()

{c2,c3,i,k,j,n,e,q,v,m,z,x,min,a,min2,h=0,c=0;("Koli4estvo gorodov : ");scanf("%i",&n); //ввод количество городов*t=new int[n];*t2=new int[n];**kg=new int*[n];(i=0;i<n;i++)[i]=new int[n];**kg1=new int*[n];(i=0;i<n;i++)[i]=new int[n];(i=0;i<n;i++)(j=0;j<n;j++)

kg[i][j]=0;(i=0;i<n;i++) //заполнение расстояние между городами

for(j=i+1;j<n;j++)

{("vedite racto9nnie %i do %i: ",i+1,j+1);("%i",&kg[i][j]);[i][j]=kg[i][j];

}();(" ");(i=0;i<n;i++)("%3i",i+1);("\n\n\n\n");

for(i=0;i<n;i++) // заполнение массива городов симметрично

{("%2i ",i+1);(j=0;j<n;j++)

{[j][i]=kg[i][j];[j][i]=kg[i][j];("%3i",kg[i][j]);

}("\n\n");

}("Vvedite na4al'nuy to4ky : ");scanf("%i",&k); //ввод с какого города гачгётся путь-;=k;x=k;=1;c2=0;=0;z=2;[0]=k;

do //поиск минимального пути между городами

{=99999;(j=x+1;j<n;j++)(min>=kg[x][j] && kg1[x][j]!=-1)

{

min=kg[x][j];

}(j=0;j<x;j++)(min>kg[j][x] && kg1[j][x]!=-1)

{

min=kg[j][x];

m=j;

}[q]=x;[q]=m;(j=x+1;j<n;j++)[x][j]=-1;(j=0;j<x;j++)[j][x]=-1;=m;=0;(i=0;i<n && z!=1;i++)(j=i+1;j<n;j++)(kg1[i][j]==-1)

v=1;

{v=3;z=1;break;}++;

}(v!=1);[q]=x;t[q]=k;q++;v=q;z=0;q=0;c=0;c2=0;e=0;

do // проверка условий алгоритма Дейкстры

{

if(q!=0)

{ c=c+kg[t2[e]][t[q]];=c-kg[t2[e-1]][t[q-1]]-kg[t2[e]][t[q]]+kg[t[q]][t[q-1]]+kg[t2[e-1]][t[q]];}(c>c2 && q!=0 && z<q)

{=t2[e];[e]=t2[e-1];[e-1]=z;=t[q-1];[q-1]=t[q-2];[q-2]=z;=q;=-1;e=-1;c=0;c2=0;

}++;++;

}(v!=q);("\n\nput : %i",t[0]+1); //вывод пути(i=1;i<q;i++)("-%i",t[i]+1);("\n\n");("dlina puti : %i",c);//вывод длинны пути

getch();

}